СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ко второму изданию 7
Введение 9
Обозначения
Глава I. Группы 13
§ 1. Понятие группы 13
Опр. 1. Прим. 1—2.
§ 2. Подгруппа. Нормальный делитель. Факторгруппа 17
Опр. 2—4. Прим. 3—4.
§ 3. Изоморфизм. Гомоморфизм 21
Опр. 5—6. Теор. 1. Прим. 5—7.
§ 4. Центр. Коммутант 27
Опр. 7—9. Прим. 8—9.
§ 5. Прямое произведение групп 29
Опр. 10—10'. Прим. 10—12.
§ 6. Коммутативные группы 38
Теор. 2. Прим. 13—15.
§ 7. Кольца и тела 49
Опр. 11. Прим. 16.
Глава II. Топологические пространства 60
§ 8. Понятие топологического пространства 61
Опр. 12—13. Прим. 17—18.
§ 9. Окрестности 62
Опр. 14. Теор. 3. Прим. 19—20.
§ 10. Гомеоморфизм. Непрерывное отображение 69
Опр. 15—16.
§ 11. Подпространство 71
Опр. 17. Прим. 21—22.
§ 12. Аксиомы отделимости 74
Опр. 18. Прим. 23—24.
§ 13. Бикомпактность 79
Опр. 19. Теор. 4. Прим. 25—26.
§ 14. Прямое произведение топологических пространств 86
Опр. 20. Теор. 5—7. Прим. 27—28.
§ 15. Связность 95
§ 16. Размерность 98
Опр. 21. Теор. 8.
Глава III. Топологические группы ЮЗ
§ 17. Понятие топологической группы 104
Опр. 22. Прим. 29.
§ 18. Система окрестностей единицы Юо
Теор. 9. Прим. 30—31.
§ 19. Подгруппа. Нормальный делитель. Факторгруппа 109
Опр. 23-25. Теор. 10. Прим. 32—34.
§ 20. Изоморфизм. Гомоморфизм 120
Опр. 26—27. Теор. 11—12. Прим. 35—37.
§ 21. Прямое произведение топологических групп 127
Опр. 28—29. Теор. 13. Прим. 38—40.
§ 22. Связные и вполне несвязные группы 137
Теор. 14—17. Прим. 41—42.
§ 23. Локальные свойства. Локальный изоморфизм 141
Опр. 30. Теор. 18. Прим. 43—44.
§ 24. Непрерывные группы преобразований 149
Опр. 31. Теор. 19—20. Прим. 45—46.
Глава IV. Топологические тела 158
§ 25. Топологические кольца и тела 159
Опр. 32.
§ 26. Классические непрерывные тела 163
Прим. 47.
§ 27. Структура непрерывных тел 174
Теор. 21—22. Прим. 48.
Глава V. Линейные представления бикомпактных топологических групп 190
§ 28. Непрерывные функции на топологической группе 191
Теор. 23. Прим. 49—50.
§ 29. Инвариантное интегрирование 196
Опр. 33. Теор. 24—25. Прим. 51—52.
§ 30. Интегральные уравнения на группе 206
Теор. 26—27. Прим. 53—54.
§ 31. Предварительные сведения о матрицах 219
§ 32. Соотношения ортогональности 224
Опр. 34—35. Теор. 28—31. Прим. 55—56.
§ 33. Полнота системы неприводимых представлений 230
Теор. 32—35. Прим. 57—60.
Глава VI. Коммутативные локально бикомпактные топологические группы 240
§ 34. Группа характеров 241
Опр. 36—37. Теор. 36. Прим. 61.
§ 35. Группы характеров факторгруппы и открытой подгруппы . 247
Теор. 37. Прим. 62.
§ 36. Группы характеров элементарных групп 251
Теор. 38. Прим. 63.
§ 37. Теоремы двойственности для бикомпактных и дискретных групп 256
Опр. 38. Теор. 39—45. Прим. 64—65.
§ 38. Размерность, связность и локальная связность бикомпактной группы 262
Теор. 46—49. Прим. 66—68.
§ 39. Структура локально бикомпактных групп 269
Теор. 50—51. Прим. 69-71.
§ 40. Теоремы двойственности для локально бикомпактных групп 278
Теор. 52—57. Прим. 72—75.
Глава VII. Понятие группы Ли 285
§ 41. Группа Ли 287
Опр. 39. Прим. 76.
§ 42. Однопараметрические подгруппы 291
Теор. 58—60. Прим. 77.
§ 43. Теорема инвариантности 299
Теор. 61. Прим. 78.
§ 44. Подгруппа и факторгруппа 303
Теор. 62—63. Прим. 79.
§ 45. Группы Ли и аналитические многообразия 312
Опр. 40—41. Теор. 64—66. Прим. 80.
