Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР з качестве учебного пособия для студентов высших технических учебных заведений

*

АННОТАЦИЯ

Книга посвящена изложению важнейших методов и приемов вычислительной математики на базе общего втузовского курса высшей математики. Основная часть книги является учебным пособием по курсу приближенных вычислений для втузов. Книга может быть полезна также для лиц, работающих в области прикладной математики.***

**

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к третьему изданию..12
Введение. Общие правила вычислительной работы..13

Глава 1. Приближенные числа..17
§ 1. Абсолютная и относительная погрешности. . ..17
§ 2. Основные источники погрешностей..20
§ 3. Десятичная запись приближенных чисел. Значащая цифра. Число верных знаков..21
§ 4. Округление чисел.24
§ 5. Связь относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков этого числа25
§ 6. Таблицы для определения предельной относительной погрешности по числу верных знаков и наоборот28
§ 7. Погрешность суммы31
§ 8. Погрешность разности..33
§ 9. Погрешность произведения..35
§ 10. Число верных знаков произведения.37
§ 11. Погрешность частного..38
§ 12. Число верных знаков частного 39
§ 13. Относительная погрешность степени.39
§ 14. Относительная погрешность корня..39
§ 15. Вычисления без точного учета погрешностей..40
§ 16. Общая формула для погрешности..41
§ 17. Обратная задача теории погрешностей43
§ 18. Точность определения аргумента для функции, заданной таблицей .46
§ 19. Способ границ48
§ 20. Понятие о вероятностной оценке погрешности..51
Литература к первой главе.52

Глава II. Некоторые сведения из теории цепных дробей..53
§ 1. Определение цепной дроби53
§ 2. Обращение цепной дроби в обыкновенную и обратно..54
§ 3. Подходящие дроби 56
§ 4. Бесконечные цепные дроби64
§ 5. Разложение функций в цепные дроби.70
Литература ко второй главе73

Глава III. Вычисление значений функций.74
§ 1. Вычисление значений полинома. Схема Горнера.74
§ 2. Обобщенная схема Горнера77
§ 3. Вычисление значений рациональных дробей79
§ 4. Приближенное нахождение сумм числовых рядов80
§ 5. Вычисление значений аналитической функции..86
§ 6. Вычисление значений показательной функции..88
§ 7. Вычисление значений логарифмической функции.92
§ 8. Вычисление значений тригонометрических функций..95
§ 9. Вычисление значений гиперболических функций.98
§ 10. Применение метода итерации для приближенного вычисления значений функции.  100
§ 11. Вычисление обратной величины101
§ 12. Вычисление квадратного корня104
§ 13. Вычисление обратной величины квадратного корпя..108
§ 14. Вычисление кубического корня108
Литература к третьей главе111

Глава IV. Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений..112
§ 1. Отделение корней.112
§ 2. Графическое решение уравнений116
§ 3. Метод половинного деления..118
§ 4. Способ пропорциональных частей (метод хорд)..119
§ 5. Метод Ньютона (метод касательных).123
§ 6. Видоизмененный метод Ньютона131
§ 7. Комбинированный метод.132
§ 8. Метод итерации..135
§ 9. Метод итерации для системы двух уравнений..148
§ 10. Метод Ньютона для системы двух уравнений..152
§ 11. Метод Ньютона для случая комплексных корней..153
Литература к четвертой главе .157

Глава V. Специальные приемы для приближенного решения алгебраических уравнений.158
§ 1. Общие свойства алгебраических уравнений.158
§ 2. Границы действительных корней алгебраических уравнений. 163
§ 3. Метод знакопеременных сумм..165
§ 4. Метод Ньютона..167
§ 5. Число действительных корней полинома..169
§ 6. Теорема Бюдана — Фурье171
§ 7. Идея метода Лобачевского—Греффе.176
§ 8. Процесс квадрирования корней. 178
§ 9. Метод Лобачевского—Греффе для случая действительных различных корней ..180
§ 10. Метод Лобачевского — Греффе для случая комплексных корней 183
§ 11. Случай пары комплексных корней ..186
§ 12. Случай двух пар комплексных корней190
§ 13. Метод Бернулли..195
Литература к пятой главе 198

Глава VI. Улучшение сходимости рядов.199
§ 1. Улучшение сходимости числовых рядов..199
§ 2. Улучшение сходимости степенных рядов методом Эйлера — Абеля .. 205
§ 3. Оценки коэффициентов Фурье.210
§ 4. Улучшение сходимости тригонометрических рядов Фурье методом А. Н. Крылова    213
§ 5. Приближенное суммирование тригонометрических рядов. . . 222
Литература к шестой главе.224

