Одним из проявлений переживаемой нами научно-технической революции является бурное развитие электронной вычислительной техники и адекватных ей различных математических дисциплин, находящих все более широкое применение во всех областях человеческой деятельности, в том числе и в производственной. Это и понятно: тот огромный и все возрастающий поток информации, с которым приходится иметь дело в любой сфере деятельности, уже нельзя обработать, и притом достаточно быстро, прежними средствами и методами. Именно этим и объясняется стремительное развитие экономико-математических методов и их применение за последние годы.
Разработка экономико-математических методов, как и всякое новое научное направление, в начальный период своего развития не выходила за рамки эксперимента, накопления отдельных, на первый взгляд не связанных между собой фактов применения различных по своему характеру математических методов к решению частных задач из области управления и планирования экономики. С рядом таких работ, вышедших за рубежом, советский читатель уже знаком в русском переводе. Издательство «Прогресс» намерено и впредь издавать наиболее ценные работы по указанной тематике.
Предлагаемая вниманию советского читателя книга ныне покойного виднейшего польского ученого Оскара Ланге «Оптимальные решения» свидетельствует о том, что этот первоначальный период в развитии экономико-математических методов исследования заканчивается и в порядок дня ставятся вопросы систематизации накопленного материала, его обобщения на научной основе как необходимого условия дальнейшего развития и совершенствования этих методов.
В «Оптимальных решениях» автор делает попытку подвести методологическую базу под весь комплекс известных в настоящее время экономико-математических методов. Оскар Ланге придавал огромное значение применению математических методов в социалистической экономике, для которой научное управление хозяйством и его планирование — закон развития, и внес определенный вклад в это дело. «Оптимальные решения» являются логическим продолжением и как бы завершением его прежних, уже известных советскому читателю работ: «Введение в эконометрику» и «Теория воспроизводства и накопления». В первой из них дано систематическое изложение математических методов решения широкого круга частных задач из области хозяйственной конъюнктуры, межотраслевых связей и др. Во второй из этих работ рассмотрены более общие вопросы: количественные закономерности воспроизводства с членением более чем на два общественных подразделения, распределение совокупного общественного продукта и национального дохода.
В отличие от названных работ, где объектом исследования были конкретные производственные задачи, к решению которых применялись те или иные математические методы, в «Оптимальных решениях» объектом исследования стали сами эти методы. В этой работе центр тяжести перенесен на вскрытие внутренней связи между этими методами, на показ того, что, несмотря на их различие, они составляют единую систему. В самом таком подходе много нового и оригинального. Вместе с тем, и это вполне естественно, некоторые положения, выдвинутые автором этой книги, на наш взгляд, требуют доработки и уточнения, а в ряде случаев его трактовки носят дискуссионный характер и не лишены отдельных спорных моментов. Мы здесь ограничимся этой краткой характеристикой основных особенностей этой книги, детальный же ее разбор, чего она, безусловно, заслуживает, должен стать предметом специального исследования.
«Оптимальные решения» являются шагом вперед в развитии экономико-математических методов, и советский читатель с интересом ознакомится с этой работой.
**
СОДЕРЖАНИЕ
От издательства 5
Предисловие 7
Введение. Праксеология и теория программирования 9
Глава I Типичные модели программирования
§ 1. Задача замкнутого маршрута 16
§ 2. Транспортная задача 19
§ 3. Транспортная задача Купманса 24
§ 4. Задачи на распределение .26
§ 5. Задачи на составление смесей 31
§ 6. Динамическая задача: динамика производства и запасы ... 33
§ 7. Еще одна динамическая задача: хранение товаров 38
§ 8. Программирование капитальных вложений: выбор вариантов . . 39
§ 9. Программирование капитальных вложений: выбор направлений 42
§ 10. Распределение капитальных вложений во времени 47
§ 11. Классификация моделей программирования 50
Глава II Общие основы теории программирования
§ 1. Математическая формулировка общей задачи программирования 52
§ 2. Геометрическая интерпретация задачи программирования ... 56
§ 3. Метод множителей Лагранжа. Сопряженная задача 57
§ 4. Обобщение для случая, когда балансовые зависимости имеют вид неравенств 62
Глава III Дифференциальное программирование
§ 1. Метод и геометрическая интерпретация решения задачи дифференциального программирования 67
§ 2. Условия существования решения задачи дифференциального программирования , 70
§ 3. Примеры дифференциальных программ 71
§ 4. Программирование производства при наличии п факторов ... 84
Глава IV Линейное программирование
§ I. Математическая формулировка задачи линейного программирования 90
§ 2. Геометрическая интерпретация линейного программирования. Понятие симплекса 92
§ 3. Основная теорема линейного программирования. Двойственность линейной программы 99
§ 4. Симплекс-метод 108
§ 5. Примеры применения симплекс-метода .115
§ 6. Решение двойственной (сопряженной) задачи 125
§ 7. Критерий оптимальности решения . 130
Глава V Анализ способов производства
§ 1. Сущность анализа способов производства 135
§ 2. Максимизация продукции и минимизация издержек 141
§ 3. Задача комплексной продукции 146
§ 4. Общий вид задачи оптимизации производства 149
§ 5. Примеры применения анализа способов производства 152
Глава VI Многоцелевое программирование
§ 1. Годные программы 156
§ 2. Решение задачи с помощью дифференциального программирования 158
§ 3. Многообразие целей и линейное программирование 165
Глава VII Программирование в условиях неопределенности
§ 1. Оптимальное распределение плана выпуска продукции между предприятиями 168
§ 2. Случай ограниченности производственных мощностей предприятий 171
§ 3. Определение производственной мощности вновь строящегося предприятия 172
§ 4. Планирование производства в условиях неопределенности . . . 176
§ 5. Планирование производства при ограниченных значениях допустимого риска 182
§ 6. Неоклассическая теория риска 186
