АННОТАЦИЯ
В настоящей книге изложен материал специального курса по операционному исчислению. Для удобства читателей приводится небольшой вспомогательный материал из других разделов математики.
В первую очередь это касается первой главы, в которой в сжатой форме изложены основные сведения из теории функций комплексного переменного. Более подробно рассматриваются свойства преобразования Лапласа.
Во второй главе, посвященной вопросам теории операционного исчисления, обоснование операционного исчисления дается на основе теории Микусинского, с некоторым ее видоизменением.
Третья глава содержит приложения операционного исчисления к задачам анализа.
В четвертой главе рассматривается операционное исчисление двух переменных и некоторые его приложения.
В пятой главе рассматриваются вопросы приближенного вычисления обратного преобразования Лапласа.
Материал этой главы почти не освещен в монографической литературе. Учебное пособие для студентов втузов.
**
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Введение
Глава I. Элементы теории функций комплексного переменного и преобразование Лапласа
§ 1. Основные понятия комплексного анализа 11
§ 2. Ряды Тейлора. Ряды Лорана и особые точки 26
§ 3. Теорема Коши о вычетах 37
§ 4. Леммы Жордана 40
§ 5. Интеграл Лапласа и его основные свойства 44
§ 6. Обращение интеграла Лапласа 66
§ 7. Представление функций интегралом Лапласа 71
Глава II. Теоретические основы операционного исчисления
§ 8. Основные понятия и предложения 82
§ 9. Свертка функций 96
§ 10 Теорема Титчмарша 100
§ 11. Функциональное кольцо 110
§ 12. Поле операторов 116
§ 13. Рациональные операторы 135
§ 14. Операторы, преобразуемые по Лапласу 141
§ 15. Предел последовательности операторов. Операторные ряды 153
§ 16. Приводимые операторные функции 161
§ 17. Регулярные операторы 175
§ 18. Вычисление некоторых операторов 178
§ 19. Преобразование Эфроса 186
§ 20. Асимптотические разложения 191
§ 21. Предельные соотношения 206
§ 22. Операционное исчисление функций целочисленного аргумента 209
Глава III. Приложения операционного исчисления к задачам анализа
§ 23. Применение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений 228
§ 24. Уравнения в конечных разностях 259
§ 25. Цилиндрические функции 270
§ 26. Полиномы Лагерра 283
§ 27. Электрические цепи 304
Глава IV. Операционное исчисление двух переменных
§ 28. Двумерное преобразование Лапласа 314
§ 29. Теорема обращения 325
§ 30. Основные определения и теоремы операционного исчисления двух переменных 329
§ 31. Вычисление интегралов 344
§ 32. Билинейные разложения 349
§ 33. Дифференциальные уравнения 355
Глава V. Некоторые вопросы численного обращения преобразования Лапласа
§ 34. Обращение преобразования Лапласа с помощью многочленов, ортогональных на конечном промежутке 366
§ 35. Обращение преобразования Лапласа с помощью рядов по обобщенным многочленам Лагерра 383
§ 36. Обращение преобразования Лапласа с помощью рядов типа Неймана 386
§ 37. Формула трапеции для интеграла Римана — Меллина 393
Литература 398
Алфавитный указатель 401
***
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящей книге изложен материал специального курса по операционному исчислению. Для удобства читателей приводится небольшой вспомогательный материал из других разделов математики. В первую очередь это касается первой главы, в которой в сжатой форме изложены основные сведения из теории функций комплексного переменного. Более подробно рассматриваются свойства преобразования Лапласа. Во второй главе, посвященной вопросам теории операционного исчисления, обоснование операционного исчисления дается на основе теории Минусинского, с некоторым ее видоизменением. При этом операционное исчисление, опирающееся на преобразование Лапласа и интеграл Меллина, вытекает из общей теории при рассмотрении операторов, преобразуемых по Лапласу. Третья глава содержит приложения операционного исчисления к задачам анализа. В четвертой главе рассматривается операционное исчисление двух переменных и некоторые его приложения. В пятой главе рассматриваются вопросы приближенного вычисления обратного преобразования Лапласа. Материал этой главы почти не освещен в монографической литературе. При написании пятой главы большая помощь была оказана канд. физ.-мат. наук В. М. Амербаевым, который любезно предоставил в распоряжение авторов материал, составивший содержание этой главы. Считаем своим приятным долгом выразить В. М. Амербаеву глубокую благодарность. Ограниченным объемом книги объясняется и ограниченное число рассматриваемых в ней прикладных задач и примеров. В отдельных местах книги приводятся не только известные классические результаты, но и некоторые новые исследования, дающие представление о развитии и современном состоянии операционного исчисления.
