Оригинално заглавие:

Calculus by Lipman Bers

*

Рекомендовано

Учебно-методическим управлением по высшему образованию в качестве пособия для студентов высших технических учебных заведений

**

Аннотация

Переведенная с английского языка книга Л. Берса представляет собой учеб­ное пособие по курсу математического анализа (с элементами аналитической гео­метрии) и предназначается для первоначального ознакомления с предметом.

Книгу отличает большая тщательность в подборе и расположении материа­ла, наглядность, соединяющаяся с высоким научным уровнем, а также органи­ческая связь «чистой» математики и ее приложений.

Первый том посвящен введению в анализ, дифференциальному и интеграль­ному исчислению функций одной переменной.

Второй том посвящен аналитической геометрии на плоскости и в пространстве, рядам, дифференциальному и интегральному исчислению функций нескольких пере­менных.

Предназначается в качестве учебного пособия для студентов втузов; может быть также использована преподавателями высших учебных заведений.

***

От редактора

В нашей стране достаточно широко известны наиболее значительные монографии по математике, выпуском кото­рых занимается специальное издательство «Мир». За последние годы на русском языке увидели свет также и многие из используемых в других странах университет­ских учебников математики. Однако с издающимися на Западе учебниками математики для высшей технической школы наши студенты и преподаватели знакомы до сих пор еще совершенно недостаточно. Вот почему я рад пред­ставить русскому читателю «Математический анализ» вид­ного американского математика и педагога Л. Берса, вы­шедший в свет первым изданием в 1969 г. и в последние годы ставший в США одним из основных пособий для мате­матической подготовки будущих инженеров и физиков.

Профессор Липман Берс широко известен во всем мире своими исследованиями по «математическому анализу» в широком понимании этого термина, в первую очередь по теории функций комплексного переменного и дифферен­циальным уравнениям в частных производных; на русский язык переведен целый ряд его книг и научных статей[1]. Наряду с этим Л. Берс уделяет много времени и внимания научно-педагогической и научно-организационной дея­тельности. В течение ряда лет он возглавляет отделение математики Национальной Академии наук США;, в на­стоящее время он занимает пост президента Амери­канского математического общества, а также яв­ляется руководителем математического отделения Ко­лумбийского университета в Нью-Йорке и проявляет большую активность в области перестройки и модернизации системы преподавания математики в этом одном из старей­ших и авторитетнейших американских вузов. Проф. Л. Берс был одним из инициаторов организации известной «Исследовательской группы по школьной математике» (5сЬоо1 МаШетаБсз 51ис1у Сгоир, сокращенно 5М5С), объединяющей многих видных американских математиков и педагогов и руководящей всей работой в области пере­стройки школьного математического образования; нес­колько лет он возглавлял ЗМ50. О широком диапазоне педагогических интересов автора этой книги свидетельствует и настоящий учебник; Л. Берс писал мне также, что в настоящее время он занят подготовкой к печати но­вого варианта этого учебника и одновременно работает над двумя другими книгами: составляемой им совместно с пр живающим сейчас в США видным финским матема­тиком Ларсом Альфбрсом монографией, подытоживающей исследования Альфорса и Берса в области теории функций комплексного переменного, и учебником математического анализа, рассчитанным уже не на будущих инженеров, а на медиков, биологов и экономистов. В заключение ос­тается прибавить, что проф. Л. Берс является искренним другом нашей страны, которую он неоднократно посещал; советские математики хорошо знают Берса не только по его публикациям, но и по личным встречам и многочислен­ным докладам, прочитанным Берсом в Москве и в Ленин­граде, в Новосибирске, Тбилиси и Ереване.

-----------

[1]См., например, Л. Б е р с,'Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики, М., ИЛ, 1961; Л. Альфорс, Л. Берс, Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения, М., ИЛ, 1961; Л. Берс, Ф. Джон, М. Шехтер, Уравнения с частными производными, М., «Мир», 1966

--

В Предисловии к русскому изданию его книги Л. Берс достаточно полно характеризует ее основные установки; нам остается сказать здесь немногое. Эта книга представляет собой начальны й учебник; ее содержание далеко не покрывает принятую в наших высших технических учеб­ных заведениях программу курса математики. Так, на­пример, здесь отсутствует не только какое бы то ни было упоминание о теоретико-вероятностных концепциях и ре­зультатах, но исключены из нее также разделы, посвящен­ные дифференциальным уравнениям или векторному ана­лизу. В противоположность этому содержащийся в книге материал по аналитической геометрии полностью покры­вает (или даже превосходит) потребности наших втузов, так что при использовании книги Берса во втузовском пре­подавании потребность в специальном учебнике аналитичес­кой геометрии отпадает.

Настоящее пособие представляет собой одновременно учебник и задачник: число сопровождающих текст упраж­нений, бесспорно, обеспечивает потребности преподавания. В английском оригинале книги в конце ее собраны ответы ко всем без исключения упражнениям с четными номерами; в русском переводе, однако, эти ответы исключены — в первую очередь для того, чтобы не увеличивать чрезмерно и без того очень большой объем книги. По тем же сообра­жениям в переводе исключены и завершающие оригинал книги таблицы значений тригонометрических функций углов (заданных в градусной и радианной мерах), нату­ральных и десятичных логарифмов и значений показа­тельных функций е^х и е~^х. Однако и в настоящем своем виде книга является настолько большой, что ее перевод оказалось целесообразным выпустить в свет в двух томах.

