ПРЕДИСЛОВИЕ

За последние годы в иностранной математической литературе появилось много книг, посвященных так называемой общей топологии, т. е. в первую очередь теории топологических пространств. Книги эти — раз­ного достоинства. Наилучшими среди них я считаю обширный двухтомный классический трактат К. Кура-товского «Топология» (выдержавший несколько изданий на различных языках и переведенный на русский язык несколько лет тому назад) и замечательную книгу польского математика Р. Энгелькинга, вышедшую параллельно на польском и английском языках соот­ветственно под заглавиями «Zarys topologii ogolnej »и «Outline of general topology». Неудивительно, что обе эти книги принадлежат перу польских математиков: общеизвестно, что польская математическая школа в течение более чем полустолетия занимает одно из самых передовых мест в теоретико-множественной топо­логии.

Советская топологическая школа в течение этого же полустолетия выдвинулась также на одно из пер­вых мест, но в нашей книжной литературе это обстоя­тельство, можно сказать, совсем не отразилось: кроме уже упомянутого перевода трактата Куратовского и перевода знаменитой «Теории множеств» Хаусдор-фа (оригинал которой относится — в различных его изданиях — к 1914 и к 1927 гг.), мы имеем еще на рус­ском языке перевод книги Келли (изданной в 1955 г., но устаревшей больше, чем упомянутые выше классиче­ские произведения) да еще написанное мною и изданное в 1948 г. совсем элементарное «Введение в общую теорию множеств и функций», не доходящее в тополо­гической части даже до формулировки какой-либо общей метризационной теоремы. На фоне фактического отсут­ствия оригинальных русских книг по общей топологии даже новое издание «Мемуара о компактных топологи­ческих пространствах», написанного в 1922 г. П. С. Уры-соном и мною, явилось, вероятно, небесполезным попол­нением нашего книжного фонда по данной области математики.

Книга, предлагаемая ныне вниманию математиков, интересующихся и занимающихся общей топологией, имеет заглавие «Общая топология в задачах и упраж­нениях» и принадлежит перу двух математиков моло­дого поколения, принадлежащих к числу наиболее выдающихся представителей советской математической школы в области теоретико-множественной топологии. Им принадлежат многие из самых замечательных результатов, полученных в теории топологических пространств за последние 10—15 лет. Достаточно ска­зать, что такая фундаментальная и совершенно новая глава топологии, какой является общая теория непре­рывных отображений топологических пространств, в основном создана именно двумя авторами этой книги. Такие результаты, как теоремы В. И. Пономарева об абсолюте топологического пространства или о про­странствах с первой аксиомой счетности как открытых образах метрических пространств, равно как теоремы Архангельского о введенных им так называемых пери­стых пространствах и вообще о связях между различ­ными типами пространств,— связях, осуществляемых непрерывными отображениями тех или иных классов,— принадлежат бесспорно к основным и наиболее инте­ресным достижениям общей топологии. Что же касается решения А. В. Архангельским вопроса о мощности всех бикомпактных хаусдорфовых простра ств с первой аксиомой счетности, то это не только решение проблемы пятидесятилетней  давности,  но  и  несомненно один из фундаментальных результатов всей теоретико-множе­ственной математики.

Неудивительно, что авторы, столь далеко продви­нувшие разрабатываемую ими область науки, в наилуч­шей степени могли отразить в своем общем труде и наиболее существенные стороны современного ее состояния, и наиболее яркие перспективы ее дальней­шего развития. Действительно, книга А. В. Архангель­ского и В. И. Пономарева вводит нас в самую глубину достижений и задач, волнующих нас сейчас в разраба­тываемой ими, хотя и очень абстрактной, но от этого не менее увлекательной области математики. Именно эту увлекательность излагаемых ими вопросов они сумели показать, хотя избранный ими оригинальный (в последнее время, к сожалению, становящийся уже и модным) способ изложения —«в задачах и упражне­ниях»,— по моему мнению, не столько помогает им, сколько скорее затрудняет их в достижении поставлен­ной цели. Тем не менее задача представить читателю увлекательную картину самого значительного из того, чем живет общая топология именно сегодня, удачно решается в этой книге так, что не нахожу другого сочинения, которому в этом отношении можно было бы отдать предпочтение.

После сказанного выше читатель не удивится тому, что все сочинение кульминирует в общей теории непре­рывных отображений, с одной стороны, и в теории так называемых кардинальных инвариантов (мощность, вес, так называемый я-вес, теснота, число Суслина и т. д.) — с другой. Эти вопросы и многочисленные с ними связанные не только наиболее близки интересам самих авторов, но и объективно в самые последние годы выдвинулись в общей топологии на первый план. Но и другие основные направления теории топологи­ческих пространств не остались в тени. Такова проблема метризации, получившая за последние десятилетия неожиданное новое развитие, в значительной степени связанное именно с общей теорией непрерывных отобра­жений и в свою очередь тесно связанное с понятием паракомпактности, его усилениями и ослаблениями. Такова теория бикомпактных расширений и в не мень­шей степени теория диадических бикомпактов. Книга не осталась в стороне и от связей с аксиоматикой абстрактной теории множеств, которые так ярко выяви­лись в общей топологии за последние годы.

В мои задачи не входит даже конспективное изло­жение содержания книги. Читатель найдет его в оглав­лении. Подводя итог сказанному, хочется только повто­рить, что сочинение А. В. Архангельского и В. И. Поно­марева вводит читателя именно в современные вопросы общей топологии и притом не случайно выбранные, а отобранные действительными знатоками дела.

Книга в высшей степени приспособлена для того, чтобы направить читателя на собственные исследова­ния, давая ему, кроме того, и хорошую школу актив­ной работы над математической книгой. Я не сомне­ваюсь, что эта книга найдет успех среди читателей, для которых она предназначена, и сослужит этим читателям большую службу, сделав многих самых молодых среди них настоящими математиками — неза­висимо от того, будут ли они дальше заниматься непре­менно общей топологией или какой-нибудь другой частью математической науки.

П. Александров

Болшево—Комаровка, 12 ноября 1972 г.