Математика. Утрата определенности

Книгата на известния американски математик, професор от Нюйоркския университет Морис Клайн, в ярка и увлекателна форма рисува широка картина на развитието и формирането на математиката от древността до наши дни. Говори за същността на математическата наука и нейното място в съвременния свят. Предназначен за доста широк кръг читатели с общи научни интереси.

 

**

 

Предисловие редактора перевода

 

Что такое математика? Каковы ее происхождение и история? В чем отличие математики от других наук? Чем занимаются математики сегодня и каков, по их мнению, ныне статус науки, которая составляет предмет их интересов и профессио­нальной деятельности? Все эти вопросы живо интересуют многих, но практически ни одно из имеющихся в нашей литературе научно-популярных сочинений не дает на них достаточно полного ответа. Вопрос «Что такое математика?» вынесен в за­главие пользующейся заслуженной известностью книги Р. Куранта и Г. Роббинса [118]. В этом сочинении Курант сделал попытку «конструктивного» определения математики: «Математикой называется все то, о чем говорится в нашей книге». Однако подобный ответ вряд ли можно признать удовлетворительным: он разъяс­няет суть дела лишь в той степени, в какой авторам названной книги удалось охарактеризовать главные направления математической науки; без сомнения, мно­гих читателей книга Куранта — Роббинса может и разочаровать. Возможно, более всеобъемлющий ответ на поставленные нами вопросы дает другая книга, в значительной мере также созданная под руководством Р. Куранта,— сборник «Ма­тематика в современном мире» [137], в котором собраны посвященные математике статьи из известного американского научно-популярного журнала ЗсьепЩьс Атепсап Ч Однако, уделяя большое внимание общим вопросам, эта книга остает­ся всего лишь сборником статей различных авторов, отличающихся одна от другой по стилю, основным установкам и доступности для читателя.

-----------

¹   Ныне этот журнал переводится на русский язык и публикуется издательст­вом «Мир» под названием «В мире науки».

^[1] Здесь и далее ссылки на литературу, помеченные звездочкой, относятся к авторскому списку «Избранная литература».

^[1] Перечисляя книги Клайна, я обхожу здесь вниманием пользующиеся (воз­можно, даже чрезмерно громкой) известностью его недавние сочинения «Как складывает Джонни» и «Как учит учитель», содержащие острую критику совре­менной реформы преподавания математики в средней школе и написанные с при­сущими этому автору темпераментом и полемическим задором (см. также переве­денную ранее на русский язык интересную, но, пожалуй, чрезмерно заостренную статью и 38]),

----------

 

Одним из авторов «Математики в современном мире» был Морис Клайн, кото­рый в годы составления этого сборника возглавлял математический факультет Нью-Йоркского университета и был руководителем одного из отделов Математи­ческого института им. Куранта. В настоящее время Клайн отказался от всех своих официальных должностей, сохранив лишь звание заслуженного профессора курантовского института; он входит также в состав редколлегий журналов МаОгетаИсв Ма^агте и АгсЫюе /ог НЫогу о/ Ехас1 Зсьепсев. Клайн является автором многих книг, из числа которых можно отметить часто цитируемые сочинения «Математика в западной культуре» [46]*^[1] и, быть может, лучший из зарубежных курсов истории математики «Математическое мышление от древности до настоящего времени» [45]*. Но в наши дни наибольшим успехом из всех сочинений ^[2] М. Клайна поль­зуется его книга «Математика. Утрата определенности», предлагаемая ныне совет­скому читателю; такой успех обусловлен как бесспорным литературным и педаго­гическим талантом автора, так и широтой и важностью затронутых в книге во­просов.

 

Настоящая книга М. Клайна именно и ставит своей целью ответить на вопро­сы, прозвучавшие в начале нашего предисловия. Автор пытается разъяснить сущ­ность математики читателю, интересующемуся общенаучными проблемами, но не имеющему специального математического образования, и стремится ознакомить его с теми принципиальными проблемами, которые возникли в математике в кон­це XIX ив XX вв. В этом отношении книгу М. Клайна с полным основанием мож­но считать уникальной: столь широкий круг вопросов ранее в научно-популярной литературе по математике никогда не рассматривался. Изложение автора имеет «генетический» характер: он уделяет много внимания истории математики, осо­бенно тщательно анализируя кризисные моменты, связанные с необходимостью ломки самой «математической идеологии». При этом автор достаточно подробно говорит о связи «чистой» и прикладной математики, о «непостижимой эффективно­сти математики в естественных науках» (если использовать здесь название извест­ной и цитируемой автором статьи Юджина Вигнера). Но самое значительное место в книге М. Клайна отводится вопросам, связанным с современным положением математики, и трудностям, обнаруженным в ее обосновании уже в нашем сто­летии, нередко в самые последние десятилетия.