Некоторые основные предпосылки автора поясняют ска­занные в Предисловии слова о двух «весьма нестандартных» книгах, оказавших на него определённое влияние: пособии видного немецкого математика О. Теплица и книге акад. Я. Б. Зельдовича*. Правда, зачастую шокирующая неко­торых «чистых» математиков подчеркнуто «физическая» манера Зельдовича (особенно заметная в первых изда­ниях его книги) в целом осталась чужда Берсу; однако он, так же как и Зельдович, явно считает основным не наведение «математического лоска», а содержательно-при­кладную сторону математического анализа. Для того чтобы продемонстрировать это, достаточно взглянуть, скажем, на содержание гл. 4 «Производная», начинающей система­тическую трактовку курса анализа (в то время как первые три главы имеют характер Введения в тему книги). Уже § 1 этой главы «Производная функции. Касательная. Скорость» наряду с традиционным материалом содержит разделы, посвященные исследованиям Галилея по изучению равно­ускоренных движений. Темой следующего параграфа яв­ляется элементарная техника дифференцирования (изла­гаемая, кстати сказать, без больших подробностей и нигде не становящаяся для автора самоцелью); однако уже § 3, посвященный производным высших порядков, вновь со­держит экскурсы в механику: здесь подробно обсуждается как классический закон движения Ньютона, так и принад­лежащее А. Эйнштейну релятивистское обобщение этого закона. Далее, § 4 гл. 4 содержит основные приложения дифференциального исчисления; в § 5 появляется понятие первообразной, которое вводится так рано (до главы об интегралах!) для того, чтобы сразу же можно было обра­титься к понятию дифференциального уравнения и разо­брать некоторые интегрируемые варианты как уравнения движения Ньютона, так и уравнения Эйнштейна. Подобная органическая связь «чистой» математики и ее приложений характерна и для остальных глав книги.

Следует еще отметить, что в ряде случаев Л. Берс во­обще отказывается от доказательств интуитивно ясных теорем, перенося их в Приложения, адресованные не всем читателям, а только приверженцам математической стро­гости. Для «наглядного» стиля автора характерно свобод­ное обращение к грубым инфинитезимальным рассмотрениям (которые он называет «математическими мифами»): рассмот­рения такого рода иллюстрируют многие положения книги. Этот стиль определяет также почти полный отказ Берса оът традиционной «г-6-техники», в целом остающейся ему чуждой. Так, например, обсуждение понятия непрерыв­ности функции у = [(х) в точке х = х₀ автор начинает с разбора ряда простых примеров; строгое же определение дается двумя достаточно ясными условиями геометрического характера (см. гл. 3, § 3.2). Впрочем, такая манера изло­жения не противоречит и достаточно высокому "(особенно в Приложениях и Дополнении к книге) уровню логической требовательности, в чем-то, быть может, и излишнему для будущих инженеров (но ведь эти разделы книги читатель может и пропустить!), однако бесспорно способствующему воспитанию подлинной математической культуры. Отме­тим здесь и другие отступления от принятой в наших ву­зовских учебниках системы изложения, также направлен­ные в сторону повышения общенаучного уровня книги: открывающее книгу аксиоматическое описание множества вещественных чисел; использование понятий я-мерного векторного и евклидова пространств; весьма тщательно разработанную символику (например, систематическое использование редкого в нашей учебной литературе для втузов символа х *-> у для обозначения функции* или символа о для сложной функции (/ о §)(х), т. е. композиции функций / и и т. д. Читатель оценит и многочисленные методические находки автора, в том числе тщательное выде­ление примеров, играющих в книге большую роль и ил­люстрирующих основной теоретический материал: начало и конец посвященного разбору примеров текста всюду от­мечены бросающимся в глаза значком •.

----

* Я. Б. Зельдович. Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике, М.. «Наука», 1970 (последнее издание)

------

Определенным достоинством английской математичес­кой терминологии по сравнению с русской является ее большая краткость. В настоящем переводе мы пытались частично сохранить это преимущество, заменив некоторые из общераспространенных терминов более короткими: здесь используется слово «наклон» (английское з1оре) вмес­то обычного термина «угловой коэффициент» (заметим, что ни в одном из европейских языков это- простое понятие не имеет наименования, состоящего из двух слов!), часто употребляется слово «квадрики» (английское ^иа(I^^с$) вместо длинного выражения «линии (или поверхности) второго порядка», слово «коники» (английское сошсз) вместо «конические сечения» и т. д.

------------

* В настоящее время в математике укоренилось использование стрелки -» для обозначения произвольных отображений (так что за-г ись /: X -> У , где X и У — числовые множества, означает, что X есть область определения функции /, а V — область ее значений); специфический же значок используется для поэлементных отображений, так что запись /: х \-+у символизирует, что отображе­ние, или функция, / переводит элемент х из Области определения функции в число у, т. е. что у~[(х). [Различие между записями X -» У и х\-> у можно сравнить, пожалуй, с разницей между утвер­ждениями ^! с X и х ( А', первое из которых означает, что (мно­жество) Х_х составляет часть X, а второе — что х есть (далее уже неделимый!) элемент множества X.]

-----

Подстрочные примечания переводчика книги и ре­дактора всюду отмечены звездочками в отличие от ну­мерованных сносок автора.

Профессор Берс отнесся к подготовке русского издания своего учебника с большим вниманием и интересом: он переработал и дополнил Предисловие к книге, а также прислал нам обширный (хоть и далеко не полный) список опечаток английского издания. В заключение мне приятно поблагодарить здесь автора настоящей книги за помощь' и сотрудничество.

И. М. Яглом