Допущено Министерством высшего а среднего специального образования СССР в качестве учебника для государственных университетов
**
СОДЕРЖАНИЕ
От автора 5
Глава первая. Введение 7
§ 1. Дифференциальное уравнение первого порядка 7
§ 2. Некоторые элементарные методы интегрирования 13
§ 3. Формулировка теоремы существования и единственности ... 21
§ 4. Сведение общей системы дифференциальных уравнений к нормальной 25
§ 5. Комплексные дифференциальные уравнения 32
§ 6. Некоторые сведения о линейных дифференциальных уравнениях 38
Глава вторая. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 41
§ 7. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами (случай простых корней) 42
§ 8. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами (случай кратных корней) 50
§ 9. Устойчивые многочлены 56
§ 10. Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами 62
§ 11. Метод исключения . . 67
§ 12. Метод комплексных амплитуд 75
§ 13. Электрические цепи 80
§ 14. Нормальная линейная однородная система с постоянными коэффициентами 93
§ 15. Автономные системы дифференциальных уравнений и их фа- зовые пространства
§ 16. Фазовая плоскость линейной однородной системы с постоянными коэффициентами
Глава третья. Линейные уравнения с переменными коэффициентами 128
§ 17. Нормальная система линейных уравнений 128
§ 18. Линейное уравнение п-го порядка 139
§ 19. Нормальная линейная однородная система с периодическими коэффициентами 146
Глава четвертая. Теоремы существования 152
§ 20. Доказательство теоремы существования и единственности для одного уравнения 152
§ 21. Доказательство теоремы существования и единственности для нормальной системы уравнений 1"1
§ 22. Непродолжаемые решения 173
§ 23. Непрерывная зависимость решения от начальных значений и параметров 178
§ 24. Дифференцируемость решения по начальным значениям и параметрам 185
§ 25. Первые интегралы 196
Глава пятая. Устойчивость 204
§ 26. Теорема Ляпунова 205
§ 27. Центробежный регулятор (исследования Вышнеградского) 218
§ 28. Предельные циклы 224
§ 29. Ламповый генератор 244
§ 30. Положения равновесия автономной системы второго порядка 251
§ 31. Устойчивость периодических решений 268
Добавление I. Некоторые вопросы анализа 284
§ 32. Топологические свойства евклидовых пространств 284
§ 33. Теоремы о неявных функциях 298
Добавление II. Линейная алгебра 309
§ 34. Минимальный аннулирующий многочлен 309
§ 35. Функции матриц 316
§ 36. Жорданова форма матрицы 323
Предметный указатель 329
***
От автора
Эта книга написана на основе лекций, которые я в течение ряда лет читал на механико-математическом факультете Московского государственного университета. При составлении программы лекций я исходил из уверенности, что выбор материала не должен быть случайным и не должен опираться исключительно на сложившиеся традиции. Наиболее важные и интересные применения обыкновенные дифференциальные уравнения находят в теории колебаний и в теории автоматического управления. Эти применения и послужили руководством при выборе материала для моих лекций.
Теория колебаний и теория автоматического управления, несомненно, играют очень важную роль в развитии всей современной материальной культуры, и потому я считаю, что такой подход к выбору материала для курса лекций является, если и не единственно возможным, то во всяком случае разумным. Стремясь дать студентам не только чисто математическое орудие, пригодное для применений в технике, но также продемонстрировать и сами применения, я включил в лекции некоторые технические вопросы. В книге они изложены в § 13, 27, 29. Эти вопросы составляют неотъемлемую органическую часть моего курса лекций и, соответственно, этой книги.
Кроме материала, излагавшегося на лекциях, в книгу включены некоторые более трудные вопросы, разбиравшиеся на студенческих семинарах. Они содержатся в § 19, 31 книги. Материал, содержащийся в § 14, 22, 23, 24, 25, 30, излагался на лекциях частично и не каждый год.
Для удобства читателя в конце книги приведены два добавления, которые содержат материал, не входящий в курс обыкновенных дифференциальных уравнений, но существенным образом использующийся в нем. В первом добавлении (отсутствовавшем в предыдущем издании) изложены основные топологические свойства множеств, расположенных в евклидовом пространстве, и дано доказательство теорем о неявных функциях; второе добавление посвящено линейной алгебре.
В этом, втором издании по-новому изложены теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных значений и параметров, а также о дифференцируемости решений по этим величинам. Сделаны также многие более мелкие исправления.
В заключение я хочу выразить благодарность моим ученикам и ближайшим товарищам по работе В. Г. Болтянскому, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко, помогавшим мне при подготовке и чтении лекций, а также при написании и редактировании этой книги.
Мне хочется также отметить решающее влияние на мои научные интересы, оказанное выдающимся советским специалистом в области теории колебаний и теории автоматического управления Александром Александровичем Андроновым, с которым меня связывали долголетние дружеские отношения. Его влияние существенно сказалось на характере и направленности этой книги.
Л. С. Понтрягин.
