Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов высших технических учебных заведений.
**
АННОТАЦИЯ
Книга представляет собой пособие по специальным главам математики для втузов и является естественным продолжением общего курса математики этого же автора. Книга содержит следующие главы: теория поля, теория аналитических функций, операционное исчисление, линейная алгебра, тензоры, вариационное исчисление, интегральные уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения. Изложение проводится с позиций современной прикладной математики с максимальным использованием интуиции и аналогий, со специальным вниманием к качественному и количественному описанию фактов.
Книга рассчитана на студентов втузов, преподавателей, инженеров и научных работников в области технических наук.
***
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Глава I. Теория поля 9
§ 1. Оператор Гамильтона 9
1. Операции первого порядка (10). 2. Правила действий (II). 3. Интегральные формулы (12). 4. Операции второго порядка (13). 5: Разрывные поля (14).
§ 2. Специальные типы полей 16
1. Потенциальные поля (16). 2. Безвихревое поле в многосвяз.ной области (17). 3. Соленоидальные поля (19). 4. Примеры (21). 5. Ньютонов потенциал (23). 6. Построение векторного поля по заданным ротору и дивергенции (25).
Глава II. Теория аналитических функций 27
§ 1. Дифференцирование и отображения 27
1. Производная (27). 2. Условия Коши—Римана (28). 3. Сопряженные гармонические функции (29). 4. Геометрический смысл производной (30). 5. Конформные отображения (31). 6. Линейные отображения (32). 7. Расширенная комплексная плоскость (33). 8. Дробно-линейное отображение (34). 9. Степенные отображения (37). 10. Многозначные функции и точки разветвления (39). 11. Отображение т-— ^ г + (42). 12. Показательное и связанные с ним отображения (45). 13. Поверхность Римана (47). 14. Приложение к теории плоских полей (48). 15. Примеры (50). 16. Краевые задачи и конформные отображения (52). 17. Общие замеча-ния о конформных отображениях (56). 18. Применение метода малого параметра (58).
§ 2. Интегрирование и степенные ряды 61
1. Интеграл (61). 2. Интеграл от аналитической функции (62). 3. Ряды Лорана (63). 4. Разложение аналитической функции в ряд Лорана (65). 5. Ряд Тейлора (67). 6. Аналитические отображения и принципы максимума (70). 7. Аналитическое продолжение (72). 8. Варианты (74).
§ 3. Особые точки и нули 78
I. Изолированные особые точки (78). 2. Полюс (79). 3. Теорема Коши о вычетах (81). 4. Применение к несобственным интегралам (83). 5. Интегральные формулы Пуассона (91). 6. Поведение функции на бесконечности (94). 7. Логарифмические вычеты (95). 8. Теорема Руше (96). 9. Зависимость нулей от параметра (98). 10. Нули многочленов (100). 11. Результант двух многочленов (104). 12. Мероморфные функции (105). 13. Формула Кристоффеля—Шварца (108). 14. Понятие об эллиптических функциях (111).
§ 4. Асимптотические разложения 114
1. Введение (114). 2. Свойства (116). 3. Интеграл типа Фурье (118). 4. Интеграл е параметром в вещественном показателе (122). 5. Метод перевала (125).
Глава III. Операционное исчисление 129
§ 1. Общая теория 129
1. Преобразование Лапласа (129). 2. Образы простых функций (130). 3. Основные свойства преобразования Лапласа (133). 4. Обратное преобразование Лапласа (136). 5. Разложение прообраза в сумму (139) 6. Численное определение прообраза (142).
§ 2. Приложения 144
1 Основная идея (144). 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения (145) 3 Разностные и дифференциально разностные уравнения (149). 4. Интегральиые и интегро-дифференциальные уравнения (150). 5. Уравнения с частными производными (151).
§ 3. Варианты 155
1. Дискретное преобразование Лапласа (155). 2. Преобразование Фурье растущих функций (157). 3. Другие интегральные преобразования на бесконечном интервале (158). 4. Интегральные преобразования на конечном интервале (162).
Глава IV. Линейная алгебра 164
§ I. Сопряженные отображения . . . 165
1. Прямая сумма (165). 2. Инвариантные подпространства (166). 3. Сопряженные отображения (167). 4 Разложение, связанное с сопряженными отображениями (1 68). 5. Отображение пространства в себя (169). 6. Самосопряженное отображение (1 70) 7. Экстремальное свойство собственных значений (1 7 1).
