Математические задачи (1965 г.)

Е. Б. Дынкин, А. К. Толпыго, С. А. Молчанов, А. Л. Розенталь

**

Предисловие

В этой книжке собраны задачи, пред­лагавшиеся в 1963/64 учебном году в Вечерней математической школе при Мос­ковском университете. В школе занимались ученики седьмых и восьмых классов из всех районов Москвы. Руководили заня­тиями преподаватели, аспиранты и сту­денты механико-математического факуль­тета МГУ. Каждую неделю руководители собирались вместе и выбирали для школь­ников пять задач *). При этом использо­вались разнообразные источники: мате­риалы математических олимпиад в Москве (задачи 6, 8, 10, 33, 42, 49, 50, 59, 79, 80, 82, 84, 92, 104, 107, 112), Киеве (12, 16, 22, 30, 34, 71, 77, 87, 98, ИЗ, 118, 119), Новосибирске (106), Волгограде (11), Мин­ске (64) и др.; некоторые зарубежные из­дания (так, задачи 142—143 взяты из монографии О. К 1 п § е 1, РагЬип§$рго-Ыете аи{ ИасЬеп ипс! ОгарЬеп, ВегПп, 1959, задачи 76 и 89 — из журнала Ате-псап МаШетаЧса! Моп1Ыу, задачи 51, 52, 97, 105 — из журнала Ма1ета1ука с2а§ор15то с11а паис2уае1, \Уагзга\^а); устные материалы школьных математи­ческих кружков при МГУ (работающих уже около 30 лет). Некоторые задачи были придуманы вновь (например, 27, 133, 136).

В течение двух недель школьники решали предложенные им пять задач и подавали письменные решения. Затем ре­шения разбирались на групповых заня­тиях. Через определенные промежутки времени специальное жюри присуждало победителям конкурса премии.

Мы приводим задачи в том порядке, в каком они давались в математической школе. Премии присуждались пять раз: за задачи 1—50, 51—75, 76—100, 101 — 115 и 124—143. Последний цикл более трудный. Это задачи, которые были даны весной 1964 года для решения во время летних каникул. Более трудными явля­ются также задачи 122 и 123. На их решение давалось больше времени. За­дачи 116—121 предлагались семикласс­никам взамен некоторых задач основной серии, опирающихся на программу вось­мого класса.

Во второй части книги ко всем зада­чам даны краткие решения или указания. При их составлении использованы пись­менные работы учеников Вечерней мате­матической школы (В. Вейбера, А. Герш-мана, С. Гусейна-Заде, С. Кузнецова, С. Натанзона, А. Шапиро и др.).

В конце приложены без всяких реше­ний и указаний некоторые из задач, да­вавшихся в Вечерней математической шко­ле в 1964/65 году (см. «Дополнительные задачи») *).

*) Большая часть задач была предложена К. Ан­дреевым, Е. Дынкиным, А Кобринским, В. Мазо, А Розенталем, А Рудаковым, А Толпыго.

*) Большую часть из них предложили Н Василь­ев и Л. Вассерштейн

Советы читателям

Для того чтобы решать предложен­ные задачи, достаточно знаний в объеме 8 классов. Большинство задач доступно и семиклассникам. Задачи разнообразны по своему характеру и по степени труд­ности. Легкие задачи чередуются с труд­ными. Поэтому нет никакой необходимос­ти решать задачи подряд. Можно начинать с любого места и решать в любом порядке.

Если вам не удается решить задачу сра­зу, не спешите смотреть решение. Поставь­те себя на место учеников Вечерней мате­матической школы, которые решали серию из пяти задач в течение двух недель. Если же задача никак не поддается вашим усилиям, прочтите указания. Они до­вольно кратки, однако после того, как вы самостоятельно повозились с задачей, их будет достаточно, чтобы направить вас на правильный путь.

Читать указания стоит и в том случае, когда вы решили задачу сами. Сравнивая ваше решение с авторским, вы иногда заметите пробелы в своем решении, иног­да узнаете о связях решенной вами задачи с другими интересными вопросами, найде­те ссылки на доступную литературу и т. п.