Книгата е достъпна за ученици от гимназията, които се интересуват от математика. В същото време в много глави допълва добре, без да дублира, курса на университетската математика. Тази книга ще бъде прочетена с удоволствие от зрял математик, който случайно не се е запознал с нея в хода на своето математическо образование.

 

 

Вступительное слово П. С. Александрова 5

Предисловие

 

 

Глава I. Простейшие кривые и поверхности

 

§ 1. Плоские кривые 9

§ 2. Цилиндр и конус, конические сечения и поверхности вращения, образуемые ими '5

§ 3. Поверхности второго порядка 20

§ 4. Построение эллипсоида  и софокусных поверхностей   второго порядка при помощи нити 27

 

Добавления к главе I

 

§ 1. Построение конического сечения при помощи подэры 33

§ 2. Директрисы конических сечений 35

§ 3. Подвижная стержневая модель гиперболоида 37

 

 

Глава II. Правильные точечные системы

 

§ 5. Плоские точечные решетки 40

§ 6. Плоские точечные решетки в теории чисел 45

§ 7. Точечные решетки в трех и более измерениях 52

§ 8. Кристаллы как правильные точечные системы 60

§ 9. Правильные точечные системы и дискретные группы движений . . 64

§ 10. Плоские  движения  и  их  сложение.   Классификация дискретных групп плоских движений 67

§ 11. Дискретные группы плоских движений с бесконечной фундаментальной  областью 72

§ 12. Федоровские группы движений на плоскости. Правильные системы точек и стрелок. Построение плоскости из конгруэнтных областей 78

§ 13. Кристаллографические классы и группы пространственных движений. Группы и точечные системы с зеркальной симметрией   ... 90

§ 14. Правильные   многогранники 98

 

 

Глава III. Конфигурации

 

§ 15. Предварительные замечания о плоских конфигурациях 103

§ 16. Конфигурации (73) и (83) 106

§ 17. Конфигурации (93) 110

§ 18. Перспектива, бесконечно  удаленные элементы  и  принцип двойственности на плоскости 119

§ 19. Бесконечно удаленные элементы и принцип двойственности в про¬странстве. Теорема Дезарга и конфигурация Дезарга (103)   .   . .126

§ 20. Сопоставление теорем Паскаля и Дезарга 135

§ 21. Предварительные замечания  о  пространственных  конфигурациях 138

§ 22. Конфигурация   Рейе 140

§ 23. Правильные тела и ячейки и их проекции 148

§ 24. Исчислительные методы геометрии 161

§ 25. Двойной шестисторонник Шлефли 167

 

 

Глава IV. Дифференциальная геометрия

 

§ 26. Плоские кривые 175

§ 27. Пространственные кривые 161

§ 28. Кривизна поверхности. Случаи эллиптический, гиперболический и параболический. Линии кривизны и асимптотические линии; точки округления, минимальные поверхности; «обезьянье седло»   .... 185

§ 29. Сферическое изображение и гауссова кривизна 194

§ 30. Развертывающиеся поверхности. Линейчатые поверхности   .... 205

§ 31. Кручение пространственных кривых 212

§ 32. Одиннадцать свойств  шара 216

§ 33. Изгибание поверхностей на себя 232

§ 34. Эллиптическая геометрия 235

§ 35. Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия). Ее взаимоотношения с евклидовой и эллиптической геометрией 242

§ 36. Стереографическая   проекция   и   преобразования, сохраняющие окружности. Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского 248

§ 37. Методы отображений. Отображения, сохраняющие длину, сохра¬няющие площади, геодезические, непрерывные и конформные   .   . 259 § 38. Геометрическая теория функций. Теорема Римана об отображениях. Конформное отображение в пространстве 263

§ 39. Конформное отображение кривых поверхностей. Минимальные поверхности. Задача Плато 268

 

 

Глава V. Кинематика

 

§ 40. Шарнирные механизмы 272

§ 41. Движение плоских фигур 275

§ 42. Прибор для построения эллипсов и их рулетт 283

§ 43. Движения в пространстве 285

 

 

Глава VI. Топология

 

§ 44. Многогранники 289

§ 45. Поверхности 294

§ 46. Односторонние   поверхности 301

§ 47. Проективная плоскость как замкнутая поверхность 311

§ 48. Нормальные формы поверхностей конечной связности 319

§ 49. Топологическое отображение поверхности на себя. Неподвижные точки.   Классы  отображений.  Универсальная  накрывающая  тора 322

§ 50. Конформное отображение тора 327

§ 51. Задачи о соседних областях, задача о нити и задача о красках 331

 

Добавления к главе VI

 

§ 1. Проективная плоскость в четырехмерном пространстве 338

§ 2. Евклидова плоскость в четырехмерном пространстве 339

 

 

Предметный указатель 341

 