§ 2, Квадратичные формы 174
1. Введение (174). 2. Закон инерции квадратичных форм (175). 3. Метод Якоби и теорема Сильвестра (1 76). 4. Одновременное приведение двух квадра- -тичных форм к диагональному виду (178)
§ 3. Структура линейного отображения 179
1. Отображение с единственным собственным вектором (179). 2. Отображение с единственным собственным значением (182). 3. Общий случай (183). 4. Отображение вещественного пространства (186). 5. Применение к вычислению функции от матриц (188) 6. Другое представление отображения вещественного пространства (190). 7. Структура перестановочных отображений (191).
§ 4. Некоторые численные методы 192
1. Метод Гаусса (192). 2. Норма матрицы и обусловленность системы (194). 3. Метод улучшения невязки (196). 4. Спектр симметрической матрицы (197). 5. Метод Якоби (198). 6. Вычисление старшего собственного значения путем итераций (199). 7. Вычисление последующих собственных значений (201). 8. Матрицы с неотрицательными элементами (202). 9. Метод А. Н. Крылова (203). 10. Метод малого параметра (204). 11. Метод непрерывного продолжения (205).
§ 5. Задачи линейного программирования 207
1. Основная задача (207). 2. Примеры (208). 3. Геометрические замечания (210). 4 Геометрический смысл основной задачи (212). 5. Стандартный вид основной задачи (214). 6 Метод последовательного улучшения решения (215). 7. Приложение к матричным играм (219). 8. Варианты (225).
Глава V. Тензоры 228
§ 1. Тензорная алгебра 229
1. Примеры (229). 2. Евклидовы тензоры, общее определение (231). 3. Действия нат тензорами (232). 4. Тензоры 2-го ранга (234). 5. Примеры из механики (235) 6. Общие аффинные тензоры (237). 7. Аффинные тензоры в евклидовом пространстве (23 9). 8. Индефинитные метрические формы (24 0), 9. Замечание о размерностях (243).
§ 2. Тензорные поля 244
1. Поле евклидова тензора (244). 2. Поступательный перенос вектора в криволинейных координатах (245). 3. Ковариантное дифференцирование (248). 4. Поле на многообразии евклидова пространства (251). 5. Внутренняя геометрия и римановы пространства (253).
Глава VI. Вариационное исчисление 257
§ 1. Первая вариация и необходимые условия экстремума 257
I. Примеры задач вариационного исчисления (257). 2. Функционал (259). 3. Функциональные пространства (261). 4. Вариация функционала (264). 5. Уточнение (267). 6. Необходимое условие экстремума (2 69). 7. Уравнение Эйлера (270). 8. Примеры (273). 9. Функционалы с производными высшего порядка (2 75). 10. Функционалы от нескольких функций (2 75). 11. Функционалы от функций нескольких переменных (277). 12. Условный экстремум с интегральными связями (279). 13. Условный экстремум с конечными или дифференциальными связями (282). 14. Задачи, сводящиеся к задаче Лагранжа (285). 15. Задачи с подвижными концами на плоскости (286). 16. Условия трансверсальности (288). 17. Задачи с подвижными концами в пространстве (290). 18. Трансверсальность для функций нескольких переменных (292). 19. Высвобождающие связи (293). 20. Разрывные задачи (295).
§ 2. Вторая вариация и достаточные условия экстремума 297
1. Вариации высших порядков (297). 2. Условия экстремума в терминах второй вариации (299). 3. Необходимые условия Лежандра (300). 4. Квадратичный функционал (301). 5. Условия Якоби (304). 6. Геодезические линии (307). 7.. Условия сильного экстремума (309). 8. Вариационная теория собственных значений (311). 9. О существовании минимума (315). 10. Основное условие минимума (317). 11. Зависимость собственных значений от функционала (320).
§ 3. Канонические уравнения и вариационные принципы 322
I. Канонические уравнения (322). 2. Первые интегралы (323). 3. Канонические преобразования (324). 4. Контактные преобразования (326). 5. Теорема Нётер (328). 6. Случай функций нескольких переменных (330). 7. Уравнение Гамильтона — Якоби (332). 8. Плоскость Лобачевского (334). 9. Вариационные принципы (336). 10. Принцип Гамильтона в простейшем случае (338). II. Принцип Гамильтона для систем с конечным числом степеней свободы (340). 12. Принцип Гамильтона для сплошных сред. Струна (343). 13. Стержень и пластинка (345). 14. Общая схема вариационного подхода к физическим полям (348). 15. Уравнения движения упругой среды (351). 16. Диссипативные системы (352). 17. Принцип минимума потенциальной энергии (384). 18. Примеры (355). 19. Запас устойчивости (357). 20. Вариационные принципы в конформных отображениях (359).