Глава VII. Алгебра матриц. . 225
§ 1. Основные определения..225
§ 2. Действия с матрицами..226
§ 3. Транспонированная матрица .230
§ 4. Обратная матрица.231
§ 5. Степени матрицы. 236
§ 6. Рациональные функции матрицы237
§ 7. Абсолютная величина и норма матрицы..238
§ 8. Ранг матрицы244
§ 9. Предел матрицы..245
§ 10. Матричные ряды .247
§ 11. Клеточные матрицы252
§ 12. Обращение матриц при помощи разбиения на клетки . 255
§ 13. Треугольные матрицы..260
§ 14. Элементарные преобразования матриц263
§ 15. Вычисление определителей264
Литература к седьмой главе267

Глава VIII. Решение систем линейных уравнений268
§ 1. Общая характеристика методов решения систем линейных уравнений.268
§ 2. Решение систем с помощью обратной матрицы. Формулы Крамера ..268
§ 3. Метод Гаусса272
§ 4. Уточнение корней 279
§ 5. Метод главных элементов281
§ 6. Применение метода Гаусса для вычисления определителей. . 283
§ 7. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса..285
§ 8. Метод квадратных корней287
§ 9. Схема Халецкого .290
§ 10. Метод итерации..294
§ 11. Приведение линейной системы к виду, удобному для итерации 301
§ 12. Метод Зейделя303
§ 13. Случай нормальной системы..305
§ 14. Метод релаксации307
§ 15. Исправление элементов приближенной обратной матрицы. . . 310
Литература к восьмой главе 314

Глава IX. Сходимость итерационных процессов для систем линейных уравнений.315
§ 1. Достаточные условия сходимости процесса итерации..315
§ 2. Оценка погрешности приближений процесса итерации . 317
§ 3. Первое достаточное условие сходимости процесса Зейделя. . 320
§ 4. Оценка погрешности приближений процесса Зейделя по m-норме322
§ 5. Второе достаточное условие сходимости процесса Зейделя. . 323

§ 6. Оценка погрешности приближений процесса Зейделя по m-норме 325
§ 7. Третье достаточное условие сходимости процесса Зейделя. . 326
Литература к девятой главе..328

Глава X. Основные сведения из теории линейных векторных пространств .329
§ 1. Понятие линейного векторного пространства329
§ 2. Линейная зависимость векторов330
§ 3. Скалярное произведение векторов..335
§ 4. Ортогональные системы векторов..338
§ 5. Преобразования координат вектора при изменениях базиса. . 340
§ 6. Ортогональные матрицы.342
§ 7. Ортогонализация матриц.343
§ 8. Применение методов ортогонализации к решению систем линейных уравнений.351
§ 9. Пространство решений однородной системы356
§ 10. Линейные преобразования переменных ..359
§ 11. Обратное преобразование 365
§ 12. Собственные векторы и собственные значения матрицы . 367
§ 13. Подобные матрицы 372
§ 14. Билинейная форма матрицы..375
§ 15. Свойства симметрических матриц..376
§ 16. Свойства матриц с действительными элементами 381
Литература к десятой главе385

Глава ХI. Дополнительные сведения о сходимости итерационных процессов для систем линейных уравнений386
§ 1. Сходимость матричных степенных рядов..386
§ 2. Тождество Гамильтона — Кели.389
§ 3. Необходимые и достаточные условия сходимости процесса итерации для системы линейных уравнений..390
§ 4. Необходимые и достаточные условия сходимости процесса Зейделя для системы линейных уравнений..392
§ 5. Сходимость процесса Зейделя для нормальной системы. . . 395
§ 6. Способы эффективной проверки условий сходимости .. 397
Литература к одиннадцатой главе 401

Глава XII. Нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы..402
§ 1. Вводные замечания..402
§ 2. Развертывание вековых определителей ..402
§ 3. Метод А. М. Данилевского..404
§ 4. Исключительные случаи в методе А. М. Данилевского. . . 410
§ 5. Вычисление собственных векторов по методу А. М. Данилевского .411
§ 6. Метод А. И. Крылова..412
§ 7. Вычисление собственных векторов по методу А. Н. Крылова 416
§ 8. Метод Леверрье..417
§ 9. Понятие о методе неопределенных коэффициентов.419
§ 10. Сравнение различных методов развертывания векового определителя .421
§ 11. Нахождение наибольшего по модулю собственного значения матрицы и соответствующего собственного вектора..421
§ 12. Метод скалярных произведений для нахождения первого собственного значения действительной матрицы428
§ 13. Нахождение второго собственного значения матрицы и второго собственного вектора ..431
§ 14. Метод исчерпывания434
§ 15. Нахождение собственных элементов положительно определенной симметрической матрицы.437
§ 16. Использование коэффициентов характеристического полинома матрицы для ее обращения..442
§ 17. Метод Л. А. Люстерника улучшения сходимости процесса итерации для решения системы линейных уравнений444
Литература к двенадцатой главе.449

