Оригинално заглавие:
A FIRST COURSE IN STOCHASTIC PROCESSES by Samuel Karlin
Department of Mathematics Stanford University Stanford, California ACADEMIC PRESS New York and London 1968
*
АННОТАЦИЯ
Книга С. Карлина является связующим звеном между элементарным курсом теории вероятностей и специальными курсами теории случайных процессов, которые используют сложный аппарат современной математики. Для чтения книги практически достаточно знания математики в объеме стандартного курса высших учебных заведений. Наряду с изложением математического аппарата книга содержит прекрасный набор приложений к биологии, задачам массового обслуживания и др. вопросам.
Книга представляет интерес как для математиков, интересующихся приложениями, так и для биологов, инженеров и специалистов других областей науки, в которых математика находит свое применение.
**
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие 7
Логическая зависимость глав 9
Глава 1. Элементы теории случайных процессов 11
§ 1. Сводка основных терминов и свойств случайных величин и функций распределения И
§ 2. Два простых примера случайных процессов 21
§ 3. Классификация общих случайных процессов 27
Задачи . . . 31
Замечания 35
Литература 36
Глава 2. Марковские цепи 37
§ 1. Определения 37
§ 2. Примеры марковских цепей 38
§ 3. Матрицы переходных вероятностей марковской цепи ..... 50
§ 4. Классификация состояний марковской цепи . 52
§ 5. Возвратность 55
§ 6. Примеры возвратных марковских цепей 60
§ 7. Еще о возвратности 65
Задачи 66
Некоторые элементарные задачи 71
Замечания 72
Литература 72
Глава 3. Основные предельные теоремы для марковских цепей и их приложения 73
§ 1. Дискретное уравнение восстановления 73
§ 2. Доказательство теоремы 1.1 80
§ 3. Вероятности поглощения 82
§ 4. Критерии возвратности 88
§ 5. Пример из теории очередей 91
§ 6. Еще один пример из теории очередей 97
§ 7. Случайное блуждание 102
Задачи 104
Некоторые элементарные задачи 109
Замечания 109
Литература 109
Глава 4. Алгебраические методы исследования марковских цепей . . , .110
§ 1. Предварительные сведения 110
§ 2. Связь между собственными значениями и классами возвратных состояний . 112
§ 3. Периодические классы 116
§ 4. Специальные вычислительные методы для марковских цепей . . 120
§ 5. Примеры 125
§ 6. Приложения к бросаниям монеты 130
Задачи 135
Некоторые элементарные задачи 142
Замечания 143
Литература 143
Глава 5, Теоремы об отношениях переходных вероятностей и их приложения 144
§ 1. Вероятности перехода с запрещением 144
§ 2. Теоремы об отношениях 146
§ 3. Существование обобщенных стационарных распределений . . .151
§ 4. Интерпретация обобщенных стационарных распределений . . . 156
§ 5. Регулярные, суперрегулярные и субрегулярные последовательности марковских цепей 159
Задачи 166
Замечания 169
Литература 169
Глава 6. Последовательность сумм независимых случайных величин как марковская цепь . . 170
§ 1. Свойства возвратности сумм независимых случайных величин . .170
§ 2. Локальные предельные теоремы . 174
§ 3. Правые регулярные последовательности марковских цепей . . . 182
Задачи 192
Замечания 196
Литература 197
Глава 7. Классические примеры цепей Маркова с непрерывным временем 198
§ 1. Общие процессы чистого рождения (размножения) и пуассоновские процессы 198
§ 2. Дополнительные сведения о пуассоновских процессах 204
§ 3. Модель счетчика 208
§ 4. Процессы рождения и гибели . 212
§ 5. Дифференциальные уравнения для процессов рождения и гибели 216
§ 6. Примеры процессов рождения и гибели . 218
§ 7. Процессы рождения и гибели с поглощающими состояниями . 225
§ 8. Цепи Маркова с конечным числом состояний и непрерывным временем 231
