Учебное пособие для IX-X классов средних школ с математической специализацией.

**

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие для учителя..8

Глава I. Действительные числа .14

§ 1. Рациональные числа. Неравенства (14). 1. Множество рациональных чисел (14). 2. Отношения порядка и их свойства (17). 3. Действия над неравенствами (20). 4. Геометрическое изображение рациональных чисел (21). 5. Несоизмеримые отрезки (22).

§ 2. Действительные числа (24). 1. Бесконечные десятичные дроби (24). 2. Бесконечные десятичные дроби и процесс измерения отрезков (25). 3. Действительные числа (27). 4. Упорядоченность множества действительных чисел (28). 5. Десятичные приближения действительных чисел (29). 6. Рациональные числа и бесконечные периодические десятичные дроби (30). 7. Теорема о разделяющем числе (33). 8. Необходимое и достаточное условие единственности разделяющего числа (34). 9. Арифметические действия над действительными числами (36). 10. Модуль числа и его свойства (40). 11. Геометрический смысл модуля (41). 12. Превращение периодических десятичных дробей в обыкновенные (42). 13. Рациональные и иррациональные числа (43).
Краткие исторические сведения (45).

Глава II. Числовые последовательности и их пределы .47

§ 1. Последовательности. Прогрессии (47). 1. Определение последовательности (47). 2. Способы задания последовательностей (48). 3. Монотонные последовательности (50). 4. Арифметическая прогрессия (51). 5. Сумма первых членов арифметической прогрессии (52). 6. Геометрическая прогрессия (55). 7. Формула общего члена геометрической прогрессии (56). 8. Сумма первых членов геометрической прогрессии (57). 9. Индукция (59). 10. Метод математической индукции (61). И. Неравенство Бернулли (66).

§ 2. Предел последовательности (66). 1. Устанавливающиеся последовательности (66). 2. Процесс радиоактивного распада (68). 3. Сходящиеся последовательности. Предел последовательности (69). 4. Геометрический смысл понятия предела (71). 5. Бесконечно малые последовательности (73). 6. Свойства бесконечно малых последовательностей (75). 7. Теоремы о пределах последовательностей (78). 8. Примеры вычисления пределов последовательностей (81). 9. Определение N по е (83). 10. Пределы и приближенные вычисления (87).

§ 3. Признаки существования предела последовательности. Число е (87). 1. Вводные замечания (87). 2. Грани числовых множеств (88). 3. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности (90). 4. Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии (93). 5. Теорема о стягивающейся системе отрезков (95). 6. Предельный нереход в неравенствах (79). 7. Формула сложных процентов (99). 8. Числе (100). 9. Вычисление пределов, связанных с числом е (102).
Краткие исторические сведения (102).

Глава III. Функции. 104

§ 1. Функции и способы их задания (104). 1. Вводные замечания (104). 2. Общее определение функции (104). 3. Числовые функции числового аргумента (105). 4. Аналитическое задание функций (107). 5. Задание функции несколькими аналитическими выражениями (ПО). 6. Функциональная символика (ИЗ). 7. Сложные функции (115). 8. График функции (117). 9. Преобразования графиков (120). 10. Графики общей квадратичной и дробно-линейной функций (123). 11. Графики суммы, произведения и частного функций (129). 12. Таблицы значений функций (132). 13. Функции нескольких переменных (134).

§ 2. Элементарное исследование функций (136). 1. Вводные замеча- ния (136). 2. Область определения функции (137). 3. Четные и нечетные функции (137). 4. Ограниченные и неограниченные функции (142). 5. Полюсы функции. Вертикальные асимптомы (142). 6. Периодические функции (146). 7. Исследование знака функции (147). 8. Возрастание и убывание функций (150). 9. Максимумы и минимумы функции (152). 10. Предел функции при х->оо(153). 11. Горизонтальные и наклонные асимптоты (156). 12. Общая схема исследования функции (159).

§ 3. Непрерывные функции (161). 1. Задача о площади квадрата (161). 2. Понятие непрерывной функции (162). 3. Точное определение непрерывности (162). 4. Приращение функции (164). 5. Доказательство непрерывности некоторых функций (166). 6. Непрерывность суммы и произведения (168). 7. Непрерывность сложной функции (168). 8. Арифметические операции над непрерывными функциями (169). 9. Теорема о промежуточном значении (171). 10. Обратная функция (174). 11. Теорема об обратной функции (176). 12. Точки разрыва (177).

§ 4. Предел функции (180). 1. Определение предела функции в точке (180). 2. Односторонние пределы. Скачки функции (181). 3. Свойства предела функции (183). 4. Вычисление пределов функций (184).
Краткие исторические сведения (186).

