ПЕРЕВОД С ФРАНЦУЗСКОГО
С. Н. КРАЧКОВСОГО
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Д. А. РАЙКОВА
*
От вътрешната страна на обложката:
Группа французских математиков, объединенная под псевдонимом «Бурбаки», поставила перед собой цель — написать под общим заглавием «Элементы математики» полный трактат современной математической науки.
Много томов этого трактата уже вышло во Франции. Они вызвали большой интерес математиков всего мира как новизной изложения, так и высоким научным уровнем.
Книга рассчитана на математиков — научных работников, аспирантов и студентов старших курсов.
*
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
В этом новом издании *) сделано довольно большое число изменений в деталях; кроме того, переделан весь план гл. I и II с целью расположить материал в лучшем соответствии с общими представлениями о морфизмах структур и универсальных отображениях (Теория множеств, гл. IV, §§ 2 и 3). Среди наиболее значительных добавлений отметим введение квазикомпактных пространств и проективных пределов, приложения которых к коммутативной алгебре и алгебраической геометрии становятся все более и более важными, а также большее развитие понятий открытого, замкнутого и совершенного отображений, которым посвящены два параграфа гл. I.
*) Перевод выполнен с третьего издания с учетом изменений, внесенных в четвертое.
*
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию 9
Введение «
Глава I. Топологические структуры 17
§ 1. Открытые множества; окрестности; замкнутые множества ... 17
1. Открытые множества 17
2. Окрестности 19
3. Фундаментальные системы окрестностей; базисы топологии 21
4. Замкнутые множества 23
5. Локально конечные семейства 23
6. Внутренность, замыкание, граница множества; всюду плотные
множества 24
Упражнения 27
§ 2. Непрерывные функции 30
1. Непрерывные функции 30
2. Сравнение топологий . 33
3. Инициальные топологии 35
4. Финальные топологии 38
5. Склеивание топологических пространств 40
Упражнения 42
§ 3. Подпространства; факторпространства 45
1. Подпространства топологического пространства 45
2. Непрерывность относительно подпространства 48
3. Локально замкнутые подпространства 49
4. Факторпространства 50
5. Каноническое разложение непрерывного отображения ... 52
6. Факторпространство подпространства 54
Упражнения 55
§ 4. Произведение топологических пространств 58
1. Произведение пространств 58
2. Срез открытого множества; срез замкнутого множества; проекция открытого множества. Частичная непрерывность61
3. Замыкание в произведении 62
4. Проективные пределы топологических пространств 63
Упражнения г . . , , , Щ
§ 5. Открытые и замкнутые отображения 68
1. Открытые и замкнутые отображения 68
2. Открытые и замкнутые отношения эквивалентности .... 70
3. Специальные свойства открытых отображении 73
4. Специальные свойства замкнутых отображении 75
Упражнения 76
§ 6. Фильтры 78
1 Определение фильтра 78
2 Сравнение фильтров 79
3. Базисы фильтра 81
4. Ультрафильтры 82
5. Индуцированный фильтр 84
6. Образ и прообраз базиса фильтра 85
7 Произведение фильтров 87
8. Элементарные фильтры 88
9. Ростки относительно фильтра 89
10. Ростки в точке 92
Упражнения 93
§ 7. Пределы 97
1. Предел фильтра 97
2. Точка прикосновения базиса фильтра 98
3. Предел и предельная точка функции 99
4 Пределы и непрерывность 102
5. Пределы относительно подпространства 103
6. Пределы в произведениях пространств и факторнространствах 104
Упражнения 105
§ 8. Отделимые и регулярные пространства 106
1. Отделимые пространства 106
2. Подпространства и произведения отделимых пространств . . 109
3 Отделимость факторпространства 111
4. Регулярные пространства 112
5. Продолжение по непрерывности. Двойной предел 114
6. Отношения эквивалентности в регулярном пространстве . . 115
Упражнения 116
§ 9. Компактные и локально компактные пространства 124
1. Квазикомпактные и компактные пространства 124
2. Регулярность компактного пространства 127
3. Ксазикомпактные, компактные и относительно компактные множества 128
4. Образ компактного пространства при непрерывном отобрАжении 130
5. Произведение компактных пространств 131
6. Проективные пределы компактных пространств ....... 132
7. Локально компактные пространства 133
8 Погружение локально компактного пространства в компактное пространство 136
9. Локально компактные пространства, счетные в бесконечное^ 138
10. Паракомпактные пространства 139
Упражнения 143
§ 10. Совершенные отображения 152
1. Совершенные отображения 152
2. Характеризация совершенных отображений свойствами компактности
3 Совершенные отображения в локально компактные пространства 160
4 Факторпространства компактных и локально компактных пространств 161
Упражнения 164
§11. Связность 169
1. Связные пространства и множества 169
2. Образ связного множества при непрерывном отображении . . 171
3. Факторпространства связного пространства 17''
4. Произведение связных пространств 173
5 Связные комнонепты 173
6. Локально связные пространства 175
7. Применение: теорема Пуанкаре — Вольтерра 177
Упражнения 181
Приложение. Дополнения о проективных пределах множеств .... 189
1. Проективные системы подмножеств 189
2. Критерий непустоты проективного предела 190
Исторический очерк к главе I 194
Библиография 199
Глава II. Равномерные структуры 201
§ 1. Равномерные пространства 201
1. Определение равномерной структуры 201
2. Топология равномерного пространства 204
Упражнения 208
§ 2. Равномерно непрерывные функции 209
1. Равномерно непрерывные функции 209
2. Сравнение равномерных структур 210
3. Инициальные равномерные структуры 211
4. Прообраз равномерной структуры. Равномерные подпространства 213
5. Верхняя грань множества равномерных структур 215
6. Произведение равномерных пространств 215
7. Проективные пределы равномерных пространств 217
Упражнения , 218
§ 3. Полные пространства 220
1. Фильтры Копта 220
2. Минимальные фильтры Коши 222
3. Полные пространства 223
4. Подпространства полных пространств 226
5. Произведения и проективные пределы полных пространств . 226
6. Продолжение равномерно непрерывных функций 230
7. Пополнение равномерного пространства 232
8. Отделимое равномерное пространство, ассоциированное с равномерным пространством 237
9. Пополнение подпространств и произведении пространств . . . 239
Упражнения 241
§ 4. Связи между равномерными и компактными пространствами . . . 242
1. Равномерность компактных пространств 242
2. Компактность равномерных пространств 246
3. Компактные множества в равномерном пространстве .... 249
4. Связные множества в компактном пространстве 249
Упражнения 252
Исторический очерк к главе II 259
Библиография . . . .' 261
Указатель обозначений 262
Указатель терминов 263
Таблица соответствия второго и третьего изданий 269
Определения и аксиомы главы I Вклейка 1
Опредеения и аксиомы главы II Вклейка 2
