Эта книга адресована, в первую очередь, начинающему учителю математики.
Нам неоднократно приходилось наблюдать, с какими большими трудностями сталкивается вчерашний студент педагогического института, когда он пытается наладить внеклассную работу по математике. В настоящей книге делается попытка помочь ему в этом.
Книга отражает опыт советских школ, частично освещенный в печати. Авторы опирались и на свой личный опыт.
Материалами книги многократно пользовались в работе факультативного семинара, посвященного внеклассным занятиям по математике, который уже много лет проводится в Смоленском педагогическом институте.
Книга состоит из двух частей.
Главы I и Ш—VII первой части книги посвящены вопросам организации математического кружка, внеклассного чтения, математических экскурсий, вечеров, олимпиад, стенгазет и др. Методические соображения иллюстрируются примерами.
Глава II содержит обзор различных тем, которые могут быть использованы для кружковых занятий в V—X классах. Авторы отдавали предпочтение темам, проверенным ими в математических кружках. По многим темам приводятся примерные планы, отдельные методические замечания и указывается литература. Список книг и статей, на которые делаются библиографические ссылки, помещен в конце книги.
Вторая часть книги содержит материалы, которые учитель может использовать для подготовки занятий математического кружка или рекомендовать школьникам для самостоятельной работы.
Надеемся, что учителя математики обратятся к части II данной книги также при подборе материалов для факультативных и обязательных занятий со школьниками.
Каждая из 12 глав части II разбита на отдельные параграфы (темы), которые представляют собой либо очерки, либо наборы задач. Чтобы выделить из текста задачи, рядом с ними поставлена вертикальная черта.
Различные параграфы между собой формально почти не связаны. Наиболее полезные темы отмечены восклицательными знаками, а наиболее трудные — звездочками (одной или двумя). Такие же пометки имеются и у задач.
Большинство задач снабжено ответами, указаниями или решениями.
При написании данной книги мы частично воспользовались материалами книги М. Б. Балка «Организация и содержание внеклассных занятий по математике» и диссертацией Г. Д. Балк «Актуальные вопросы внеурочных занятий по математике в современной средней школе».
Г. Д. Балк написала: в части I данной книги—§ 1 главы III и главу II (с привлечением отдельных материалов из упомянутой выше книги М. Б. Балка); в части II — § 9 главы I; § 1, 2, 5 главы II; § 5 главы IV; § 1 и 7 главы V; §4 главы VI; главу VII (кроме§5); §2 и4 главы IX; §3, 4, 6, 8 главы X, § 5 главы XI; гл. XII (кроме §1,2).
Авторами были написаны совместно во второй части книги: §3и4 гл. II; § 1 гл. III; § 1 гл. IV; § 5 гл. VII; гл. VIII, §3 гл. IX.
Остальную часть книги подготовил М. Б. Балк.
При подготовке окончательного варианта рукописи нам помогли полезные замечания и советы Б. И. Аргунова, В. Г. Болтянского, И. Б. Вейцмана, Г. И. Дринфельда, А. А. Колосова, Б. А. Кордемского, Р. X. Кристалинского, А. М. Лопшица, М. 3. Маллера, В. Л. Минковского, В. А. Петрова, А. А. Полухина. Выражаем этим товарищам свою глубокую признательность. Будем благодарны читателям, которые пришлют нам свои критические замечания.
М. Балк, Г. Балк
Предисловие . 3
Введение 3
Часть 1
ОРГАНИЗАЦИЯ И СОДЕРЖАНИЕ ВНЕУРОЧНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ С УЧАЩИМИСЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Глава I. Организация кружковых занятий 9
§ 1. Первое занятие кружка —
§ 2. Что такое «тематическое занятие» 11
§ 3. Десятиминутки 15
§ 4. Другие формы работы кружка 19
§ 5. Планирование работы кружка 21
§ 6. Выступления членов кружка 23
§ 7. Отдельные замечания относительно техники подготовки и проведения кружковых занятий 26
§ 8. Закрепление материала. Заключительное занятие кружка 30
Глава II. Тематика кружковых занятий 31
§ 1. Арифметика на кружковых занятиях 32
§ 2. Геометрия на кружковых занятиях V—VI классов 35
§ 3. Вопросы вычислительной техники в кружках V—VI класеов . . 37
§ 4. Множества, алгоритмы, высказывания 40
§ 5. На стыке арифметики и алгебры 45
§ 6. Функции и уравнения в восьмилетней школе 46
§ 7. Геометрия на кружковых занятиях VII—VIII классов 49
§ 8. Вопросы логики и эвристики в математическом кружке VIII—IX классов 53
§ 9. Понятие площади и его применения 55
§ 10. Функции и уравнения в кружках старших классов ' 57
§ 11. Неравенства и их применения 58
§ 12. Последовательности (IX класс) 59
§ 13. Комбинаторика и теория вероятностей в старших классах .... 62
§ 14. Геометрические вопросы в кружках IX—X классов 63
§ 15. Тригонометрия и комплексные числа 69