Глава IV. Производная.189

§ 1. Производная (189). 1. Средняя скорость изменения функции (189). 2. Мгновенная скорость прямолинейного движения (191). 3. Производная (192). 4. Производная постоянной (193). 5. Производная линейной функции (193). 6. Производная квадратичной функции (194). 7. Производная степенной функции с натуральным показателем (195). 8. Касательная к кривой (196). 9. Выражение углового коэффициента касательной через производную (197). 10. Уравнение касательной (197). 11. Непрерывность дифференцируемых функций (199). 12. Вторая производная (199). 13. Производные высшего порядка (200).

§ 2. Техника дифференцирования (200). 1. Производная суммы (200). 2. Производная функции у — Си (201). 3. Производная произведения (202). 4. Производная частного (203). 5. Дифференцирование сложной функции (204). 6. Дифференциал функции (206). 7. Инвариантная запись дифференциала функции (207). 8. Применение понятия дифференциала к приближенным вычислениям (208).

§ 3. Применение понятия производной к исследованию функций (209). 1. Возрастание и убывание функции (209). 2. Необходимое условие экстремума (2Н). 3. Первое достаточное условие экстремума (216). 4. Второе достаточное условие экстремума (220). 5. Направление выпуклости графика (221). 6. Точки перегиба (222). 7. Применение понятия выпуклости к доказательству неравенств (223). 8. Построение графиков функций с помощью производной (224). 9. Отыскание наибольших и наименьших значений функции на отрезке (225). 10. Задачи на наибольшие и наименьшие значения (227).
Краткие исторические сведения (228).

Глава V. Тригонометрические функции 230

§ 1. Площадь круга и длина окружности. Числовая окружность (230). 1. Площадь круга (230). 2. Квадрируемые области. Площадь сектора (233). 3. Длина дуги кривой. Длина окружности (235). 4. Радианное измерение дуг и углов (237). 5. Обобщение понятия о дуге (239). 6. Обобщение понятия об угле (240). 7. Единичная числовая окружность (241). 8. Соответствие между точками числовой прямой и числовой окружности (242).

§ 2. Тригонометрические функции (243). 1. Определение тригонометрических функций числового аргумента (243). 2. Знаки тригонометрических функций (244). 3. Связь функций sin х и cos х (246). 4. Тригонометрические функции угла (248). 5. Вычисление значений синуса и косинуса для некоторых значений аргумента (249). 6. Определение тангенса и котангенса (251). 7. Геометрическое изображение tg х и ctg х (253). 8. Выражение тригонометрических функций через одну из них (255). 9. Гармонические колебания (260).

§ 3. Свойства тригонометрических функций (262). 1. Периодичность (262). 2. Отыскание периода (263). 3. Формулы приведения для sin х и cos х (264). 4. Формулы приведения и соотношения периодичности для тангенса и котангенса (270). 5. Непрерывность функций sin х и cos х (273). 6. Возрастание и убывание тригонометрических функций (275). 7. Графики функций sin х и cos дг (277). 8. Графики функций tg х и ctg х (280). 9. График гармонического колебания (283).

§ 4. Тригонометрические уравнения. Обратные тригонометрические функции (285). 1. Множество значений аргумента, соответствующих данному значению тригонометрической функции (285). 2. Промежутки главных значений для тригонометрических функций (288). 3. Тригонометрические уравнения (321). 4. Тригонометрические уравнения, приводящиеся к простейшим (322). 5. Обратные тригонометрические функции (326).

§ 5. Формулы сложения для тригонометрических функций и их следствия (330). 1. Некоторые факты векторной алгебры (330). 2. Разложение радиус-вектора (331). 3. Вывод формул сложения для синуса и косинуса (332). 4. Преобразование выражения a cos cot + Ь sin cot к виду A sin (cot -f- сс) (335). 5. Сложение гармонических колебаний с одинаковой частотой (337). 6. Формулы сложения для тангенса и котангенса (339).

§ 6. Частные случаи и следствия формул сложения (341). 1. Тригонометрические функции двойного аргумента (341). 2. Выражение тригонометрических функций двойного аргумента через tgx (343) 3. Триго нометрнческне функции кратных аргументов (344). 4. Тригонометрические функции половинного аргумента (346). 5. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму (350). 6. Тригонометрические многочлены (352). 7. Понятие о гармоническом анализе функций (354). 8. Представление суммы тригонометрических функций в виде произведения (355). 9. Биения (360).

§ 7. Дифференцирование тригонометрических функций (361). 1. Пре-sin х дел функции — при х -* 0 (362). 2. Производные функций у = sin х и у == cos дг (364). 3. Понятие о дифференциальном уравнении (368). 4. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний (370). 5. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (372). В. Дифференцирование обратных тригонометрических функций (374).
Краткие исторические сведения (375).

Глава VI. Степенная, показательная и логарифмическая функции ..379

§ 1. Степенная функция (379). 1. Степенная функция с натуральным показателем (379). 2. Функции у= ~и их графики (382). 3. Функция хп у = | х (385). 4. Степенная функция с рациональным показателем (387). 5. Вычисление пределов иррациональных функций (388).