 

Можно не сомневаться, что для многих читателей изложенные автором факты будут весьма неожиданными: мы привыкли считать, что математика всегда явля­лась образцом строгости,— автор же говорит о «нелогичном развитии» этой самой строгой и последовательной из наук и указывает, что античный идеал «доказа­тельности» был достигнут здесь лишь во второй половине XIX в., а до этого обще~ научный уровень арифметики и алгебры, геометрии и анализа был таким, что от него, безусловно, отшатнулись бы в ужасе древнегреческие мыслители. Неспециа­листы привыкли считать, что в математике вообще не осталось никаких нерешен­ных проблем, но автор подчеркивает, что даже фундамент этой «самой научной из наук» не только не достроен, но, как будто никогда и не будет достроен до кон­ца \ так что непротиворечивость математики вызывает известные сомнения (ср. впрочем, с шутливым высказыванием Вейля, процитированным на с. 304). Главы «Нелогичное развитие» являются, быть может, самыми удачными в книге: чита­телю будет интересно узнать, с каким трудом входили в математику современное понятие числа или геометрические представления, с которыми мы знакомимся ныне буквально на школьной скамье.

-----

¹ Трудно не процитировать здесь столь почитаемого Клайном Германа Вейля: «...Процесс познания начинается, так сказать, с середины и далее развивается не только по восходящей, но и по нисходящей линии, теряясь в неизвестности. Наша задача заключается в том, чтобы постараться в обоих направлениях пробиться сквозь туман неведомого, хотя, конечно, представление о том, что колоссальный слон науки, несущий на себе груз истины, стоит на каком-то абсолютном фунда­менте, до которого человек может докопаться, является не более чем легендой» (из статьи «Феликс Клейн и его место в математической современности»; РеПх Юет 51е11ып§ т <1ег таШетаШсЬеп Ое§еп\\^?аг1, 01е Ха1ип\чз8епзсЬа11еп, Вс1 18, 1930, 5. 4—11; СезатгпеЙе АЬЬапсИил^ен, Вй. 3.— ВегПп: 5ргтцег-Уег1ап. 1968, 5. 292—299),

 

-----

Однако книга Клайна нуждается и в некоторых предостережениях. Рассчи­тывая на вдумчивого читателя и доверяя его критическому чутью, автор приводит много разных — иногда друг другу противоречащих — точек зрения и свободна сталкивает разные суждения, не настаивая на каком-либо определенном. Однако из того, что Клайн подробно рассказывает, скажем, о философии Канта, вовсе № гтедует, что сам он является кантианцем. Излагая далее религиозные установки ученых XVII—XVIII вв., Клайн также позже открещивается от них. Автор не претендует на то, чтобы читатель принял какую-либо из изложенных в книге ] илософских концепций, как не требует он и безоговорочно признать правоту в или иной из обсуждаемых им школ, занимающихся основаниями математи­ки: Клайн хочет о многом рассказать, но вовсе не во многом убедить. Это, конеч­но, не означает, что в книге абсолютно не выражена собственная позиция автора. Так, анализируя взаимоотношения математики с действительностью, Клайн явно стоит на стороне тех, кто видит в математике мощный аппарат познания реального мира, хотя не обходит вниманием и ученых, настаивавших на «объективном» : з шествовании математических понятий как образов, которые складываются в нашем мозгу и позволяют нам судить о Вселенной, существующей для нас лишь в той форме, какую придает ей наш разум (с этой позицией еще в середине XVIII в. полемизировал Л. Эйлер). Впрочем, книга М. Клайна, требующая известного вни­кания и определенной научной культуры, явно не рассчитана на легковерного читателя — это позволяет нам не спорить со всеми теми из изложенных в книге взглядов, с которыми ни редактор, ни читатель никогда не согласятся.

 

