*

АННОТАЦИЯ

Группа французских математиков, объеди­ненная под псевдонимом «Бурбаки», поставила перед собой целью написать под общим загла­вием «Элементы математики» полный трактат современной математической науки. Многие вы­пуски этого трактата уже вышли во Франции, вызвав большой интерес математиков всего мира.

Настоящей книгой открывается постепенный перевод этого трактата на русский язык. Книга содержит следующие разделы общей топологии: топологические структуры, равномерные струк­туры, топологические группы.

Книга рассчитана на математиков — научных работников, аспирантов и студентов старших курсов университетов и пединститутов.

*

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА

Настоящей книгой начинается постепенный перевод на русский язык известного трактата Н. Бурбаки «Элементы математики». Все появившиеся до сих пор выпуски этого трактата относятся к первой его части, озаглавленной «Фундаментальные структуры анализа» и распадающейся на ряд книг, из которых пока вышли или выхо­дят, но еще не закончены изданием, следующие шесть:

Книга I «Теория множеств».
Книга II «Алгебра».
Книга III «Общая топология» (закончена).
Книга IV «Функции одной вещественной переменной» (за­кончена).
Книга V «Топологические векторные пространства» (закончена). Книга VI «Интегрирование».

Переводиться будут уже законченные книги этого трактата, при­чем те из них, которые велики по объему, будут разбиваться на не­сколько отдельных книжек, содержащих тематически близкие главы.

Настоящая книга, открывающая эту серию, содержит первые три главы «Общей топологии», состоящей из десяти глав. Эти три гла­вы посвящены трем основным общим «структурам»— топологиче­ских пространств, равномерных пространств и топологических групп. Следующую книгу составят главы IV—VIII, посвященные вещественным и комплексным числам и связанным с ними груп­пам и пространствам, и, наконец, последнюю — главы IX—X, в которых вновь рассматриваются общие классы топологических пространств, изучение которых, однако, опирается уже на ап­парат вещественных чисел. л

Каждая книга трактата Бурбаки заключается, как правило, отдельным выпуском, содержащим сводку результатов этой книги, предназначенную для облегчения ориентировки читателя. Однако сводка результатов книги I вышла задолго до появления первого выпуска этой книги и явилась вообще первым по счету выпуском всего трактата Бурбаки. Дело в том, что главной задачей этого выпуска было изложение основных теоретико-множественных по­нятий и концепций и установление терминологии, применяемых далее на протяжении трактата. Перевод этого выпуска помещен в настоящей книге в качестве приложения. Читателю, незнако­мому еще с общим строем понятий и языком Бурбаки, рекомен­дуется начать хотя бы с беглого ознакомления с этим приложе­нием, иначе многое даже в терминологии и обозначениях будет ому непонятным.

Перевод всех глав настоящей книги, а также приложения выполнен со второго французского издания соответствующих выпус­ков; особенно отличаются от первого издания главы I и II. При переводе учтены исправления к указанным выпускам, приложенные к дальнейшим выпускам трактата Бурбаки, и внесены также дру­гие мелкие исправления. Особенно большие старания переводчика и редактора были потрачены на возможно более точную передачу своеобразной терминологии, а также стиля трактата Бурбаки; однако в некоторых случаях было^сочтено целесообразным отка­заться от недостаточно обоснованных терминологических новшеств (по одному из которых топология слабее и сильнее  самой себя).

В ряде мест настоящей книги имеются ссылки на книгу II трактата Бурбаки (помеченные «Алг.»). Однако они касаются обще­известных понятий, и лишь в двух случаях представилось целе­сообразным дать сноску с пояснением. Примеры и упражнения, выделенные значками ^р...₀, опираются на понятия, хотя и хорошо известные (как, например, понятие вещественного числа), однако вводимые лишь в последующих главах или книгах трактата. Каж­дый параграф заключается упражнениями, наиболее трудные из которых помечены звездочкой. Знак «опасного поворота», стоя­щий на полях книги у некоторых ее мест, предостерегает чита­теля от напрашивающихся поспешных заключений.

Справочный аппарат книги состоит из списков основных аксиом и определений [каждой главы, указателя терминов и указателя обозначений; ссылки в этих указателях даются не на страницы, а на главы, параграфы и пункты; ссылки на сводку результатов «Теории множеств» помечены «Приложение».