§ 2. Показательная функция (390). 1. Показательная функция на множестве рациональных чисел и ее свойства (390). 2. Степень с иррациональным показателем (391). 3. Показательная функция на множестве действительных чисел (393). 4. Свойства степеней с действительными показателями (396).

§ 3. Логарифмы и логарифмическая функция (397). 1. Определение логарифма (397). 2. Логарифмическая функция (398). 3. Свойства логарифмической функции (398). 4. Логарифмы и алгебраические операции (401). 5. Логарифмирование и потенцирование (403). 6. Связь между логарифмами при разных основаниях (404).

§ 4. Дифференцирование показательной и логарифмической функций (406). 1. Пределы, связанные с числом е (406). 2. Производные функций у = ех и у = ах (410). 3. Производная логарифмической функции (411). 4. Логарифмическая производная (412). 5. Дифференциальное уравнение для показательной функции (414). 6. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний (417). 7. Гиперболические функции (420). Краткие исторические сведения (424).
Дополнение к главе VI. Десятичные логарифмы (425). 1. Десятич- ные логарифмы (425). 2. Таблицы десятичных логарифмов (427).

Глава VII. Элементарные функции. Трансцендентные уравнения и неравенства ..430

§ 1. Элементарные функции (430).

§ 2. Трансцендентные уравнения и неравенства (433). 1. Предварительные замечания (433). 2. Общие приемы решения трансцендентных уравнений (434).

§ 3. Тригонометрические уравнения (436). 1. Подстановки в тригонометрических уравнениях (436). 2. Универсальная подстановка (441). 3. Использование формул для тригонометрических функций кратных аргументов (443). 4. Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители (444). 5. Тригонометрические неравенства (446). 6. Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции (452).

§ 4. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства (453). 1. Показательные уравнения (407). 2. Показательные неравенства (454). 3. Логарифмические уравнения (455). 4. Логарифмические неравенства (457).

§ 5. Приближенное решение уравнений (460). 1. Задача о приближен- ном решении уравнений (460). 2. Отделение корней (460). 3. Метод хорд (461). 4. Метод касательных (464). 5. Метод последовательных приближений (466). 6. Геометрический смысл последовательных приближений (467). 7. Сжимающие отображения и метод последовательных приближений (468).

§ 6. Доказательство тождеств и неравенств с помощью дифференциального исчисления (472). 1. Доказательство тождеств (472). 2. Доказательство неравенств (474). 3. Сравнение роста показательной и степенной функций (478).
Краткие исторические сведения (48.3).

Глава VIII. Интеграл   484

§ 1. Неопределенный интеграл (485). 1. Первообразная (485). 2. Свойства неопределенного интеграла (487). 3. Непосредственное интегрирование (488). 4. Техника интегрирования (489). 5. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными (495). 6. Составление дифференциальных уравнений (497).

§ 2. Определенный интеграл (499). 1. Введение (499). 2. Площадь криволинейной трапеции (500). 3. Доказательство существования площади криволинейной трапеции (502). 4. Понятие определенного интеграла (504). 5. Теорема о разбиении отрезка интегрирования (508). 6. Обобщение понятия определенного интеграла (509). 7. Оценки интегралов (509). 8. Определенный интеграл как функция верхнего предела (512). 9. Формула Ньютона —Лейбница (514). 10. Приближенное вычисление интегралов (516). 11. Вычисление площадей с помощью определенных интегралов (517). 12. Объем цилиндрических тел (519). 13. Объем пирамиды и усеченной пирамиды (520). 14. Объем тела вращения (524). 15. Общая формула для вычисления объема тела по площадям параллельных сечений (529). 16. Объем тел, получаемых при вращении симметричных фигур. Теорема Гюльдена (530). 17. Площадь поверхности вращения (534).
Краткие исторические сведения (538).

Глава IХ. Ряды .540

§ 1. Бесконечные числовые ряды (540). 1. Вводные замечания (540). 2. Основные определения (541). 3. Сходящиеся и расходящиеся ряды (542). 4. Свойства сходящихся рядов (544). 5. Необходимый признак сходимости ряда (545). 6. Признак сравнения для рядов с неотрицательными членами (546). 7. Признак Даламбера (548).

§ 2. Ряды с членами произвольного знака (551). 1. Теорема Лейбни- ца (551). 2. Абсолютно и условно сходящиеся ряды (553).

§ 3. Степенные ряды (556). 1. Функциональные ряды (556). 2. Степенные ряды (556). 3. Разложение показательной функции в степенной ряд (557). 4. Разложение тригонометрическах функций в степенные ряды (559). 5. Разложение логарифмической функции в степенной ряд (560). 6. Биномиальный ряд (563). 7. Извлечение корней с помощью биномиального ряда (564). 8. Вычисление интегралов с помощью степенных рядов (565). 9. Применение рядов к выводу приближенных формул (567). 10. Степенные ряды в комплексной области (569). 11. Логарифмическая функция в комплексной области (572).
Краткие исторические сведения (573).