§ 16. Применения математики. Исторические сведения о математике и математиках 70
Глава III. Математические экскурсии. Моделирование 80
§ 1. Экскурсия «Математика на железной дороге» (VIII—IX классы) . . —
§ 2. Тематика математических экскурсий 89
§ 3. Моделирование 90
Глава IV. Внеклассное чтение. Математические сочинения 95
§ 1. Задания для желающих —
§ 2. Внеклассное чтение по математике . 96
§ 3. Математические сочинения 99
Глава V. Школьная математическая печать 101
§ 1. Математическая стенгазета —
§ 2. Куриал математического кружка. Другие формы школьной математической печати 105
Глава VI. Математические вечера 108
§ 1. Подготовка вечера —
§ 2. Содержание вечера
§ 3. Примеры программ математических вечеров 119
Глава VII. Математические состязания 121
§ 1. Математические олимпиады —
§ 2. Математические турниры и конкурсы 124
§ 3. Математические викторины 126
Часть II
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЧЕРКИ И ЗАДАЧИ
Глава I. Занимательные задачи для семиклассников 135
§ 1. Двадцать арифметических и логических задач
§ 2. Задачи, решаемые «с конца» 139
§ 3. Занимательные задачи на проценты 140
§ 4. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель .... 112
§ 5. Переливания, дележи, переправы при затруднительных обстоятельствах 143
§ 6. Задачи на разрезание и перекраивание фигур 144
§ 7. Геометрические упражнения с листом бумаги 145
§ 8. Арифметические ребусы 145
§ 9. Приближенный подсчет и прикидка 147
§ 10. Геометрия и оптические иллюзии 149
§ 11. Несколько математических софизмов 151
Глава 11. Множества, алгоритмы, высказывания 154
§ 1. Множества —
§ 2. Алгоритмы 162
§ 3. Теоремы: прямая, ей обратная и противоположная 167
§ 4. Доказательство способом «от противного» 173
§ 5. Достаточные и необходимые условия 175
§ 6. Алгоритмы ускоренных вычислений 180
§ 7. Несколько задач для геометра-следопыта 182
§ 8. Геометрические построения с различными чертежными инструмен тами 183
§ 9. Построения при наличии недоступных точек 185
§ 10. Разыскание точечных множеств на плоскости 187
Глава III. На стыке арифметики и алгебры 189
§ 1. Недесятичные системы счисления —
§ 2. Некоторые свойства натуральных и рациональных чисел 196
§ 3 Абсолютная величина и арифметический корень 199
Глава IV. Функции и уравнения 200
§ 1. Чтение графиков —
§ 2. Неопределенные уравнения 205
§ 3. Наибольшее и наименьшее значение квадратного трехчлена .... 209
§ 4. Метод неопределенных коэффициентов 210
§ 5. Непрерывное изменение 211
Глава V. Изучая планиметрию 215
§ 1. От Евклида до Лобачевского —
§ 2. Осевая и центральная симметрия в планиметрии 219
§ 3. Решение геометрических задач с помощью понятия о центре тяжести. 222
§ 4. Теорема Пифагора 225
§ 5. Теорема Стюарта 227
§ 6. Теорема Птолемея и ее приложения 228
§ 7. Механическая теорема Лагранжа и ее применение в геометрии . . 229
§ 8. Геометрические задачи на местности 232
§ 9. Десять планиметрических задач 234
Глава VI. Понятие площади и его применение 236
§ 1. Равновеликие и равносоставленные многоугольники —
§ 2. Двоякое выражение площади (или объема) как способ решения геометрических задач 238
§ 3. Теорема Чевы 240
§ 4. Число я 241
Глава VII. Математика, логика, эвристика 245
§ 1. Исчисление высказываний и булевы алгебры —
§ 2. Предикаты и кванторы 260
§ 3. Определения в математике 264
§ 4. Аналогия и индукция в математике 270
§ 5. Математическая индукция 282
Глава VIII. Комбинаторика и теория вероятностей 286
§ 1. Занимательные комбинаторные задачи —
§ 2. Биномиальная формула Ньютона 287
§ 3. Понятие о теории вероятностей 289
§ 4. Как измеряется информация 297
Глава IX. Неравенства и их применение 305
§ 1. Что больше —
§ 2. Что такое линейное программирование 306
§ 3. Доказательство некоторых неравенств 312
§ 4. Решение несовместных систем 315
Глава X. Последовательности 321
§ 1. Прогрессии —
§ 2. Суммирование . 322
§ 3. Понятие о бесконечных рядах 325
§ 4. Зачем были изобретены логарифмы 329
§ 5. Периодические десятичные дроби 334
§ 6. Цепные дроби 336
§ 7. Несколько трансцендентных уравнений 348
§ 8. Решение уравнений методом неподвижной точки 349
Глава XI. Геометрия для десятиклассников 361
§ 1. Десять стереометрических задач —
§ 2. Разыскание точечных множеств в Пространстве 362
§ 3. Решение планиметрических задач на доказательство с помощью тригонометрии 363
§ 4. Геодезические линии , 364
§ 5. Неевклидовы геометрии 365
Глава XII. Тригонометрия и комплексные числа 372
§ 1. Преобразование тригонометрических выражений —
§ 2. Аркфункции 373
§ 3. Прошлое и настоящее комплексных чисел 374
§ 4. Арифметика и алгебра комплексных чисел .379
§ 5. Геометрия комплексных чисел 380
Ответы 664
Указания 397
Решения 419
Литература 451
