Оригинално заглавие:
A First Course in Numerical Analysis (1965)
*
СЪДЪРЖАНИЕ
Предговор 19
Означения 19
Глава I. УВОД И ПРЕДВАРИТЕЛНИ РАЗГЛЕЖДАНИЯ
1.1 Що е числен анализ ? 23
1.2. Източници на грешки 25
1.3. Дефиниции на грешка и сродни въпроси . 26
1.3-1. Значещи цифри и подреждане на пресмятанията 27
1.3- 2. Грешка при пресмятане на стойности на функция 30
1.4. Грешки от закръгляване 30
1.4- 1. Вероятностен подход към закръгляването. Конкретен пример ... 30
1.4- 2. Теория на старшата значеща цифра 34
1.5. Автоматични цифрови сметачни машини 35
1.5- 1. Основни идеи 35
1.5-2. Аритметика с фиксирана и плаваща запетая . 37
1.5-3. Аритметика с единична и с удвоена точност 39
1.5-4. Закръгляване 39
1.5-5. Бързина на смятане 40
Библиографични бележки . 41
Литература 41
Задачи 42
Глава II. ПРИБЛИЖЕНИЯ С ПОЛИНОМИ
2.1. Приближаване (апроксимиране) . 46
2.1-1. Класове от апроксимиращи функции 48
2.1-2. Видове приближения (апроксимации) 48
2.1- 3. Случай на полиномна апроксимания . 49
2.2. Основен оператор 55
2.2- 1. Частни случаи на основния оператор 65
Библиографични бележки 69
Литература
Задачи
Глава III. ИНТЕРПОЛАЦИЯ
3.1. Увод 63
3.2. Интерполация на Лагранж 65
3.3. Иитерполиране при равни интервали 67
3.3- 1. Лагранжова интерполация при равни интервали 67
3.3-2. Крайни разлики 69
3.4. Интерполационни формули с крайни разлики 75
3.5. Използуване на интерполационни формули 78
3.6. Многократна интерполация 80
3.7. Обратна интерполация . 82
3.8. Ермнтова интерполация 84
3.9. Обща полиномна интерполация. Детерминантен подход 87
3.10. Други методи на интерполация. Екстраполация 89
Библиографични бележки 90
Литература 90
Задачи 91
Глава IV. ЧИСЛЕНО ДИФЕРЕНЦИРАНЕ, ЧИСЛЕНИ КВАДРАТУРИ И СУМИРАНЕ
4.1. Формули за числено диференциране 100
4.2. Числено пресмятане на производни 103
4.3. Апроксимиране на производни с разлики 107
4.4. Числени квадратури Обща задача ^ ........ .г.. . 110
4.5. Гаусова квадратура 112
4.6. Теглови функции 116
4.7. Ортогонални полиноми и гаусова квадратура 118
4.8. 1 аусова квадратура върху безкрайни интервали 120
4.9. Частни формули за гаусова квадратура 123
4.9-1. Квадратура на Якоби — Гаус 123
4.9-2. Квадратура на Чебишев — Гаус 124
4.9- 3. Сингулярни интеграли 126
4.10. Квадратурни формули с ограничения 129
4.10- 1. Предписани абсциси. Квадратура на Радау и Лобато 130
4.10-2. Квадратура на Чебишев 136
4.11. Съставни квадратурни формули 138
4.12. Квадратурни формули на Нютон — Коутс 142
4.12-1. Съставни формули на Нютон—Коутс. Екстраполация на Ричардсън 146
4.12-2. Интегриране на Ромберг 149
4.13. Избор на квадратурна формула 153
4.14. Числено пресмятане ня квадратни интеграли 158
4.15. Сумиране 160
4.15-1. Сумационна формула на Ойлер —Маклорен 160
4.15-2. Сумиране на рационални функции. Факториелни функции .... 165
Библиографични бележки 168
Литература 168
Задачи 170
Глава V. ЧИСЛЕНО РЕШАВАНЕ НА ОБИКНОВЕНИ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ
5.1. Формулиране на задачата 189
5.2. Методи за числено интегриране 191
5.2-1. Метод на неопределените коефициенти 193
5.3. Грешката от прекъсване при методите за числено интегриране .... 195
5.4. Устойчивост на методите за числено интегриране 199
5.4-1. Сходимост и устойчивост 201
5.4- 2. Оценки и пресмятане на разпространението на грешката 208
5.5. Предикторно-корекционни методи 210
5.5- 1. Сходимост на итерациите 210
5.5-2. Предсказани приближения и корекции 212
5.5-3. Оценка на грешката 216
5.5- 4. Устойчивост 218
5.6. Начало на решението и изменяне на стъпката 222
5.6- 1. Аналитични методи 222
5.6-2. Един числен метод 223
5.6-3. Методи на Рунге—Кута 223
5.6-4. Изменяне на стъпката 234
5.7. Използуване на предикторно-корекционните методи 236
5.8. Други методи за числено интегриране 244
5.8-1. Специални методи за уравнения от втори ред 244
5.8-2. Методи, основаващи се на производни от по-висок ред 245
5.9. Гранични задачи 247
Библиографични бележки 248
Литература . , 249
Задачи 250
Глава VI. АПРОКСИМИРАНЕ НА ФУНКЦИИ — МЕТОДИ НА НАЙ-МАЛКИТЕ КВАДРАТИ
6.1. Увод 262
6.2. Принцип на най-малките квадрати 263
6.3. Полиномни апроксимации по най-малки квадрати 266
6.3-1. Решаване на нормалните уравнения 267
6.3- 2. Избиране степента на полинома 268
6.4. Апроксимации с ортогонални полиноми 270