§ 7. Планирование производства на основе неоклассической теории риска. Функция предпочтения выбора 190
§ 8. Критика неоклассической теории. Метод предельных вероятностей 194
Глава VIII
Динамическое программирование закупок и запасов в условиях I определенности
§ 1. Оптимальные размеры партии закупаемого товара 200
§ 2. Первый вариант общего вида задачи программирования закупок и запасов 206
§ 3. Случай, когда закупаемые партии необязательно равны между собой 207
§ 4. Случай ограниченности вместимости склада 208
§ 5. Случай неравномерного расходования запаса во времени . . . -211
Глава IX
Динамическое программирование закупок и запасов в условиях неопределенности
§ 1. Случай, когда вероятность недостаточного резервного запаса (коэффициент риска) равна заданной величине. Нормальное распределение вероятности 217
§ 2. Вариант распределения Пуассона вероятности потребностей . . . 222
§ 3. Случай «прямоугольного» (равномерного) распределения вероятности потребности в сырье 223
§ 4. Определение оптимальной величины коэффициента риска и оптимальных резервов в зависимости от издержек, связанных с дефицитностью, а также хранением запасов 226
Глава X
Динамическое программирование производства в условиях определенности
§ 1. Определение оптимальной динамики производства во времени с помощью вариационного исчисления 234
§ 2. Пример динамического программирования производства .... 242
Глава XI
Динамическое программирование производства в условиях неопределенности
§ 1. Задача, в которой совокупный спрос есть случайная переменная с известным распределением вероятности 246
§ 2. Распределение вероятности совокупного спроса 250
§ 3. Решение задачи оптимального использования источников электроэнергии 252
Глава XII Программирование в условиях полной неопределенности
§ 1. Общие сведения о теории стратегических игр 259
§ 2. Программирование в условиях неопределенности как игра человека с природой 264
§ 3. Принцип Гурвича и принцип Байеса-—Лапласа 267
§ 4. Принцип минимакса последствий ошибочных решений (принцип Сэвиджа) 269
§ 5. Установление оптимального запаса сырья на основе теории стратегических игр 272
§ 6. Равнозначность линейного программирования и игры двух лиц с нулевой суммой 273
§ 7. Принцип минимакса при коллективных решениях 276
Цитированная литература 278
Дополнительная литература 280
***
ПРЕДИСЛОВИЕ
В 1960/61—1961 /62 учебных годах я вел двухлетний курс теории программирования на факультете политической экономии Варшавского университета. В течение первого года излагались общие основы программирования, в течение второго года — программирование в условиях неопределенности. Как обычно, лекции систематически записывал д-р А. Банасинский, который впоследствии помог мне и в их литературной обработке. Д-р Банасинский принял участие также в подготовке ряда числовых примеров, в результате чего лекционный материал приобрел форму настоящей книги.
Это третья — после «Введения в эконометрику» и «Теории воспроизводства и накопления» — книга, которая возникает таким образом с помощью д-ра Банасинского. По случаю этого «юбилея» приношу ему особую благодарность.
Изложение основ теории программирования имеет целью синтетическое обобщение их. Вначале мы попытались дать общее определение теории программирования, основанное на применении множителей Лагранжа, а затем представить и описать маргинальное (дифференциальное) и линейное программирование как частные случаи этой общей теории. Такая методология была кратко изложена в приложении к первому тому моей книги «Политическая экономия», которое носит название «Математические основы программирования». В настоящей работе такой подход дается в значительно более подробной форме; особо акцентируется праксеологическая интерпретация метода множителей Лагранжа. Это соответствует принятому в настоящей книге истолкованию теории программирования как части праксеологии — науки о рациональной деятельности.
Кроме изложения теории программирования, рассматривается также практическое решение задач программирования. В связи с этим изложены основы симплекс-метода, а также применение теории программирования в так называемом исследовании операций. Особая глава посвящена проблеме «многоцелевого программирования», которая имеет большое значение для политической экономии социализма.
Вопросам программирования в условиях неопределенности посвящена почти половина книги. В отличие от общей теории линейного программирования эти вопросы значительно слабее разработаны. А между тем, они имеют большое значение, в особенности для планирования при социализме. Мы попытались изложить и в то же время более подробно развить важнейшие методы решения этих проблем, связать их применение с потребностями социалистической экономики. При этом обнаружилось, что теория программирования в условиях неопределенности поясняет также некоторые методы математической статистики (оптимальный выбор коэффициентов правдоподобия). Кроме того, эта теория дает основания для интересных выводов в области планирования запасов и распределения производства во времени.
Однако вероятностные и статистические методы линейного программирования на практике применяются ограниченно. Их применение требует не только непосредственного или оценочного знания распределения вероятности программируемых величин; оно пригодно на практике лишь для принятия часто повторяющихся решений (например, при контроле качества продукции). Многие решения, принимаемые в процессе планирования хозяйства (например, выбор вариантов капиталовложений при строительстве крупных объектов), носят единичный характер; при таких решениях действие закона больших чисел не имеет места. Поэтому здесь нельзя применить программирования, основанного на исчислении вероятности. Этот пробел восполняет теория стратегических игр, которая дает основу для принятия рациональных решений в условиях полной неопределенности, то есть в таких условиях, когда применение вероятностных методов невозможно. Применению теории игр для программирования посвящена последняя глава книги.
Таким образом, настоящая работа охватывает совокупность важнейших проблем, связанных с программированием. Надеемся, что она будет благожелательно принята читателями и будет способствовать повышению рациональности в методах планирования и управления нашим народным хозяйством.
Оскар Ланге
Варшава, март 1964 г.
