Книга представляет собой современный курс математического анализа, написанный известным американским ученым. По стилю и содержанию она отличается от имеющихся традиционных курсов. Помимо обычно включаемого материала, книга содержит основы теории метрических пространств, теорию интегрирования дифференциальных форм на поверхностях, теорию интеграла и т. д.
В конце каждой главы приводятся удачно подобранные упражнения (общим числом около 200). Среди них есть как простые примеры, иллюстрирующие теорию, так и трудные задачи, существенно дополняющие основной текст книги.
Книга У. Рудина может служить учебным пособием для студентов математических и физических факультетов университетов, педагогических институтов и некоторых втузов. Она будет полезна аспирантам и преподавателям этих учебных заведений, а также инженерам, желающим расширить свои знания по математическому анализу.
**
ОГЛАВЛЕНИЕ
От переводчика 5
Предисловие 7
Глава 1. Системы вещественных и комплексных чисел 9
Введение 9
Дедекиндовы сечения 11
Вещественные числа 18
Расширенная система вещественных чисел 23
Комплексные числа 24
Евклидовы пространства 29
Упражнения 30
Глава 2. Элементы теории множеств 32
Конечные, счетные и несчетные множества 32
Метрические пространства 39
Компактные множества 45
Совершенные множества 51
Связные множества 52
Упражнения 54
Глава 3. Числовые последовательности и ряды 57
Сходящиеся последовательности 57
Подпоследовательности. 61
Последовательности Коши 62
Верхний и нижний пределы 65
Некоторые специальные последовательности 67
Ряды 68
Ряды с неотрицательными членами 71
Число е 73
Другие признаки сходимости 75
Степенные ряды 79
Суммирование по частям 80
Абсолютная сходимость 81
Сложение и умножение рядов 82
Перестановки рядов 85
Упражнения 88
Глава 4. Непрерывность 93
Предел функции 93
Непрерывные функции 95
Непрерывность и компактность 99
Непрерывность и связность 103
Разрывы функций 104
Монотонные функции 105
Бесконечные пределы и пределы в бесконечности 107
Упражнения 108
Глава 5. Дифференцирование 113
Производная вещественной функции 113
Теоремы о среднем значении 116
Непрерывность производных 118
Правило Лопиталя 119
Производные высших порядков 120
Теорема Тейлора 120
Дифференцирование векторнозначных функций 121
Упражнения 125
Глава 6. Интеграл Римана — Стильтьеса 129
Определение и существование интеграла 129
Интеграл как предел сумм 138
Интегрирование и дифференцирование 140
Интегрирование векторнозначных функций 142
Функции ограниченной вариации 144
Дальнейшие теоремы об интегрировании 149
Спрямляемые кривые 153
Упражнения 155
Глава 7. Последовательности и ряды функций 160
Вводные замечания 160
Равномерная сходимость 163
Равномерная сходимость и непрерывность 165
Равномерная сходимость и интегрирование 167
Равномерная сходимость и дифференцирование 171
Равностепенно непрерывные семейства функций 173
Теорема Стона — Вейерштрасса 178
Упражнения 186
Глава 8. Дальнейшие сведения из теории рядов 192
Степенные ряды 192
Показательная и логарифмическая функции 198
Тригонометрические функции 202
Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел 205
Ряды Фурье 206
Упражнения 215
Глава 9. Функции нескольких переменных 219
Линейные преобразования 219
Дифференцирование 226
Теорема об обратной функции 231
Теорема о неявной функции 234
Теорема о ранге 236
Теорема о разложении 239
Определители 241
Интегрирование 244
Дифференциальные формы 250
Симплексы и цепи .... 257
Теорема Стокса 261
Упражнения 263
Глава 10. Теория Лебега 271
Функции множества 271
Построение меры Лебега 273
Измеримые функции 282
Простые функции 284
Интегрирование 285
Сравнение с интегралом Римана 294
Интегрирование комплексных функций 297
Функции класса Хг 298
Упражнения. 304
Литература 308
Указатель обозначений 310
Алфавитный указатель 312
***
ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
Книга известного американского математика У. Рудина обладает рядом достоинств, выделяющих ее среди руководств по математическому анализу. Ее отличает прежде всего систематическое использование общих точек зрения и абстрактных идей уже при изложении основ дифференциального и интегрального исчисления. Так, например, простейшим понятиям теории пределов автор предпосылает определение метрического пространства. И хотя запас конкретных используемых в книге метрических пространств невелик — он состоит лишь из подпространств евклидовых пространств /?\ из упоминаемого вскользь пространства функций, непрерывных на компакте, и из пространства %2> появляющегося в самом конце книги,— такая общность представляется * очень уместной и лишний раз доказывает, что достоинство аксиоматической теории заключается не только в количестве и разнообразии тех конкретных моделей, к которым она применима, но и в той ясности, с которой выступает в каждом конкретном ее применении существо дела, не затемненное случайными деталями.