6.5. Пример за получаване на апроксимации по най-малки квадрати 278
6.6. Грешки в апроксимациите по най-малки квадрати 282
6.7. Изглаждане 285
6.8. Фуриерова апроксимания 289
6.8-1. Тригонометрична интерполация 294
Библиографични бележки 296
Литература 297
Задачи . 298
Глава VII. АПРОКСИМИРАНЕ НА ФУНКЦИИ — МЕТОДИ НА МИНИМАКСНАТА ГРЕШКА
7.1. Общи бележки 307
7.2.. Рационални функции, полиноми и верижни дроби 309
7.3. Апроксимации на Паде 314
7.4.. Пример 316
7.5. Полиноми'на Чебишев 320
7.6. Чебишеви развития 323
7.7. Икономизиране на рационални функции 329
7.7-1. Икономизиране на степенни редове 329
7.7-2. Обобщение за рационални функции 331
7.8. Теорема на Чебишев за минимаксните апроксимации 334
7.9. Построяване на минимаксни апроксимации 339
Библиографични бележки 343
Литература 344
Задачи 345
Глава VIII. РЕШАВАНЕ НА НЕЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ
8.1- Увод 355
8.2. Функционални итерационни методи 357
8.2-1. Изчислителна ефективност 359
8.3. Метод на секущите , '. 360
8.4. Формули за едноточкова итерация . . . 366
8.4- 1. Рационални едноточкови итерационни формули 370
8.5. Многоточкови итерационни формули 374
8.5- 1. Итерационни формули, използуващи общата обратна интерполация 374
8.5-2. Итерационни формули с производни 376
8.6. Функционална итерация при многократен корен 379
8.7. Някои изчислителни аспекти на функционалната итерация 383
8.7-1. Процесът 82 385
8.8. Системи нелинейни.уравнения 385
8.9. Нули на полиноми-постановка на задачата 388
8.9- 1. Щурмови редици 389
8.10. Винаги сходящи методи 392
8.10- 1. Метод на Лемер—Шур 392
8.10-2. Метод на Грефе 397
8.10-3. Метод на Бернули 402
8.10- 4. Метод на Лагер 406
8.11. Алгоритми за деление на полиноми 409
8.11- 1. Линейни множчтели 410
8.11- 2. Квадратни множители 411
8.12. Намиране нули на полиноми чрез деление 411
8.12- 1. Линейни множители 411
8.12-2. Квадратични множители 414
8.13. Влияние на грешките в коефициентите върху корените. Лошо обусловени полиноми .417
8.14. Цялостна процедура за пресмятане нулите на полиноми 419
Библиографични бележки 420
Литература 421
Задачи 422
Глава IX. РЕШАВАНЕ НА СИСТЕМИ ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ
9.1. Основна теорема и постановка на задачата 433
9.2. Общи бележки 434
9.3. Директни методи 437
9.3-1. Гаусова елиминация 438
9.3-2. Един метод за калкулатори 441
9.3- 3. Решаване с цифрови сметачни машини 446
9.4. Анализ на грешката 457
9.4- 1. Норми 458
9.4-2. Оценки на грешката 461
9.5. Лошо обусловени уравнения 466
9.6. Матрични итерационни методи 469
9.7. Стационарни итерационни процеси и сродни въпроси 472
9.7-1. Итерация на Якоби 473
9.7-2. Метод на Гаус — Зайдел 473
9.7-3. Грешка от закръгляване при итерационните методи 477
9.7-4. Релаксация 478
9.7- 5. Ускоряване на стационарни итерационни процеси 480
9.8. Итерационни методи, основаващи се на минимизиране на квадратична форма 482
9.8- 1. Геометрични разглеждания 482
9.8-2. Метод на най-бързото спускане 484
9.8- 3. Метод на спретнатия градиент 486
9.9. Обръщане на матрици 489
9.9- 1. Обръщане чрез триъгълно разлагане 489
9.9-2. Клетъчен метод 490
Библиографични бележки 491
Литература 492
Задачи 493
Глава X. ПРЕСМЯТАНЕ НА СОБСТВЕНИ СТОЙНОСТИ И СОБСТВЕНИ ВЕКТОРИ НА МАТРИЦИ
10.1. Основни зависимости 508
10.1-1. Основни теореми 508
10.1-2. Характеристично уравнение 509
10.1-3. Локализация и граници на собствените стойности 510
10.1-4. Канонични форми 513
10.2. Намиране на най-голямата по модул собствена стойност чрез степенния метод 518
10.2-1. Ускоряване на сходимостта 521
10.3. Следващи по големина собствени стойности 524
10.3-1. Скъсяване на матрица 524
10.3- 2. Методи за унищожаване 530
10.4. Собствени стойности и собствени вектори на симетрични матрици . . . 531
10.4- 1. Метод на Якоби 532
10.4-2. Метод на Гивънс 537
10.4- 3. Метод на Хаусхолдер 541
10.5. Методи за несиметрични матрици 545
10.5.1. Метод на Ланцош 546
10.5.2. Свръхтриангулация и скъсяване 550
10.5.3. Други методи за несиметрични матрици 556
10.6. Трансформациите 556
10.6.1. Трасформацията 557
10.6.2. Трансформацията 563
10.7. Разни въпроси 566
Библиографични бележки 568
Литература .569
Задачи 570
Отговори и упътвания на задачите 581
Допълнителна литература на руски език 621
Азбучен указател 625
