Книга американского ученого, знакомящая с основными понятиями и методами дифференциальной геометрии. В ней использован довольно общий алгебраический и аналитический подход, изложение богато иллюстрировано графическим материалом, имеется около 300 задач.
Предназначается для математиков, преподавателей вузов, аспирантов и студентов университетов.
**
ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
По дифференциальной геометрии на русском языке имеется довольно много учебников и монографий учебного характера — как оригинальных, так и переводных. В своей совокупности они, конечно, охватывают теорию поверхностей и в трехмерном и в многомерном пространствах. Но все же представляется, что многомерной геометрии в этих книгах по разным причинам не уделено должного внимания — или математического или методического. Мы имеем в виду, что во многих курсах теория поверхностей рассматривается лишь для трехмерного пространства, а курсы, где излагается многомерный случай, написаны на относительно высоком уровне и довольно трудны для начинающих.
Предлагаемая вниманию читателей книга американского математика Торпа представляется удачным пополнением учебной литературы по дифференциальной геометрии, восполняющим именно этот пробел. Книга посвящена основам теории ^-мерных поверхностей в (п + 1)-пространстве. Изложение методически продуманное, проверенное на собственном педагогическом опыте автора и, нужно сказать, довольно удачное, так как оно активно использует и развивает те понятия и методы многомерных математических дисциплин — теории функций многих переменных, линейной алгебры и дифференциальных уравнений, которые уже известны студентам.
Конечно, книга не может считаться учебником по дифференциальной геометрии для наших студентов 2-го курса университетов, но сам изложенный материал, современная форма изложения, набор удачных иллюстраций и большой запас задач делают книгу полезной для всех, кто интересуется дифференциальной геометрией. В первую очередь она предназначается тем, кто занимается преподаванием, и тем кто хочет ознакомиться с основными понятиями дифференциальной геометрии на вполне доступном и в то же время достаточно высоком научном уровне.
И. X. Сабитов
***
ОГЛАВЛЕНИЕ
От переводчика б
Предисловие 7
1. Графики и множества уровня 11
2. Векторные поля 17
3. Касательное пространство 26
4. Поверхности 30
5. Векторные поля на поверхностях; ориентация 39
6. Гауссово отображение 50
7. Геодезические 59
8. Параллельный перенос 69
9. Отображение Вейнгартена 80
10. Кривизна плоских кривых 93
11. Длина дуги и криволинейные интегралы .101
12. Кривизна поверхностей 121
13. Выпуклые поверхности 140
14. Параметризованные поверхности 160
15. Локальная эквивалентность поверхностей и параметризованных поверхностей 176
16. Фокальные точки 193
17. Площади и объемы 202
18. Минимальные поверхности 226
19. Экспоненциальное отображение 236
20. Поверхности с краем 257
21. Теорема Гаусса — Бонне 276
22. Движения и конгруентность 306
23. Изометрии 320
24. Римановы метрики 336
Библиография 354
Предметный указатель 356