Особенно интересной и удачной нам представляется глава 9, посвященная интегральному и дифференциальному исчислению функций многих переменных. Здесь автору удалось решить ряд методических проблем, с которыми приходится сталкиваться каждому, кто преподает анализ на математических факультетах университетов.
Часто в курсах анализа с большой тщательностью доказываются теоремы, относящиеся к началам теории пределов и к свойствам непрерывных функций, а когда дело доходит до более высоких и более сложных по существу разделов, таких, скажем, как теория кратных интегралов и в особенности теория дифференциальных форм, то уровень изложения, как правило, резко снижается. Так, теорема Коши об обращении непрерывной функции в нуль, имеющая совсем простой наглядный смысл, всегда доказывается с максимальной скрупулезностью, а, скажем, теорема о замене переменных в кратных интегралах редко доказывается вполне аккуратно. И беда здесь вовсе не в потере пресловутой «строгости», а в том, что принятая манера изложения этих вопросов смазывает реальные трудности. Так, например, студент, изучивший в таком изложении три формулы — Грина, Стокса и Гаусса — Остроградского (мы применяем здесь терминологию известного курса Г. М. Фихтенгольца), вряд ли сумеет даже чисто формально составить соответствующее соотношение между интегралом формы по многообразию и интегралом по краю этого многообразия для иных размерностей.
В главе 9 книги Рудина приводится очень короткое и изящное доказательство теоремы о локальной обратимости гладких отображений евклидовых пространств, доказательство теоремы о неявной функции, которая сопровождается интересными геометрическими приложениями. Затем приводится остроумное доказательство теоремы о замене переменных в кратном интеграле. Оно основано на локальном представлении гладкого отображения с ненулевым якобианом в виде суперпозиции нескольких отображений, оставляющих неизменными все координаты, кроме одной. В этой же главе изложено исчисление дифференциальных форм и формула Стокса (в ее современном виде).
Стиль книги вполне соответствует ее названию: главное внимание уделяется именно основам, а не деталям. Некоторые важные сведения (такие, скажем, как теорема Фубини, теория несобственных интегралов и интегралов, зависящих от параметра) либо вовсе не сообщаются, либо составляют содержание упражнений.
Книга написана очень сжато. Утверждения, именуемые в традиционных курсах теоремами и снабжаемые не очень короткими доказательствами, упоминаются здесь порой вскользь, как нечто само собой разумеющееся, или даже не упоминаются вовсе (но неявно используются). В доказательствах, всегда аккуратных и безупречных по существу, порой встречаются вольности речи.
Все это должно служить известным предостережением для студента, впервые приступающего к изучению анализа. В то же время специалист, искушенный в анализе, будет справедливо рассматривать особенности книги, перечисленные в предыдущем абзаце, как ее достоинства: сжатость изложения избавит его от повторения стандартных рассуждений, которыми он давно овладел, а некоторые вольности речи приятно разнообразят стиль.
Книга У. Рудина будет служить полезным пособием для всех, кто изучает математический анализ или преподает эту науку.
В. Хавин