Глава XIII. Приближенное решение систем нелинейных уравнений .450
§ 1. Метод Ньютона..450
§ 2. Общие замечания о сходимости процесса Ньютона456
§ 3*. Существование корней системы и сходимость процесса Ньютона .460
§ 4*. Быстрота сходимости процесса Ньютона.465
§ 5*. Единственность решения466
§ 6*. Устойчивость сходимости процесса Ньютона при варьировании начального приближения469
§ 7. Модифицированный метод Ньютона. . . .471
§ 8. Метод итерации .474
§ 9*. Понятие о сжимающем отображении477
§ 10*. Первое достаточное условие сходимости процесса итерации 481
§ 11*. Второе достаточное условие сходимости процесса итерации 483
§ 12. Метод скорейшего спуска (метод градиента).485
§ 13. Метод скорейшего спуска для случая системы линейных уравнений.490
§ 14*. Метод степенных рядов.494
Литература к тринадцатой главе496

Глава XIV. Интерполирование функций..497
§ 1. Конечные разности различных порядков.497
§ 2. Таблица разностей500
§ 3. Обобщенная степень..505
§ 4. Постановка задачи интерполирования507
§ 5. Первая интерполяционная формула Ньютона..508
§ 6. Вторая интерполяционная формула Ньютона..514
§ 7. Таблица центральных разностей..518
§ 8. Интерполяционные формулы Гаусса.519
§ 9. Интерполяционная формула Стирлинга..521
§ 10. Интерполяционная формула Бесселя521
§ 11. Общая характеристика интерполяционных формул с постоянным шагом.524
§ 12. Интерполяционная формула Лагранжа..527
§ 13*. Вычисление лагранжевых коэффициентов.531
§ 14. Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа 535
§ 15. Оценки погрешностей интерполяционных формул Ньютона 537
§ 16. Оценки погрешностей центральных интерполяционных формул 539
§ 17. О наилучшем выборе узлов интерполирования..540
§ 18. Разделенные разности .542
§ 19. Интерполяционная формула Ньютона для неравноотстоящих значений аргумента 544
§ 20. Обратное интерполирование для случая равноотстоящих узлов 547

§ 21. Обратное интерполирование для случая неравноотстоящих узлов.550
§ 22. Нахождение корней уравнения методом обратного интерполирования .551
§ 23. Метод интерполяции для развертывания векового определителя .553
§ 24*. Интерполирование функций двух переменных..555
§ 25*. Двойные разности высших порядков557
§ 26*. Интерполяционная формула Ньютона для функции двух переменных .558
Литература к четырнадцатой главе..561

Глава XV. Приближенное дифференцирование..562
§ 1. Постановка вопроса . 562
§ 2. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона 563
§ 3. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на формуле Стирлинга 567
§ 4. Формулы численного дифференцирования для равноотстоящих точек, выраженные через значения функции в этих точках. . 571
§ 5. Графическое дифференцирование574
§ 6*. Понятие о приближенном вычислении частных производных 575

Литература к пятнадцатой главе576

Глава XVI. Приближенное интегрирование функций .577
§ 1. Общие замечания.577
§ 2. Квадратурные формулы Ньютона — Котеса.580
§ 3. Формула трапеций и ее остаточный член.582
§ 4. Формула Симпсона и ее остаточный член .583
§ 5. Формулы Ньютона — Котеса высших порядков..586
§ 6. Общая формула трапеций (правило трапеций)..588
§ 7. Общая формула Симпсона (параболическая формула) . 589
§ 8. Понятие о квадратурной формуле Чебышева593
§ 9. Квадратурная формула Гаусса.597
§ 10. Некоторые замечания о точности квадратурных формул. . . 604
§ 11*. Экстраполяция по Ричардсону 607
§ 12*. Числа Бернулли.611
§ 13*. Формула Эйлера—Маклорена613
§ 14. Приближенное вычисление несобственных интегралов . 618
§ 15. Метод Л. В. Канторовича выделения особенностей..621
§ 16. Графическое интегрирование..624
§ 17*. Понятие о кубатурных формулах..627
§ 18*. Кубатурная формула типа Симпсона629
Литература к шестнадцатой главе633

Глава XVII. Метод Монте-Карло..634
§ 1. Идея метода Монте-Карло634
§ 2. Случайные числа.635
§ 3. Способы получения случайных чисел638
§ 4. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло . 641
§ 5*. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Монте-Карло.650
Литература к семнадцатой главе.. ..658