Предисловие к третьему изданию 7
Введение 9
Обозначения 11
Глава 1. Группы 13
§ 1. Понятие группы 13-
Опр. 1. Прим. 1—2.
§ 2. Подгруппа. Нормальный делитель. Факторгруппа ... 17"
Опр. 2-4. Прим. 3—4.'
§ 3. Изоморфизм. Гомоморфизм 21
Опр. 5-6. Теор. 1. Прим. 5—7.
§ 4. Центр. Коммутант 277
Опр. 7-9. Прим. 8—9.
§ 5. Прямое произведение групп 30
Опр. 10—10'. Прим. 10—12.
§ 6. Коммутативные группы 38
Теор. 2. Прим. 13—15.
§ 7. Кольца и тела 49
Опр. 11. Прим. 16.
Глава 2. Топологические пространства 60'
§ 8. Понятие топологического пространства 61
Опр. 12—13. Прим. 17—18.
§ 9. Окрестности 63
Опр. 14. Теор. 3. Прим. 19—20.
§ 10. Гомеоморфизм. Непрерывное отображение 69
Опр. 15—16.
§ 11. Подпространство 72
Опр. 17. Прим. 21—22.
§ 12. Аксиомы отделимости 75
Опр. 18. Прим. 23—24.
§ 13. Бпкомпактность . 80
Опр. 19. Теор. 4. Прим. 25—26.
§ 14. Прямое произведение топологических пространств ... 87
Опр. 20. Теор. 5—7. Прим. 27—28.
§ 15. Связность 96
§ 16. Размерность 99
Опр. 21. Теор. 8.
Глава 3. Топологические группы 164
§ 17. Понятие топологической группы 105
Опр. 22. Прим. 29.
§ 18. Система окрестностей единицы , . 10*
Теор. 9. Прим. 30—31.
§ 19. Подгруппа. Нормальный делитель. Факторгруппа , . . 111
Опр. 23—25. Теор. 10. Прим. 32—34.
§ 20. Изоморфизм. Гомоморфизм 121
Опр. 26-27. Теор. 11—12. Прим. 35—37.
§ 21. Прямое произведение топологических групп 129
Опр. 28—29. Теор. 13. Прим. 38—40.
§ 22. Связные и вполне несвязные группы 138
Теор. 14—17. Прим. 41—42.
§ 23. Локальные свойства. Локальный изоморфизм 143
Опр. 30. Теор. 18. Прим. 43—44.
§ 24. Непрерывные группы преобразований 151
Опр. 31. Теор. 19—20. Прим. 45—46.
Глава 4. Топологические тела 160
§ 25. Топологические кольца и тела 161
Опр. 32.
§ 26. Классические непрерывные тела 165
Прим. 47.
§ 27. Структура непрерывных тел 176
Теор. 21—22. Прим. 48.
Глава 5. Линейные представления бикомпактных топологических групп 192
§ 28. Непрерывные функции на топологической группе . . . 193
Теор. 23. Прим. 49—50.
§ 29. Инвариантное интегрирование 198
Опр. 33. Теор. 24—25. Прим. 51—52.
§ 30. Интегральные уравнения на группе 208
Теор. 26-27. Прим. 53—54.
§ 31. Предварительные сведения о матрицах 221
§ 32. Соотношения ортогональности 227
Опр. 34-35. Теор. 28-31. Прим. 55-56.
§ 33. Полнота системы неприводимых представлений .... 233
Теор. 32-35. Прим. 57-60.
Глава 6. Коммутативные локально бикомпактные топологические группы 243
§ 34. Группа характеров 244
Опр. 36-37. Теор. 36. Прим. 61.
§ 35. Группы характеров факторгруппы и открытой подгруппы 250
Теор. 37. Прим. 62.
§ 36. Группы характеров элементарных групп 254
Теор. 38. Прим. 63.
§ 37. Теоремы двойственности для бикомпактных и дискретных групп 259
Опр. 38. Теор. 39-45. Прим. 64—65.
§ 38. Размерность, связность и локальная связность бикомпактной группы 266
Теор. 46-49. Прим. 66-68.
§ 39. Структура локально бикомпактных групп 273
Теор. 50-51. Прим. 69-71.
§ 40. Теоремы двойственности для локально бикомпактных групп - 281
Теор. 52-57. Прим. 72-75.
Глава 7. Понятие группы Ли 288
§ 41. Группа Ли 290
Опр. 39. Прим. 70.
§ 42. Однопараметрпческие подгруппы 294
Теор. 58-60. Прим. 77.
§ 43. Теорема инвариантности 302
Теор. 61. Прим. 78.
§ 44. Подгруппа и факторгруппа 307
Теор. 62-63. Прим. 79.
§ 45. Группы Ли и аналитические многообразия 316
Опр. 40—41. Теор. 64-66. Прим. 80.
Глава 8. Структура бикомпактных топологических групп 328
§ 46. Сходящиеся ряды бикомпактных групп 329
Опр. 42-43. Теор. 67-68. Прим. 81.
§ 47. Конечномерные бикомпактные группы 336
Теор. 69-71. Прим. 82.
§ 48. Транзитивные бикомпактные группы преобразований конечномерных пространств 344
Теор. 72—75. Прим. 83-84.
