Оригинално заглавие:
La mesure des grandeurs, Henri Lebesgue
*
АННОТАЦИЯ
Книга посвящена основным понятиям длины, площади, объема и связанным с этими понятиями вопросам преподавания элементарной математики. В конце книги рассматривается также общее понятие измеримой величины и обсуждаются понятия производной и интеграла (последнее — сразу для пространства п измерений). Педагогические соображения автора обладают свежестью и Главаубиной и могут оказать значительное воспитывающее действие на педагога, которому они адресованы. Книга местами довольно трудна, что объясняется не столько сложностью материала, сколько манерой изложения автора.
**
ОТ РЕДАКТОРА
Эта книга принадлежит перу одного из замечательных математиков XX века Анри Лебега (1875—1941). Надо сказать, что французские математики традиционно проявляют куда больше интереса к вопросам преподавания чем, скажем, английские или (увы!) русские ученые. Возможно, что это связано с тем, что почти все видные французские математики старшего поколения прошли и через преподавание в колледжах (средних школах) и через преподавание в знаменитой Высшей Нормальной Школе (Есо1е погта1е зирёпеиге)—парижском педагогическом институте; быть может, здесь сказывается также пресловутая гальская живость и другие черты французского характера. При этом, если педагогический темперамент послевоенного поколения французских ученых обращен в первую очередь в сторону полной перестройки преподавания математики в университетах — дело, осуществляемое знаменитым „Никола Бурбаки" с завидной страстностью и немалым талантом[1], то их учителя не гнушались и вопросами школьной подготовки. Академик Жак Адамар написал обширный курс элементарной геометрии, выдержавший массу изданий у себя на родине и уже немало изданий и у нас [2]; академик Эмиль Борель опубликовал целый ряд интересных школьных учебников[3]; академик Анри Лебег написал несколько книг, прямо рассчитанных на будущих преподавателей математики[4], и много статей педагогического содержания, самыми интересными из которых являются статьи об измерении длин, площадей и объемов, составляющие в совокупности настоящую книгу.
Важность темы этой книги для настоящего или будущего учителя математики не подлежит сомнению — вопросы измерения величин являются одними из самых принципиальных в школьном курсе геометрии и притом одними из самых трудных для учащихся. И ни в одном другом пункте школьной программы мы не встречаемся с таким большим числом неправильных представлений и утвердившихся методических несообразностей, как при изложении этой темы. Уничтожающая критика этих несообразностей и составляет самую сильную сторону книги Лебега—достаточно указать хотя бы на знаменитую „тарарабумбию круга" (стр. 80), камня на камне не оставляющую от всего здания „теории измерения площадей криволинейных фигур", построенного традиционной методикой. Меньшей четкостью отличается положительная программа автора — часто довольно расплывчатая и далеко не всегда бесспорная; трудно признать, например, достаточно убедительной аргументацию Лебега, заставляющую его в вопросе об измерении объема тетраэдра отдать предпочтение „чертовой лестнице" перед использованием интегрального исчисления. Но эта книга и не претендует на указание каких-то „самых лучших" путей изложения материала в школе. Цель ее заключается в ином — научить преподавателя критически относиться к вопросам изложения материала, размышлять и о научной и о методической стороне излагаемых теорий. Книга Лебега представляет собой превосходный образец вдумчивого отношения к вопросам преподавания математики — и читатель, внимательно проработавший эту не очень легкую книгу, будет полностью вознагражден за потраченные усилия.
Первое русское издание книги Лебега вышло в свет еще в 1938 г.—почти за 20 лет до того, как статьи Лебега были изданы отдельной книгой во Франции и в Швейцарии. Это издание предварялось содержательной вступительной статьей А. Н. Колмогорова, сохраненной и в настоящем издании. В новом издании пересмотрен и значительно переработан старый перевод книги, содержавший ранее ряд неточностей и прямых ошибок; увеличено также число чертежей, полностью отсутствовавших у автора. Книга снабжена небольшим числом подстрочных примечаний редактора (отмеченных звездочками в отличие от нумерованных сносок автора), призванных облегчить ее чтение; в этих примечаниях, в частности, даны ссылки на иную доступную читателям книги литературу, относящуюся к вопросам измерения величин.