Задачи 233
Некоторые элементарные задачи 241
Замечания 241
Литература 242
Глава 8. Цепи Маркова с непрерывным временем 243
§ 1. Свойства дифференцируемости переходных вероятностей . . . 243
§ 2. Консервативные процессы. Прямые и обратные дифференциальные уравнения. 248
§ 3. Построение цепи Маркова с непрерывным временем с помощью ее инфинитезимальных параметров 250
§ 4. Строго марковское свойство 256
Задачи 259
Замечания 261
Литература 261
Глава 9. Порядковые статистики, пуассоновские процессы и их приложения 262
§ 1. Порядковые статистики и их связь с пуассоновскими процессами 262
§ 2. Задача о баллотировке 270
§ 3. Эмпирические функции распределения и порядковые статистики 275
§ 4. Некоторые предельные распределения для эмпирических функций распределения 282
Задачи 287
Замечания 296
Литература 296
Глава 10. Броуновское движение 297
§ I. Предварительные сведения 297
§ 2. Совместные вероятности для броуновского движения 299
§ 3. Непрерывность траекторий и их максимальные значения .... 302
Задачи 307
Замечания 311
Литература 311
Глава 11. Ветвящиеся процессы . 312
§ 1. Ветвящиеся процессы с дискретным временем 312
§ 2. Соотношения для производящей функции, описывающей ветвящийся процесс 313
§ 3. Вероятности вырождения 316
§ 4. Примеры 320
§ 5. Ветвящиеся процессы с двумя типами частиц . 325
§ 6. Ветвящиеся процессы с несколькими типами частиц .... 332
§ 7. Ветвящиеся процессы с непрерывным временем 333
§ 8. Вероятности вырождения для ветвящихся процессов с непрерывным временем . . 337
§ 9. Предельные теоремы для ветвящихся процессов с непрерывным временем , 340
§ 10. Ветвящийся процесс с непрерывным временем и двумя типами частиц 345
§ 11. Ветвящиеся процессы, зависящие от возраста 352
Задачи 357
Замечания 362
Литература 362
Глава 12. Составные случайные процессы 363
§ 1. Многомерные однородные пуассоновские процессы 364
§ 2. Применение многомерных пуассоновских процессов в астрономии 370
§ 3. Иммиграция и рост популяций 372
§ 4. Вероятностные модели мутации и роста 375
§ 5. Экспоненциальный рост одномерной популяции 380
§ 6. Вероятностная модель роста популяции в пространстве и времени 383
§ 7. Детерминированный рост популяции с распределением по возрастам 387
§ 8. Дискретная возрастная модель 394
Задачи 395
Замечания 400
Литература 400
Глава 13. Детерминированные и случайные генетические и экологические процессы 401
§ 1. Генетические модели. Описание генетического механизма . . . 401
§ 2. Инбридинг 4Ю
§ 3. Полиплоиды 417
§ 4. Марковские процессы, порождаемые прямым произведением ветвящихся процессов 420
§ 5. Модели роста популяций с несколькими типами индивидуумов . 426
§ 6. Собственные значения цепей Маркова, порожденных прямым произведением ветвящихся процессов 428
§ 7. Собственные значения для модели мутации с несколькими типами индивидуумов 437
§ 8. Вероятностный смысл собственных значений 446
Задачи 455
Литература 459
Глава 14. Процессы массового обслуживания 460
§ 1. Общее описание 460
§ 2. Простейшие процессы обслуживания (М/М/1) 461
§ 3. Некоторые общие модели обслуживания одним прибором 463
§ 4. Метод вложенных цепей Маркова применительно к модели обслуживания (М/О/1) 469
§ 5. Экспоненциально распределенное время обслуживания (О/М/1). 475
§ 6. Гамма-распределение интервалов между поступлениями и обобщения (Еи/М/1) 479
§ 7. Экспоненциальное обслуживание 5 приборов (01/М/з) 483
§ 8. Виртуальное время ожидания и период занятости 487
Задачи 493
Замечания 499
Литература 500
Приложение 501
§ 1. Спектральная теорема 501
§ 2. Теория Фробениуса положительных матриц 507
Различные задачи 518
Предметный указатель 531
