ПРЕДИСЛОВИЕ

Книга, которую мы предлагаем читателю, посвящена теории общих ортогональных рядов. Эта теория возникла еще в начале века (как естественное обобщение, на базе интеграла Лебега, теории тригонометрических рядов), но особенно активно разрабатывалась в последние двадцать пять лет. К настоящему времени выяснено, в частности, что:

многие утверждения о свойствах тригонометрической системы имеют общий характер и остаются справедливыми для широкого класса ортонормированных систем; изучение систем функций, более общих, чем ортонорми-рованные системы, часто сводится к изучению последних; в ряде вопросов неклассические ортонормированные системы ведут себя «лучше» классических; результаты и методы теории общих ортогональных ря­дов находят разнообразные применения вне этой теории.

Приведенные положения, говорящие о целесообраз­ности систематического изучения свойств различных орто­нормированных систем, подтверждаются в определенной степени содержанием этой книги. Отметим при этом, что книга не может претендовать на полноту изложения пред­мета; рассматриваемая теория весьма обширна, и мы не касаемся некоторых важных тем. Мы не стремились также приводить результаты в их наиболее общей форме. Глав­ной нашей целью было дать читателю представление об ос­новных идеях и методах, применяемых в теории ортого­нальных рядов. На выбор материала оказала несомненное влияние тематика семинара Д. Е. Меньшова и П. Л. Улья­нова по теории функций действительного переменного, который долгие годы работает в Московском университете, являясь «непрерывным продолжением» семинара Н. Н. Лу­зина двадцатых годов. Учтены и лекции по теории орто­гональных рядов, читанные первым автором в Московском университете в 1979—1981 годах. Значительная часть теорем, доказанных в книге, до этого не излагалась в моно­графиях, и мы надеемся, что и специалисты найдут для себя здесь новое. Все же мы в большой степени ориенти­ровались на начинающих математиков, а потому придер­живались правила: доказывать все утверждения, выходя­щие за рамки университетского курса. Предполагается, что читатель знаком с содержанием книги А. Н. Колмо­горова и С. В. Фомина «Элементы теории функций и функ­ционального анализа», а также с основами теории функ­ций комплексного переменного (например, в объеме книги [91]). Необходимые дополнительные сведения из теории функций и функционального анализа собраны в двух при­ложениях, помещенных в конце текста. Сведения о том, кем впервые были получены излагаемые в книге результа­ты, содержатся в разделе «Примечания». Там же даны ком­ментарии к приводимым доказательствам и некоторая дополнительная информация.

В заключение мы хотели бы выразить искреннюю бла­годарность за ценные советы и помощь нашим коллегам К. И. Осколкову, А. А. Талаляну, К. Тандори, 3. Чисел-скому и П. Освальду.

Б. С. Кашин, А. А. Саакян