АННОТАЦИЯ
Книга содержит основы тензорного исчисления и приложения его к вопросам механики дискретных и непрерывных систем.
В монографию включен краткий очерк математического аппарата общей теории относительности и обобщенной механики сплошной среды, имитирующей поликристаллические тела с дислокациями и включениями инородного вещества.
Предназначена для научных работников, занимающихся вопросами механики. Может быть использована аспирантами и студентами вузов соответствующих специальностей.
*
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Монография «Основы тензорного исчисления с приложениями к механике» отличается от первого издания этой книги «Элементы тензорного исчисления и его приложения к механике» (1954) тем, что операции тензорного исчисления производятся здесь, как правило, в многомерном пространстве. Особенности трехмерного пространства указаны отдельно. Эта перестройка коснулась, прежде всего, главы II. Целесообразность перестройки была очевидна, так как в большинстве случаев область изменения индексов ограничивалась числом «три» совершенно произвольно.
Были введены дополнительные сведения о функциях кинетических напряжений (§ 63), а также краткий очерк математического аппарата общей теории относительности (§ 65) и некоторые идеи современных обобщений механики сплошной среды, отражающей свойства поликристаллических тел с дислокациями в кристаллических решетках и с включениями инородной материи (§ 66). Последние параграфы внутренне связаны между собой, несмотря на физическое различие объектов исследования.
Не желая значительно увеличивать объем книги, автор ограничивается лишь упоминанием о тех идеях, которые представлялись ему ведущими.
Автор выражает глубокую благодарность академику АН УССР А. Д. Коваленко и профессору Н. И. Кованцеву за критический просмотр книги.
Автор благодарит В. Г. Ключникову, С. С. Ковтун, М. П. Петренко, Н. Н. Шепелевскую, а также других коллег и сотрудников за помощь в подготовке этого издания.
Киев, август, 1970
Автор
***
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 3
Предисловие к первому изданию 4
Введение 5
Глава I. Элементы векторного исчисления.
А. Векторная алгебра
§ 1. Скаляры и векторы 6
§ 2. Сложение векторов 3
§ 3. Скалярное произведение векторов 10
§ 4. Векторное произведение 11
§ 5. Комбинированные действия 14
§ 6. «Деление» векторов 16
§ 7. Применение прямоугольной декартовой системы координат 18
§ 8. Комбинированные действия умножения 20
Б. Векторный анализ
§ 9. Дифференцирование векторных функций скалярного аргумента 20
§ 10. Интегрирование векторных функций скалярного аргумента 22
Глава II. Основы тензорного исчисления.
А. Понятие тензора
§ 11. Контравариантные и ковариантные компоненты вектора . 23
§ 12. Скалярное произведение в косоугольной многомерной системе координат 25
§ 13. Преобразование компонент вектора 26
§ 14. Взаимный координатный базис в трехмерном пространстве 29
§ 15. Векторное произведение в косоугольной декартовой системе координат 30
§ 16. Псевдовектор 31
§ 17. Обобщение аналитического определения вектора. Простейшие тензоры 32
§ 18. Общее определение тензора 34
§ 19. Метрический тензор 35
§ 20. Симметричные и антисимметричные тензоры второго ранга 35
§ 21. Мгновенная угловая скорость абсолютно твердого тела как антисимметричный тензор второго ранга 37
Б. Тензорная алгебра
§ 22. Перестановка индексов и сложение тензоров 39
§ 23. Применение действия сложения. Симметрирование и альтернирование 40
§ 24. «Опускание» и «поднятие» индексов 42
§ 25. Умножение тензоров 42
§ 26. Свертывание тензоров 43
§ 27. Простейшие примеры применения тензорной алгебры . . 44
§ 28. Связь между тензорами и теорией алгебраических поверхностей 44
§ 29. Второе аналитическое определение тензора 45
§ 30. Аффинные преобразования 46
§ 31. Оператор вращения (версор) 47
§ 32. Сложение вращений . 48
§ 33. Криволинейные координаты в трехмерном пространстве . . 50
§ 34. Криволинейные координаты в пространстве п измерений . 53
В. Тензорный анализ
§ 35. Абсолютный дифференциал вектора 55
§ 36. Абсолютные дифференциалы тензоров высших рангов . . 57
§ 37. Параллельный перенос тензора, отнесенного к криволинейным координатам 58
§ 38. Тензор кривизны (тензор Римана — Кристоффеля) ... 60
§ 39. Простейшие свойства тензора кривизны 63
§ 40. Тензорное поле 64
§ 41. Ковариантная производная 64
§ 42. Градиент скалярной функции 67
§ 43. Расхождение и вихрь вектора 68
§ 44. Оператор Гамильтона 69
§ 45. Интегральные теоремы векторного исчисления 71
§ 46. Ортогональные криволинейные координаты 75
Глава III. Приложения тензорного исчисления к механике дискретных систем материальных точек
§ 47. Уравнения движения свободной материальной точки в криволинейных координатах 77
§ 48. Цилиндрические и сферические координаты 78
§ 49. Движение несвободной материальной точки 80
§ 50. Движение несвободной материальной точки по инерции . . 81
§ 51. Уравнения движения несвободной системы материальных точек в криволинейной системе координат 83
§ 52. Уравнения движения физического маятника 88
§ 53. Неголономные координаты . . . 91
§ 54. Уравнения движения неголономных систем 93
§ 55. О некоторых геометрических представлениях, связанных с теорией движения голономных и неголономных систем 97
§ 56. Приложения к динамике твердого тела 99
Глава IV. Приложения тензорного исчисления к механике дефор мируемых тел
§ 57. Общие уравнения равновесия и движения сплошных сред 102
§ 58. Вектор смещений, тензор деформаций и тензор скоростей деформаций 106
§ 59. Геометрия деформированной среды ПО
§ 60. Уравнения движения вязкой жидкости в инвариантной форме 112
§ 61. Основные уравнения теории упругости 115
§ 62. Функции кинетических напряжений 118
§ 63. Функции кинетических напряжений в задачах эластодинамики 122
§ 64. Некоторые приложения к теории малых упруго-пластических деформаций 126
§ 65. Аналитические основы общей теории относительности 129
§ 66. Механика сплошной среды с источниками внутренних напряжений 137
Литература 142
Предметный указатель 144