Глава VIII. Структура бикомпактных топологических групп . . 324
§ 46. Сходящиеся ряды бикомпактных групп 325
Опр. 42—43. Теор. 67—68. Прим. 81.
§ 47. Конечномерные бикомпактные группы 332
Теор. 69—71. Прим. 82.
§ 48. Транзитивные бикомпактные группы преобразований конечномерных пространств 340
Теор. 72—75. Прим. 83-84.
Глава IX. Локально изоморфные группы 345
§ 49. Фундаментальная группа 346
Опр. 44. Прим. 85.
§ 50. Накрывающее пространство 352
Опр. 45. Теор. 76—78. Прим. 86—88.
§ 51. Накрывающие группы 363
Опр. 46. Теор. 79—80. Прим. 89—92.
Глава X. Группы Ли и алгебры Ли 375
§ 52. Структурные константы. Алгебра Ли 375
Опр. 47—48. Теор. 81—82. Прим. 93.
§ 53. Подалгебра. Алгебра вычетов. Гомоморфное отображение . . 382
Теор. 83—84. Прим. 94.
§ 54. Линейные группы. Автоморфизмы алгебр Ли 386
Прим. 95.
§ 55. Условия интегрируемости 393
Теор. 85.
§ 56. Построение группы Ли по структурным константам .... 396
Теор. 86—89. Прим. 96—97.
§ 57. Построение подгруппы и гомоморфизма 408
Теор. 90—92. Прим. 98—99.
§ 58. Разрешимые и полупростые алгебры Ли 415
Опр. 49. Теор. 93—94. Прим. 100.
§ 59. Построение группы Ли в целом 423
Теор. 95—97. Прим. 101.
§ 60. Локальные группы Ли преобразований 429
Опр. 50. Теор. 98. Прим. 102—103.
Глава XI. Структура компактных групп Ли 437
§ 61. Компактные алгебры Ли 439
Теор. 99—103. Прим. 104.
§ 62. Корневая система полупростой компактной алгебры Ли . . 448
Опр. 51. Теор. 104—105. Прим. 105.
§ 63. Построение полупростой компактной алгебры Ли по ее корневой системе 459
Теор. 106.
§ 64. Инвариантность корневой системы 467
Теор. 107—110. Прим. 106—107.
§ 65. Классические алгебры Ли и их корневые системы 480
Теор. 111—112. Прим. 108.
§ 66. Классификация простых компактных алгебр Ли 496
Теор. 113—114. Прим. 109—110.
Литература 509
Распределение литературы по главам 511
Указатель 512
**
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящее, второе издание книги существенно отличается от предыдущего. Прежде всего, сделано значительное число различных дополнений. Главным из них является одиннадцатая глава, в которой дана классификация компактных групп Ли, основанная на глубоком алгебраическом исследовании алгебр Ли. Далее, добавлена глава четвертая, посвященная топологическим кольцам и телам. Из трех параграфов этой главы наиболее интересен последний, в котором дается детальное исследование непрерывных алгебраических тел. В главе третьей добавлен параграф, посвященный группам непрерывных преобразований. В главе пятой добавлена теория интегральных уравнений, заданных на топологической группе, которая раньше заменялась ссылкой на аналогию с теорией интегральных уравнений, заданных на отрезке числовой прямой. В главе седьмой добавлен параграф, посвященный понятиям гладкого и аналитического многообразий и связи этих понятий с группами Ли. Результаты этого параграфа применяются в главе одиннадцатой при изучении компактных групп Ли в целом. В главе восьмой проведено дополнительно к исследованию бикомпактной группы исследование бикомпактной группы преобразований. В главе девятой дано более развернутое, чем раньше, рассмотрение накрывающих пространств. Кроме этих добавлений, существенным отличием нового издания является переход от компактных и локально компактных групп, удовлетворяющих второй аксиоме счет-ности, к бикомпактным и локально бикомпактным группам. Это изменение значительно отразилось на многих главах книги, в частности на главе второй, посвященной топологическим пространствам. Глава вторая приобрела более стройный характер и лучше отражает современное состояние абстрактной топологии. Таковы наиболее существенные отличия второго издания книги. Кроме них, имеются и другие, более мелкие добавления и исправления.
В заключение я хочу выразить свою благодарность В. А. Рохлину, который помогал мне редактировать первую половину книги, и В. Г. Болтянскому, который помогал в редактировании второй половины книги. Кроме того, я очень признателен А. Г. Курошу, организовавшему обсуждение первого издания книги на своем алгебраическом семинаре. Это обсуждение оказало мне значительную помощь при подготовке второго издания. Я искренне признателен А. И. Мальцеву, который внимательно прочел окончательный текст настоящего издания и сделал ряд ценных указаний, полностью мною использованных.
Л. С. Понтрягин
14 декабря 1953 г., г. Москва