И. Яглом
------------
[1] О деятельности обширной и авторитетной группы французских математиков, пишущих под общим псевдонимом Никола Бурбаки, можно прочесть, например, в статье американского математика П. Р. X а л м о ш а Николай Бурбаки, сборник „Математическое просвещение", вып. 5, М., 1960, стр.229—239.
[2] Ж. Адамар, Элементарная геометрия, ч. I, М., 1936; М., 1938; М., 1948; М., 1957 (последние два издания — с полным решением всех имеющихся в тексте задач); ч. II, М., 1938; М., 1952; М., 1958 (последние два издания — неполные, с приложением решений задач).
[3] На русском языке: Э. Борель, Арифметика, М., 1910 и М.-Пгр., 1923—1924; Элементарная математика I, Арифметика и алгебра, Одесса, 1911 и Одесса, 1923; Элементарная математика II, Геометрия, Одесса, 1912 и Одесса, 1922; Тригонометрия, М., 1909. (О педагогических взглядах и деятельности Э. Бореля можно прочитать, например, в предисловии Я. С. Дубнова к статье Э. Борель, Как согласовать преподавание в средней школе с прогрессом науки, сборник „Математическое просвещение", вып. 3, М., 1958, стр. 89—91.)
[4] Например, Н. БеЬез^ие, Бедопз зиг 1ез сопзЦисЦопз ^ёоте^пециез (Лекции о геометрических построениях), Рапз, 1950; Без сог^иез (Конические сечения), Рапз, 1942.
***
СОДЕРЖАНИЕ
От редактора 5
Предисловие 7
Введение 17
Глава. I. Сравнение совокупностей. Целые числа 19
Глава II. Длины. Числа * 26
Переход от целых чисел к общим числам 26
Операции над числами 29
Педагогическая критика. Дроби 33
Расстояние и отношения длин * 45
Глава. III. Площади плоских фигур 51
Первое изложение: метод сетки квадратов 51
Условия, определяющие площадь 61
Второе изложение теории площадей многоугольников 63
Третье изложение для многоугольников (метод землемеров) 69
Четвертое изложение: равносоставленность 73
Роль числа Г 76
Педагогические замечания. Площади, ограниченные дугами окружностей 77
Наиболее общие области 81
Глава. IV. Объемы А 85
Первый метод: сетка кубов 85
Замечания 89
Второй и третий метод для многогранников: 93
Первое изложение и теорема о площадях проекций 93
Второе и третье изложения 96
Педагогические замечания. Круглые тела 100
Число и исчисление. Педагогическая критика изложения, базирующегося на интегральном исчислении 101
Замечание о определении суммы квадратов и кубов последовательных натуральных чисел 109
Глава. V. Длины кривых. Площади кривых поверхностей 113
Введение и исторические замечания 113
Сведение к алгебре (Коши) 114
Пределы длин многоугольников и поверхностей многогранников . . 115
Взаимоотношение между физическим понятием и аналитическим определением . . 121
Первое изложение: 126
Длина кривой 126
Площадь кривой поверхности 129
Критика 141
Второе изложение: 142
Длина плоской кривой 142
Длина пространственной кривой 144
Площадь поверхности 145
Перевод на аналитический язык 146
Глава. VI. Измеримые величины 150
Вводные замечания 150
Определение величины, отнесенной семейству тел 153
Замечания 156
Пропорциональные величины 158
Приложение к теореме Жирара 159
Числа, пропорциональные ряду других; критика классических подходов " 160
Глава. VII. Интегрирование и дифференцирование 163
Вводные замечания. Величины (функции тел) и производные числа (функции точки) 163
Элементы геометрии ^-мерного пространства 165
Определение квадрируемых ^-мерных областей 167
Функции квадрируемых областей 171
Дифференцирование 172
Интегрирование 174
Процедура вычисления: кратные интегралы 177
Замена переменных в интегральном исчислении 182
Ориентация области. Новое определение интеграла 187
Приложения: 191
Формула Грина 191
Обобщения понятий длины и площади 192
Глава. VIII. Заключение 196
Наука и философия. Роль изучения математики. Дух логической и педагогической критики 196