§ 4. Прямые методы 360
1. Метод Ритца для квадратичного функционала (361). 2. Применение к решению краевых задач (366). 3. Метод счетного множества переменных (367). 4. Метод Ритца для функционалов от функций нескольких переменных (369). 5. Метод Трефтца (373). 6. Метод Ритца для собственных значений (374). 7. Метод Ритца для неквадратичных функционалов (376). 8. Метод наименьших квадратов 1379). 9. Метод Канторовича (380). 10. Метод Эйлера (382).
Глава VII. Интегральные уравнения 384
§ 1. Введение . . 384
1. Примеры (384). 2. Основные классы интегральных уравнений (386). 3. Еще о пространстве Гильберта (387).
§ 2. Теория Фредгольма ' 389
1. Уравнения с вырожденными ядрами (389). 2. Общий случай (394). 3. Применение бесконечных систем алгебраических уравнений (398). 4. Применение численного интегрирования (401). 5. Уравнения с малыми ядрами (404). 6. Принцип сжимающих отображений (407). 7. Возмущение ядра (409). 8. Характер решений (411). 9. Уравнения Вольтерра 2-го рода (413). 10. Уравнения со слабой особенностью (414). 11. Уравнения с вполне непрерывными операторами (416). 12. Уравнения с положительными ядрами (417).
§ 8. Уравнения с симметричными ядрами 418
1. Аналогия с конечномерными уравнениями (418). 2. Разложение ядра по собственным функциям (419). 3. Следствия (421). 4. Переход от несимметричного ядра к симметричному (425). 5. Экстремальное свойство характеристических чисел (427). 6. Уравнения с самосопряженными операторами (430).
§4. Некоторые специальные классы уравнений . 433
1. Уравнения Вольтерра 1-го рода (433). 2. Уравнения Фредгольма 1-го рода с симметричным ядром (435). 3. Понятие о некорректных задачах (437). 4. Уравнения Фредгольма 1-го рода, общий случай (437). 5. Применение производящих функций (439). 6. Уравнение Вольтерра с разностным ядром (443). 7. Уравнение Фредгольма с разностным ядром на оси (445). 8. Уравнение Фредгольма с разностным ядром на полуоси (450).
§ 5. Сингулярные интегральные уравнения 454
1. Сингулярные интегралы (455). 2. Формулы обращения (458). 3. Непосредственное применение формул обращения (459). 4. Переход к краевой задаче, простой пример (461). 5. Общий замкнутый контур (463). 6. Незамкнутый контур (467). 7. Приведение к бесконечной системе алгебраических уравнений (469).
§ 6. Нелинейные интегральные уравнения 471
1. Переход к конечным уравнениям (471). 2 Метод итераций (473). 3. Метод малого параметра (475). 4. Применение теории симметричных ядер (476). 5. Применение теории неподвижных точек (478). 6. Вариационные методы (480). 7. Уравнения с параметром (481). 8. Разветвление решений (482).
Глава VIII. Обыкновенные дифференциальные уравнения 487
§ I. Линейные уравнения и системы 487
1. Общие свойства (487). 2. Периодические системы (491). 3. Уравнение Хилла (494). 4. Параметрический резонанс (498). 5. Гамильтоновы системы (499). 6. Неоднородные системы (501). 7. Почти-периодические функции (503). 8. Асимптотическое разложение решений при / -> оо (505). 9. Еще об асимптотическом поведении решений (508). 10. Осцилляция решений уравнений второго порядка (511) И Системы, зависящие от параметра (514). 12. Точки поворота (518).
§ 2. Автономные системы 520
1. Общие понятия (520). 2. Предельное поведение траекторий (522). 3. Точки покоя на плоскости, линейные системы (523). 4 Общий случай (527). 5. Циклы на плоскости (530). 6. Вращение векторного поля (533). 7. Точки покоя в пространстве (536). 8. Циклы в пространстве (539). 9. Структурно устойчивые системы (541). 10. Разрывные системы (542). 1 1. Системы на м ного-образиях (545) 12. Системы с интегральным инвариантом (547). 13. Эргодичность (549).