***

 

ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО

Одно из свойств личности Гильберта как математика и как человека, мне кажется, правильнее всего назвать увлекательностью этой личности. Это свойство включает в себя и глубокое своеобразие всей личности и ее яркую творческую одаренность и, наконец, ее общую эмоциональность. Увлекательность в этом смысле была присуща и публичным выступлениям Гильберта, его университетским лекциям, в частности, в высшей степени была свойственна лекциям по наглядной геометрии, читанным Гильбертом в геттингенском университете. Этот курс лекций я имел счастье прослушать в течение летнего семестра 1923 года с начала до конца, и он произвел незабываемое, ничем не изгладимое впечатление. Приведение курса лекций к виду книги осуществил талантливый немецкий геометр С. Кон-Фоссен, который провел последние годы своей жизни в Советском Союзе. Здесь он принял участие в подготовке первого издания русского перевода книги «Наглядная геометрия». Незадолго до начала второй мировой войны С. Кон-Фоссен умер от воспаления легких, не дожив и до сор ка лет.

П. С. Александров

 

****

ПРЕДИСЛОВИЕ

В математике, как и вообще в научных исследованиях, встречаются две тенденции: тенденция к абстракции— она пытается выработать логическую точку зрения на основе различного материала и привести весь этот материал в систематическую связь — и другая тенденция, тенденция к наглядности, которая в противоположность этому стремится к живому пониманию объектов и их внутренних отношении.

Что касается геометрии, то в ней тенденция к абстракции привела к грандиозным систематическим построениям алгебраической геометрии, римановой геометрии и топологии, в которых находят широкое применение методы абстрактных рассуждений, символики и анализа. Тем не менее и ныне наглядное понимание играет первенствующую роль в геометрии, и притом не только как обладающее большой доказательной силой при исследовании, но и для понимания и оценки результатов исследования.

Здесь мы будем рассматривать геометрию в ее современном состоянии с наглядной стороны. Руководствуясь непосредственным созерцанием, мы сможем уяснить многие геометрические факты и постановку вопросов и благодаря этому во многих случаях мы сможем также изложить в наглядной форме методы исследований и доказательств, которые приводят к пониманию теорем без введения в рассмотрение деталей абстрактных теорий и выкладок. Например, доказательство того, что сфера со сколь угодно малой дырой все еще разгибаема, или что два различных тора не всегда могут быть конформно отображены друг на друга, можно представить в такой форме, которая дает представление о ходе доказательства, не заставляя следовать за деталями аналитического изложения.

Благодаря разносторонности геометрии и ее отношениям к различным ветвям математики мы получим, таким образом, обзор математики вообще и представление об изобилии ее проблем и о богатстве содержащихся в ней идей. Так, с помощью наглядного рассмотрения выявятся результаты важнейших направлений геометрии, содействующие справедливой оценке математики в широкой публике. Ибо вообще математика не пользуется популярностью, хотя ее значение и признается. Причина этого лежит в распространенном представлении о математике как о продолжении и более высокой ступени счетного мастерства. Этому представлению должна противостоять наша книга, в которой вместо формул приведено много наглядных фигур, которые читатель легко дополнит моделями.

Книга должна послужить увеличению числа друзей математики, облегчая читателю проникновение в математику без необходимости изучения ее, сопряженного с известными трудностями.

При такой целеустановке благодаря богатству материала не может быть никакой речи о систематичности и полноте изложения; не могли быть исчерпаны также и отдельные темы. Далее невозможно во всех разделах этой книги предполагать у читателя равную степень математической подготовки. В то время как вообще изложение совершенно элементарно, некоторые прекрасные математические исследования можно изложить вполне понятно только прошедшим уже некоторую школу, если избегать утомительных длиннот.

Все добавления к отдельным главам предполагают известное предварительное образование. Они всегда дополняют, а не поясняют текст.

Различные ветви геометрии находятся в тесных и часто неожиданных взаимоотношениях друг с другом. В нашей книге это очень часто проявляется. При большом разнообразии материала было все же необходимо придать каждой отдельной главе известную законченность и в последующих главах не предполагать полного знания предыдущих; путем отдельных маленьких повторений мы надеялись достигнуть того, что каждая отдельная глава, а иногда даже отдельные разделы представляют интерес сами по себе и в отдельности доступны пониманию читателя. Пусть читатель прогуливается в огромном саду геометрии, в котором каждый может составить себе такой букет, какой ему нравится.

Основу этой книги составили четырехчасовые лекции «Наглядной геометрии», которые я читал зимой 1920/21 г. в Геттингене и которые обработал В. Роземан. В основном содержание и построение их остались неизменными. В деталях С. Кон-Фоссен многое переработал и частично расширил.

 

Давид Гильберт
Геттинген, июнь 1932 г.