Глава 9. Локально изоморфные группы 350
§ 49. Фундаментальная группа 351
Опр. 44. Прим. 85.
§ 50. Накрывающее пространство 357
Опр. 45. Теор. 76—78. Прим. 86-88.
§ 51. Накрывающие группы 368
Опр. 46. Теор. 79-80. Прим. 89-92.
Глава 10. Группы Ли и алгебры Ли 380
§ 52. Структурные константы. Алгебра Ли 380
Опр. 47-48. Теор. 81-82. Прим. 93.
§ 53. Подалгебра. Факторалгебра. Гомоморфное отображение 387
Теор. 83-84. Прим. 94.
§ 54. Линейные группы. Автоморфизмы алгебр Ли 391
Прим. 95.
§ 55. Условия интегрируемости 398
Теор. 85.
§ 56. Построение группы Ли по структурным константам . . . 402
Теор. 86-89. Прим. 96-97.
§ 57. Построение подгруппы и гомоморфизма 414
Теор. 90—92. Прим. 98-99.
§ 58. Разрешимые и полупростые алгебры Ли 420
Опр. 49. Теор. 93-94. Прим. 100.
§ 59. Построение группы Ли в целом ... 429
Теор. 95-97. Прим. 101.
§ 60. Локальные группы Ли преобразований 434
Опр. 50. Теор. 98. Прим. 102-103.
Глава 11. Структура компактных групп Ли 443
§ 61. Компактные алгебры Ли 445
Теор. 99-103. Прим. 104.
§ 62. Корневая система полунростой компактной алгебры Ли 454
Опр. 51. Теор. 104-105. Прим. 105.
§ 63. Построение полупростой компактной алгебры Ли по ее корневой системе 465
Теор. 106.
§ 64. Инвариантность корневой системы . 473
Теор. 107-110. Прим. 106-107.
§ 65. Классические алгебры Ли и их корневые системы ... 486
Теор. 111-112. Прим. 108.
§ 66. Классификация простых компактных алгебр Ли . . .502
Теор. 113-114. Прим. 109-110. 515
Литература
Распределение литературы по главам 517
Указатель
***
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
С точки зрения чисто логической непрерывная или, что то же самое, топологическая группа представляет собой простое соединение двух основных математических понятий: группы и топологического пространства, именно, элементы одного и того же множества составляют группу и в то же время топологическое пространство. Ясно, что такое объединение не имело бы никакого смысла, если бы алгебраические и топологические операции, определенные на одном и том же множестве, не были связаны между собой. Связь эта существует и заключается в том, что групповые операции умножения и взятия обратного элемента непрерывны в смысле заданной топологии. Возникающее таким образом понятие и пред-ставляет собой топологическую группу. Аналогично может быть определено топологическое кольцо и топологическое тело. Приведем примеры:
1) конечномерное векторное пространство с групповой операцией сложения является топологической группой;
2) совокупность всех квадратных матриц данного порядка с действительными элементами с обычными для матриц операциями сложения и умножения является топологическим кольцом;
3) совокупность всех квадратных матриц данного порядка с действительными элементами и детерминантами, отличными от нуля, с обычной операцией матричного умножения является топологической группой;
4) тела действительных чисел, комплексных чисел и кватернионов являются топологическими.
Тот факт, что такого рода тополого-алгебраические объекты довольно часто встречаются в математике, сам по себе не мог бы служить убедительным основанием для их изучения. Оказалось, однако, что, налагая на тополого-алгебраический объект ограничения (аксиомы) весьма общего характера, мы приходим к чрезвычайно конкретным математическим понятиям. Например, непрерывное алгебраическое тело, если оно связно и локально бикомпактно, изоморфно либо телу действительных чисел, либо телу комплексных чисел, либо телу кватернионов (результат, полученный мною в начале тридцатых годов [34]). Несколько позже мною было обнаружено [37], что между коммутативными бикомпактными топологическими группами и дискретными коммутативными группами имеется естественное взаимно однозначное соответствие, которое осуществляется образованием группы характеров. Такого рода факты сделали теорию топологических групп содержательной и привлекли к ней внимание.
На основе нескольких своих лекционных курсов я составил монографию «Непрерывные группы», которая была опубликована в 1938 г. Второе, гораздо более обширное, издание книги вышло в 1954 г.
Настоящее, третье, издание отличается от второго очень мало — только исправлением одной неточности, допущенной в седьмой главе второго издания, что повлекло некоторые незначительные изменения десятой главы.
В этой книге в двух случаях я пользуюсь несколько устарелой терминологией, на что необходимо обратить внимание читателя.
1. Последнее время вместо термина бикомпактность стали употреблять термин компактность, так как термин компактность в старом смысле слова перестал употребляться. Я же сохраняю термин бикомпактность.
2. При рассмотрении топологических групп иногда приходится рассматривать лишь их алгебраические свойства, отвлекаясь от свойств топологических. Так рассматриваемую топологическую группу я называю группой алгебраической, между тем термин алгебраическая группа применяется теперь в совершенно другом смысле, который, однако, не употребляется в настоящей книге.
Л. С. Понтрягин
