Книга Ф. Хартмана — одного из крупнейших специалистов по теории дифференциальных уравнений — возникла на основе различных курсов, которые автор неоднократно читал студентам и аспирантам разных специальностей. Только первые ее главы включают традиционный материал, в том или ином виде входящий во все учебники. Далее следует изложение качественной теории дифференциальных уравнений, в котором особый интерес представляет круг вопросов, связанных с теоремой о поведении диффеоморфизма в окрестности неподвижной точки. И, наконец, остальная часть книги посвящена более специальным вопросам (асимптотическое интегрирование систем, близких к линейным, уравнения второго порядка, дихотомия и т. д.).
Упражнения (содержащие задачи различной трудности, частично с решениями) играют в этой книге особую роль. Они не только позволяют читателю проверить, как он усвоил материал, но и указывают ему возможные направления дальнейшего развития теории.
Широта охвата материала, систематичность и четкость изложения делают книгу хорошим учебным пособием для студентов высших учебных заведений, однако и специалисты найдут в ней много ценного и интересного.
ОГЛАВЛЕНИЕ
(с грешки от сканирането на математическите символи)
Предисловие редактора перевода 5
Из предисловия автора 9
ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 11
§ 1. Вводные замечания 11
§ 2. Основные теоремы 13
§ 3. Гладкие аппроксимации 16
§ 4. Замена переменных в интегралах 18
Примечания 18
ГЛАВА II. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ 19
§ 1. Теорема Пикара — Линделёфа 19
§ 2. Теорема Пеано 21
§ 3. Теорема о продолжении решения 24
§ 4. Теорема Кнезера 28
§ 5. Пример неединственности 31
Примечания 35
ГЛАВА III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ЕДИНСТВЕННОСТЬ 37
§ 1. Неравенство Гронуолла 37
§ 2. Максимальные и минимальные решения 38
§ 3. Правые производные 39
§ 4. Дифференциальные неравенства 40
§ 5. Теорема Уинтнера 43
§ 6. Теоремы единственности 45
§ 7. Теорема единственности ван Кампена 50
§ 8. Точки выхода и функции Ляпунова 52
§ 9. Последовательные приближения 57
Примечания 60
ГЛАВА IV. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ .... 62
§ 1. Линейные системы 62
§ 2. Вариация постоянных 65
§ 3. Редукция к системам меньшего порядка 67
§ 4. Основные неравенства 72"
§ 5. Системы с постоянными коэффициентами 75
§ 6. Теория Флоке 78
§ 7. Сопряженные системы 81
§ 8. Линейные уравнения высших порядков 82
§ 9. Замечания о замене переменных 88
ДОБАВЛЕНИЕ. ЛИНЕЙНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 90
§ 10. Фундаментальные матрицы 90
§ 1. Простые особенности 94
§ 12. Уравнения высших порядков 106
§ 13. Кратные особенности ПО
Примечания 115
ГЛАВА V. ЗАВИСИМОСТЬ ОТ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ И ПАРАМЕТРОВ
§ 1. Предварительные замечания 117
§ 2. Непрерывность 118
§ 3. Дифференцируемость 119
§ 4. Существование производных высших порядков .... 125
§ 5. Внешние производные 126
§ 6. Дальнейшие теоремы о дифференцируемости 130
§ 7. 5- и А-липшицевы формы 134
§ 8. Теорема единственности 136
§ 9. Лемма 137
§ 10. Доказательство теоремы 8.1 138
§ 11. Доказательство теоремы 6.1 140
§ 12. Первые интегралы 142
Примечания 144
ГЛАВА VI. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 145
ЧАСТЬ I. ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА 145
§ 1. Уравнения в полных дифференциалах 145
§ 2. Алгебра внешних форм 149
§ 3. Теорема Фробениуса 152
§ 4. Доказательство теоремы 3.1 155
§ 5. Доказательство леммы 3.1 158
§ 6. Система (1.1) 159
ЧАСТЬ II. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК (МЕТОД КОШИ) 163
§ 7. Нелинейные уравнения в частных производных . . . 163
§ 8. Характеристики 168
§ 9. Теорема существования и единственности 170
§ 10. Лемма Хаара и единственность 173
Примечания 176
ГЛАВА VII. ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ-БЕНДИКСОНА 178
§ 1. Автономные системы 178
§ 2. Теорема об индексе 180
§ 3. Индекс стационарной точки 184
§ 4. Теорема Пуанкаре — Бендиксона 186
§ 5. Устойчивость периодических решений 192
§ 6. Точки вращения 195
§ 7. Фокусы, узлы и седловые точки 196
§ 8. Секторы 199
§ 9. Стационарная точка общего вида 204
§ 10. Уравнения второго порядка 214
ПРИЛОЖЕНИЕ. ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ - БЕНДИКСОНА НА ДВУМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ 222
§ 11. Предварительные сведения 223
§ 12. Аналог теоремы Пуанкаре — Бендиксона 226
§ 13. Каскады на замкнутой кривой 232
§ 14. Потоки на торе 238
