СОДЕРЖАНИЕ
От автора 5
Глава первая. Введение 7
§ 1. Дифференциальное уравнение первого порядка 7
§ 2. Некоторые элементарные методы интегрирования 12
§ 3. Формулировка теоремы существования и единственности 24
§ 4. Сведение общей системы дифференциальных уравнений к нормальной 32
§ 5. Комплексные дифференциальные уравнения 40
§ 6. Некоторые сведения о линейных дифференциальных ураwнениях 46
Глава вторая. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 48
§ 7. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами (случай простых корней) 49
§ 8. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами (случай кратных корней) 57
§ 9. Устойчивые многочлены 64
§ 10. Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами 69
§ И. Метод исключения 74
§ 12. Метод комплексных амплитуд 83
§ 13. Электрические цепи 87
§ 14. Нормальная линейная однородная система с постоянными коэффициентами 101
§ 15. Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства 111
§ 16. Фазовая плоскость линейной однородной системы с постоянными коэффициентами 122
Глава третья. Линейные уравнения с переменными коэффициентами 135
§ 17. Нормальная система линейных уравнений 135
§ 18. Линейное уравнение п-го порядка 145
§ 19. Нормальная линейная однородная система с периодическими коэффициентами 152
Глава четвертая. Теоремы существования 159
§ 20. Доказательство теоремы существования и единственности для одного уравнения 159
§ 21. Доказательство теоремы существования и единственности для нормальной системы уравнений 169
§ 22. Локальные теоремы непрерывности и дифференцируемое решений 179
§ 23. Первые интегралы 191
§ 24. Поведение траекторий на больших участках времени . . . 198
§ 25. Интегральные теоремы непрерывности и дифференцируемоe 201
Глава пятая. Устойчивость 210
§ 26. Теорема Ляпунова 211
§ 27. Центробежный регулятор (исследования Вышнеградского) 221
§ 28. Предельные циклы 231
§ 29. Ламповый генератор 247
§ 30. Положения равновесия автономной системы второго порядка 254
§ 31. Устойчивость периодических решений 272
Глава шестая. Линейная алгебра 289
§ 32. Минимальный аннулирующий многочлен 289
§ 33. Функции матриц 296
§ 34. Жорданова форма матрицы 304
Предметный указатель 309
***
ОТ АВТОРА
Эта книга написана мною на основе лекций, которые я читал на механико-математическом факультете Московского государственного университета. При составлении программы своих лекций я исходил из уверенности, что выбор материала для лекций не должен быть случайным и не должен опираться исключительно на сложившиеся традиции. Наиболее важные и интересные технические применения обыкновенные дифференциальные уравнения находят в теории колебаний и в теории автоматического управления. Эти технические применения и послужили руководством при выборе материала для моих лекций. Теория колебаний и теория автоматического управления, несомненно, играют очень важную роль в развитии всей современной материальной культуры, и потому я считаю, что мой подход к выбору материала для курса лекций является, если и не единственно возможным, то во всяком случае разумным. Стремясь дать студентам не только чисто математическое орудие, пригодное для применений в технике, но также продемонстрировать и сами применения, я включил в лекции некоторые технические вопросы. В книге они изложены в § 13, 27, 29. Я считаю, что эти вопросы составляют неотъемлемую органическую часть моего курса лекций и, соответственно, этой книги.
Кроме материала, излагавшегося на лекциях, я включил в книгу некоторые более трудные вопросы, разбиравшиеся на студенческих семинарах. Они содержатся в § 19, 31 книги. Материал, содержащийся в § 24, 25, 30 излагался на лекциях лишь частично. Для удобства читателя, в последней, шестой главе приведены некоторые сведения из линейной алгебры в том виде, в каком они в этой книге используются.
В заключение я хочу выразить благодарность моим ученикам и ближайшим товарищам по работе В. Г. Болтянскому, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко, помогавшим мне при подготовке и чтении лекций, а также при написании и редактировании этой книги. Мне хочется также отметить решающее влияние яа мои научные интересы, оказанное выдающимся советским специалистом в области теории колебаний и теории автоматического управления, Александром Александровичем Андроновым, с которым меня связывали долголетние дружеские отношения. Его влияние существенно сказалось на характере и направленности этой книги.
Л. С. Понтрягин
16 июля 1960 г.
г. Москва
