ПРЕДИСЛОВИЕ

Метод наименьших квадратов в настоящее время широко при­меняется при обработке количественных результатов естественно­научных опытов, технических данных, астрономических и геоде­зических наблюдений и измерений. После классического труда А. А. Маркова [³⁸] на русском языке появилось некоторое число руководств, излагающих теорию этого метода (см., например, А. С. Чеботарёв [⁵³], И. И. Идельсон [²⁰], А. П. Ющенко [⁵⁸]). В них подробно изложена вычислительная сторона метода и указано много применений и примеров. Однако математико-статистическая сторона дела в них трактуется, в основном, в классическом духе прошлого века, без учета современных идей и достижений матема--тической статистики, в которую метод наименьших квадратов может быть естественно включен как часть теории оценивания пара­метров. Исключение составляет небольшая книга В. И. Романов­ского [⁴⁵], но она затрагивает лишь часть метода наименьших квад­ратов (и к тому же в изложении ее имеется ряд досадных теоре­тических неточностей).

Между тем применение современной математической статистики позволяет более полно и точно использовать информацию, извле­каемую из наблюдений методом наименьших квадратов, и глубже понять смысл и значение данных, полученных этим методом. Таким образом, оно полезно как практически, так и теоретически.

Настоящая книга представляет изложение теории метода наи­меньших квадратов с упором на математико-статистический смысл получаемых по этому методу данных (что, разумеется, имеет смысл лишь при естественном предположении о том, что погрешности измерений можно рассматривать как случайные величины).

Излагаются также основные вычислительные приемы метода (в § 12 гл. VI и в многочисленных примерах).

После введения, содержащего ряд практических примеров и догматическое применение к ним метода наименьших квадратов, в главах I, II, III вкратце излагаются необходимые сведения из алгебры, теории вероятностей и математической статистики, включая   элементы   современной   теории   оценивания параметров.

Теория обработки прямых измерений излагается в главах IV и V; здесь, в частности, изложен полезный прием обработки группы прямых измерений с извлечением информации о точности измерений из всех групп в совокупности. Глава VI трактует косвенные без­условные измерения, главы VIII и IX — уравнивание с помощью элементов и с помощью коррелят. Всюду проводится построение доверительных интервалов для оценивания измеряемых величин и точности измерений. В главе VII излагаются работы Ю. Неймана и Ф. Дэвид по оцениванию линейных форм от параметров. Глава X посвящена некоторым задачам геодезии, а глава XI — специально теории засечек. Некоторым новшеством здесь является применение доверительных эллипсов в теории засечек. В главе XII излагаются основы теории параболического интерполирования по П. Л. Чебы-шеву, в главе XIII — результаты А. Вальда о выравнивании ряда точек по прямой линии, когда не только ординаты, но и абсциссы измеряются с погрешностями. Последняя глава дает некоторые дополнительные сведения о методе наименьших квадратов: общую конструкцию доверительных эллипсоидов, теоремы о тесной связи метода наименьших квадратов с нормальным законом погрешности, теорему А. Н. Колмогорова, А. А. Петрова, Ю. М. Смирнова и понятие о методе, Коши обработки наблюдений.

Изложение теории ведется в матричной форме; нужные сведе­ния о матрицах собраны в главе I. Надо заметить, что такое изло­жение в настоящее время стало общепринятым в соответствующих математических работах благодаря краткости и удобству записей; оно проникает также в астрономию и геодезию (см., например, финскую работу по геодезии [⁵²]). Наиболее важные теоретические результаты выделены в перенумерованные теоремы.

Во втором издании внесены некоторые добавления и изменения. Добавлена новая (XIV) глава „О расстановке абсцисс в методе наи­меньших квадратов". Полностью переработан § 3 гл. III, где изло­жено недавно найденное О. В. Шалаевским весьма короткое доказательство неравенства Рао — Крамера для случая многих пара­метров. [1]) Изменен § 12 гл. VI, составленный А. П. Хусу. Вместо схемы Гаусса — Дулиттла изложена вычислительная схема квадрат­ного корня, в связи с чем пересчитаны некоторые примеры. Внесен ряд исправлений, в частности, исправлено указание к правилу пользования таблицей II.

Много важных замечаний к первому изданию книги указано Л. Н. Большевым; они учтены во втором издании.

Считаю себя обязанным выразить глубокую благодарность за помощь и внимание к данной книге Л. Н. Большеву, О. В. Шала-евскому и А. П. Хусу. Весьма благодарен профессору Чикагского Университета В. Крускалу за ценные замечания.

Ю. В. Линник

[1]Другое короткое доказательство этого же неравенства найдено ранее Л. Н. Большевым.