Впрочем, несколько оговорок, относящихся к книге М. Клайна, возможно, будут здесь полезны. Прежде всего следует иметь в виду, что это отнюдь не учеб­ник, а всего лишь сочинение научно-популярного характера: автор порой позво­ляет себе упрощать реальную ситуацию — поэтому читателям, которые захотят поглубже ознакомиться с затронутыми в книге вопросами, бесспорно, придется обратиться к дополнительной литературе, начиная с «Философской энциклопе­дии» (тт. 1—5.— М.: Советская энциклопедия, 1960—1970), содержащей не только достаточно подробные и снабженные дальнейшими литературными ссылками статьи, о всех упоминаемых в книге философах (скажем о Канте и кантианстве, о Юме и его школе), но и весьма отчетливые характеристики основных направлений в области оснований математики [логицизм, гильбер­тов формализм, интуиционизм и понимаемый Клайном, пожалуй, слишком расширительно конструктивизм (зачастую отождествляемый автором с интуи­ционизмом)] и даже обсуждение основных фактов и теорем из области осно­ваний математики, упоминаемых в этой книге. Далее, надо учитывать полеми­ческую заостренность этой интересной книги, стремление автора пробудить чи­тателя к размышлениям, вызвать его на спор, для чего Клайн иногда намеренно несколько драматизирует события. Так, он уделяет много внимания дискуссиям об основаниях математики, развернувшимся в начале нашего столетия и не сти­хающим до сих пор: однако при этом, конечно, надо учитывать, что «истинность» и применимость основного костяка математической теории ни у кого не вызывает серьезных сомнений, так что заключающая гл. XII притча о пауках в старинном замке представляется здесь вполне уместной.

 

Слишком заострена также и гл. XIII «Математика в изоляции». Действительно, в наши дни, видимо, уже невозможны личности, подобные, скажем, Герману Гель мгольцу — великому врачу, физиологу, физику, механику и математику; тем не менее это еще не дает оснований к тому, чтобы говорить о полном отрыве матема­тики от реальной жизни. Конечно, очень многие современные математики не инте­ресуются приложениями своей науки, и немало из печатающихся ныне в м а тем а­ тических журналах статей «канет в Лету», но это никак не относится к вождям математической науки нашего века, по которым стараются равняться все остальные ученые, как не касается и наиболее значительных работ, кстати сказать, нередко оцениваемых по заслугам лишь много позже. Автор специально отмечает глубокий интерес к естествознанию (в иных случаях — и к гуманитарным наукам) и конкретно к физике всех крупнейших математиков нашего столетия, внесших выдающийся вклад в эту область знания. Здесь можно назвать Анри Пуанкаре (небесная меха­ника, специальная теория относительности) и Давида Гильберта (общая теория относительности); Германа Вейля (теория относительности, квантовая механика) и Джона фон Неймана (квантовая механика, создание ЭВМ, математические мето­ды экономики, теория автоматов); Андрея Николаевича Колмогорова (теория тур­булентности в механике, теория динамических систем, математические методы в биологии, математическое стиховедение) и Джорджа Дэвида Биркгофа (теория относительности, динамические системы, математические методы эстетики). Сход­ную картину мы наблюдаем и в наши дни, когда почти все лидеры математической науки разных поколений отнюдь не чураются решения практических проблем. Да и само различие между «чистой» и прикладной математикой точному учету не поддается: нередко творцы новых разделов математики даже не подозревают, сколь большое практическое применение могут найти в дальнейшем их «чисто математические» результаты. Так, теория функций комплексного переменного соз­давалась Коши, Риманом и Вейерштрассом, которые, конечно, не могли предполо­жить, что много позже Н. Е. Жуковский укажет на важность этого математиче­ского аппарата для решения задач возникшей тогда новой области техники: гидро- и аэромеханики. Дж. Буль и другие логики XIX в. даже не подозревали, что разрабатывают аппарат, который в XX в. будет положен в основу функцио­нирования ЭВМ, а знаменитый Н. Бурбаки в своих «Очерках по истории матема­тики» [68] не так уже задолго до современного «октавного бума» в физике элементарных частиц довольно пренебрежительно отозвался об открытой А. Кэли неассоциативной алгебре гиперкомплексных чисел с восьмью комплексными едини­цами (алгебре октав; ср. со сказанным на с. 108 настоящей книги).

 

Стремясь облегчить чтение книги М. Клайна лицам, не имеющим математи­ческого образования, или начинающим математикам, мы сочли необходимым до­полнить авторский текст некоторыми пояснениями и уточнениями (они собраны в разделе «Примечания» в конце книги). Кроме того, к авторскому списку литера­туры, ориентированному исключительно на англоязычного читателя (где мы, однако, указали имеющиеся на русском языке переводы некоторых из перечислен­ных автором книг), был прибавлен список книг (главным образом на русском язы­ке), объединенных в раздел «Дополнительная литература». Следует также заме­тить, что у М. Клайна использование названной им литературы целиком предо­ставлено инициативе читателя: в английском оригинале книги не содержится ни одной ссылки на эту литературу. Таким образом, все имеющиеся в настоящем (рус­ском) издании ссылки на литературу принадлежат переводчику и редактору.

 

Заканчивая это (по необходимости несколько затянувшееся) предисловие, я хотел бы выразить надежду, что читатель получит удовольствие от предлагаемой ему книги — не во всех отношениях бесспорной, но безусловно яркой и очень интересной по содержанию.

 

Я. М. Яглом