§ 3. Устойчивость решений 553
1. Введение (553). 2. Уравнения первого порядка (555). 3. Метод функций Ляпунова (556). 4. Устойчивость по первому приближению (560). 5. Особые случаи (564). 6. Специальные классы механических систем (569). 7. Системы автоматического регулирования (575). 8. Техническая устойчивость (580)
§ 4. Нелинейные колебания 581
1. Введение (581). 2 Свободные колебания автономной консервативной системы с одной степенью свободы (587). 3. Вынужденные колебания системы с малой нелинейностью, основной случай (592). 4. Особые случаи (594). 5. Субгармонические колебания (599). 6. Еще о вынужденных колебаниях (600). 7. Автоколебания (602). 8. Релаксационные колебания (605). 9 Пограничный слой (607). 10. Непериодические колебания (610) 11 Асимптотические разложения по Н. М. Крылову — Н. Н. Боголюбову (615). 12 Системы с дискретным временем (617).
Литература 624
Алфавитный указатель 626
***
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга представляет собой пособие по специальным главам курса математики для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений, написанное с единых позиций современной прикладной математики, какими их понимает автор. Книга предназначается в основном для студентов старших курсов втузов и инженеров различных специальностей, но она может быть полезной также физикам и другим специалистам, имеющим дело с прикладной математикой. Книга основана на курсах лекций, прочитанных автором в разные годы, и рассчитана как на аудиторное обучение, так и на самообразование.
По стилю изложения книга близка к «Лекциям по высшей математике» (третье издание, издательство «Наука», 1969 г.; в дальнейшем будет именоваться «ЛВМ») того же автора и может рассматриваться как их продолжение, хотя и читается независимо. Она опирается на общий втузовский курс математики (этим объясняется ее название) и имеет целью развить и укрепить отвечающие современной прикладной математике взгляды на основные математические понятия и факты, а также облегчить применение математики к специальным дисциплинам. Значительное внимание обращается на развитие правильной интуиции и возможно больший показ работающего аппарата, тогда как формальная полнота формулировок и доказательств не является самоцелью. (Поэтому хочется специально подчеркнуть, что эта книга не может обучить доказательству теорем на уровне «чистой» математики, она имеет совсем другое назначение.)
По каждому из освещаемых разделов систематически излагается некоторый необходимый минимум — основные понятия и идеи, представление об области приложений и т. п. За дальнейшими сведениями и деталями читатель отсылается к дополнительной литературе, список которой приведен в конце книги; ссылки на этот список обозначаются номерами в квадратных скобках. При выборе этих разделов, в значительной мере условном, автор в некоторой степени ориентировался на официальную программу 1969 г. спецкурсов математики для втузов.
Отдельные главы, а в некоторых случаях и более мелкие разделы книги можно читать более или менее независимо, в соответствии с потребностью. Примеры, а также материал, который при первом чтении можно опустить, напечатаны петитом. Для облегчения чтения материал, уже освещенный в ЛВМ, в необходимых случаях весьма кратко напоминается. Этой же цели должен служить подробный алфавитный указатель, помещенный в конце книги; с его помощью легко разыскать разъяснение встретившегося непонятного термина. В целом стоит отметить, что данная книга написана более сжато, чем ЛВМ, и не рассчитана на быстрое чтение.
В каждой главе параграфы, в каждом параграфе пункты и формулы нумеруются подряд, начиная с первого номера. При ссылках номера текущих главы и параграфа не упоминаются: например, в тексте § 3 гл. IV выражение «формула (2)» означает «формула (2) § 3 гл. IV», выражение «формула (1.2)» означает «формула (2) § 1 гл. IV», а «формула (III.4.2)» означает «формула (2) § 4 гл. III».
Содержание книги ясно из подробного оглавления. Из-за недостатка места за ее пределами остался ряд важнейших в современной прикладной математике разделов, таких, как математическая физика, элементы функционального анализа с приложением к теории численных методов, дополнительные вопросы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории вероятностей (в частности, теория случайных процессов) и математической статистики и т. д. Конечно, хорошо бы написать продолжение, содержащее указанные разделы, но трудно сказать, удастся ли это осуществить...
Первоначальный текст рукописи был переработан на основе замечаний Р. С. Гутера, Н. Д. Копачевского, М. А. Красносельского, А. Д. Тюпцова, а также коллектива преподавателей кафедры высшей математики МИХМ, в частности Г. Л. Лунца и А. Г. Младова. Всем этим моим товарищам я рад выразить свою глубокую признательность.
А, Д. Мышкис
1 октября 1969 г.