Примечания 244
ГЛАВА VIII. СТАЦИОНАРНЫЕ ТОЧКИ НА ПЛОСКОСТИ 246
§ 1. Теорема существования 246
§ 2. Характеристические направления 254
§ 3. Системы, близкие к линейным 257
§ 4. Более общие стационарные точки 266
Примечания 273
ГЛАВА IX. ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ И ЛИНЕАРИЗАЦИЯ 275
§ Г. Инвариантные многообразия 275
§ 2. Отображения Т* 278
§ 3. Модификация функции Р (%) 279
§ 4. Приведение системы к нормальному виду 281
§ 5. Инвариантные многообразия отображения 282
§ 6. Существование инвариантных многообразий 291
§ 7. Линеаризации 293
§ 8. Линеаризация отображения 294
§ 9. Доказательство теоремы 7.1 300
§ 10. Периодические решения 301
§ 11. Предельные циклы 30х
ПРИЛОЖЕНИЕ. ГЛАДКО ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 307
§ 12. Гладкие линеаризации 307
§ 13. Доказательство леммы 12.1 311
§ 14. Доказательство теоремы 12.2 313
Примечания 324
ГЛАВА X. ВОЗМУЩЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 326
§ 1. Случай Е = 0 326
§ 2. Топологический принцип 332
§ 3. Теорема Важевского 335
§ 4. Подготовительные леммы 338
§ 5. Доказательство леммы 4.1 346
§ 6. Доказательство леммы 4.2 347
§ 7. Доказательство леммы 4.3 347
§ 8. Асимптотическое интегрирование. Логарифмическая шкала 350
§ 9. Доказательство теоремы 8.2 354
§ 10. Доказательство теоремы 8.3 355
§ 11. Логарифмическая шкала (продолжение) 357
§ 12. Доказательство теоремы 11.2 360
§ 13. Асимптотическое интегрирование 361
§ 14. Доказательство теоремы 13.1 364
§ 15. Доказательство теоремы 13.2 368
§ 16. Следствия и уточнения 369
§ 17. Линейные уравнения высших порядков 372
Примечания 379
ГЛАВА XI. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 381
§ 1. Предварительные сведения 381
§ 2. Основные факты 385
§ 3. Теоремы Штурма 393
§ 4. Краевые задачи Штурма — Лиувилля 397
§ 5. Число нулей 407
§ 6. Неосциллирующие уравнения и главные решения . . . 414
§ 7. Теоремы о неосциллирующих уравнениях 427
§ 8. Асимптотическое интегрирование. Эллиптические случаи 436
§ 9. Асимптотическое интегрирование. Неэллиптические случаи 442
ПРИЛОЖЕНИЕ. СИСТЕМЫ БЕЗ СОПРЯЖЕННЫХ ТОЧЕК 453
§ 10. Системы без сопряженных точек 453
§ 11. Обобщения 467
Примечания 472
ГЛАВА XII. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМ ОШЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯХ И НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧКАХ 475
ЧАСТЬ I. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 478
§ 1. Линейные уравнения 478
§ 2. Нелинейные задачи 485
ЧАСТЬ II. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 491
§ 3. Линейные задачи 491
§ 4. Нелинейные задачи 496
§ 5. Априорные оценки 502
ЧАСТЬ III. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 511
§ 6. Основные факты 511
§ 7. Функции Грина 516
§ 8. Нелинейные уравнения 519
§ 9. Асимптотическое интегрирование 523
Примечания 526
ГЛАВА XIII. ДИХОТОМИИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 528
ЧАСТЬ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 529
§ 1. Обозначения и определения 529
§ 2. Предварительные леммы 533
§ 3. Оператор Т 541
§ 4. Оценки для || Ру(1) || 545
§ 5. Оценки для || у (I) \\ 551
§ 6. Приложения к системам первого порядка 555
§ 7. Приложения к системам высшего порядка 560
§ 8. Р (В, 0)-многообразия 567
ЧАСТЬ II. СОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ 568
§ 9. Ассоциированные пространства 568
§ 10. Оператор Т' 570
§ 11. Индивидуальные дихотомии 571
§ 12. Р'-допустимые пространства для 7" 575
§ 13. Приложения к дифференциальным уравнениям .... 579
§ 14. Существование РА>-решений 582
Примечания 584
ГЛАВА XIV. МОНОТОННОСТЬ 585
ЧАСТЬ I. МОНОТОННЫЕ РЕШЕНИЯ 585
§ 1. Большие и малые решения 585
§ 2. Монотонные решения 591
§ 3. Линейные уравнения второго порядка 596
§ 4. Линейные уравнения второго порядка (продолжение) 602
ЧАСТЬ II. ОДНА ЗАДАЧА ИЗ ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 607
§ 5. Постановка задачи 607
§ 6. Случай X > 0 607
§ 7. Случай X < 0 612
§ 8. Случай X = 0 620
§ 9. Асимптотическое поведение 623
ЧАСТЬ III. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ В ЦЕЛОМ 627
§ 10. Асимптотическая устойчивость в целом 627
§ 11. Функции Ляпунова 629
§ 12. Переменная матрица С 631
§ 13. О следствии 11.2 637
§ 14. «/ (у) х-х < 0, если х-Цу) = 0» 640
§ 15. Доказательство теоремы 14.2 643
§ 16. Доказательство теоремы 14.1 647
Примечания 647
УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ 649
ЛИТЕРАТУРА 685
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 710
