Оригинално заглавие:
DIE GRUNDLEHREN DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN IN EINZELDARSTELLUNGEN BAND 144
André Weil
BASIC NUMBER THEORY
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG NEW YORK 1967
*
АННОТАЦИЯ
Монография одного из крупнейших современных математиков, написанная на основе курса лекций, прочитанного автором в Принстонском университете. Содержит изложение теории алгебраических чисел, в том числе теории полей классов, являющееся, по-видимому, на много лет окончательным. Книга представляет интерес не только для специалистов по теории чисел, но и для математиков, занимающихся алгебраической геометрией, теорией автоморфных функций и т. д. Она написана очень четко и доступна студентам старших курсов.
*
ОГЛАВЛЕНИЕ
От издательства 5
Предисловие к русскому изданию 7
Предисловие 9
Хронологическая таблица 12
Предварительные сведения и обозначения 13
Список обозначений 18
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПОЛЯ 23
§ 1. Конечные поля 23
§ 2. Модуль в локально компактном поле 26
§ 3. Классификация локально компактных полей 33
§ 4. Структура р-полей 37
ГЛАВА ВТОРАЯ
РЕШЕТКИ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ ПОЛЯМИ 51
§ 1. Нормы 51
§ 2. Решетки 55
§ 3. Мультипликативная структура локальных полей 61
§ 4. Решетки над К 65
§ 5. Двойственность над локальными полями 68
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ТОЧКИ А-ПОЛЕЙ 74
§ 1. А-поля и их пополнения 74
§ 2. Тензорные произведения коммутативных полей 80
§ 3. Следы и нормы 85
§ 4. Тензорные произведения А-полей и локальных полей 90
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
АДЕЛИ 93
§ 1. Адели А-полей 93
§ 2. Основные теоремы 99
§ 3. Идели 108 § 4. Идели А-полей 113
ГЛАВА ПЯТАЯ
ПОЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 120
§ 1. Порядки в алгебрах над О 120
§ 2. Решетки над полями алгебраических чисел 122
§ 3. Идеалы 127
§ 4. Фундаментальные множества 131
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА 140
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ А-ПОЛЕЙ 148
§ 1. Сходимость эйлерова произведения 148
§ 2. Преобразования Фурье и стандартные функции 151
§ 3. Квазихарактеры 163
§ 4. Квазихарактеры А-полей 167
§ 5. Функциональное уравнение 171
§ 6. Дедекиндова дзета-функция 179
§ 7. /.-функции 183 § 8. Коэффициенты /.-рядов 188
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
СЛЕДЫ И НОРМЫ 193
§ 1. Следы и нормы в локальных полях 193
§ 2. Вычисление дифференты 198
§ 3. Теория ветвления 203
§ 4. Следы и нормы в А-полях 209
§ 5. Расщепимые точки в сепарабельных расширениях 216
§ 6. Применение к несепарабельным расширениям 217
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ 223
§ 1. Структура простых алгебр 223
§ 2. Представления простой алгебры 230
§ 3. Системы факторов и группа Брауэра 233
§ 4. Циклические системы факторов 246
§ 5. Специальные циклические системы факторов 252
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ ПОЛЯМИ 256
§ 1. Порядки и решетки 256
§ 2. Следы и нормы 263
§ 3. Вычисление некоторых интегралов 265
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ
ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ НАД А-ПОЛЯМИ 273
§ I. Ветвление 273
§ 2. Дзета-функция простой алгебры 274
§ 3. Нормы на простых алгебрах 279
§ 4. Простые алгебры над полями алгебраических чисел 284
ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ
ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ 288
§ 1. Формализм теории полей классов 288
§ 2. Группа Брауэра локального поля 298
§ 3. Канонический морфизм 304
§ 4. Ветвление абелевых расширений 310
§ 5. Перенос 322
ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ
ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ 327
§ 1. Каноническое спаривание 327
§ 2. Одна элементарная лемма 335
§ 3. Закон взаимности Хассе 338
§ 4. Теория полей классов для О 344
§ 5. Символ Гильберта 347
§ 6. Группа Брауэра А-поля 353
§ 7. р-символ Гильберта 357
§ 8. Ядро канонического морфизма 363
§ 9. Основные теоремы 368
§ 10. Локальное поведение абелевых расширений 370
§ 11. «Классическая» теория полей классов 375
§ 12. «СогошсНз 1осо» 383
ПРИЛОЖЕНИЯ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Приложение I (к гл. ХП-5 и ХШ-9) 388
Приложение II. ИР-группы для локальных полей 390
Приложение III. Теорема Шафаревича 391
Приложение IV. Теорема Хербранда для неабелевых расширений 398
Предметный указатель 403
