ОГЛАВЛЕНИЕ

От переводчика 5
Предисловие 6

Глава I. Поле действительных чисел 9

Введение 9
1. Бесконечные десятичные дроби 10
2. Лексикографический порядок на 25 ..... 12
3. Действительные числа. Десятичные приближения 15
4. Сложение действительных чисел. Групповая структура 19
5. Архимедовы группы . ....... ... 22
6. Аксиоматическая характеризация К как группы 28
7. Автоморфизмы группы (К,+). Структура поля. Гомоморфизмы ([$,+) в себя ....... 31
8. Упорядоченные поля. Характеризация I? как поля 36

Глава II. Структура векторного пространства над телом 41

1. Общее понятие тела 41
2. Векторные пространства над произвольным телом 45
3. Конечномерные векторные пространства . . 50
4. Линейные и полулинейные отображения . . 53
5. Линейные и полулинейные отображения в конечномерном случае 59
6. Линейные формы, гиперплоскости, дуальность 61
7. Дуальность в конечномерном случае .... 66
8. Изоморфизмы векторного пространства на его сопряженное (коммутативный случай, конечная размерность) 70
9. О бесконечномерных пространствах .... 72
10. Некоторые приложения аксиомы Цорна ... 77

Глава III. Структура аффинного пространства над телом 81

1. Введение 81
2. Аффинные пространства .84
3. Аффинные подпространства (линейные аффинные многообразия) 86
4. Барицентры; приложения к изучению аффинных подпространств 92
5. Аффинные и полуаффинные отображения . . 97
6. Каноническое погружение аффинного про¬странства в векторное. Приложения . . . 105
7. Приложения теоремы о погружении .... 108
8. Геометрическая характеризация инъективных полуаффинных отображений 113
9. Основная теорема аффинной геометрии . . .116

Глава IV. Элементы проективной геометрии 121

1. Введение 121
2. Понятие проективного пространства . . . .123
3. Проективные морфизмы. Томографии . . . 126
4. Проективное пополнение аффинного пространства 133
5. Принцип двойственности 139
6. Проективные прямые. Гармонические отношения 141
7. Гаомонические четверки прямых на плоско сти 147
8. Томографии проективной прямой. Двойное отношение 150
9. Проективная плоскость. Теоремы Чевы и Менелая 154
10. Теорема Дезарга 157
11. Теорема Паппа и коммутативность тела . . 161
12. Основная теорема проективной геометрии 164

Глава V. Аксиоматическое построение аффинной и проективной геометрий 171

1. Основные аксиомы плоской геометрии . . . 171
2. Дилатации плоскости аффинного типа . . . 175
3. Плоскости трансляций 179
4. Векторное исчисление в плоскости трансляций 183
5. Малая теорема Фалеса в плоскости трансляций 186
6. Дезаргова плоскость 190
7. Построение тела, ассоциированного с дезарговой плоскостью 194
8. Плоскость Паппа — Паскаля . 200
9. Упорядоченные плоскости, архимедовы плоскости 202
10. Аффинная структура архимедовой плоскости 207
11. Проективные пространства произвольной размерности: истолкование аксиомы Дезарга с помощью вложения 211
12. Проективная структура пространства .... 216

Глава VI. Метрическая геометрия (евклидова и неевклидова) 220

1. Введение 220
2. Аксиомы метрической плоскости ..... 223
3. Общие свойства метрической плоскости . . 226
4. Осевые симметрии. Перпендикулярные прямые 230
5. Вращения 233
6. Углы  237
7. Сложение и измерение углов 242

8. Неравенства в треугольнике. Приложения . . 247
9. Перпендикуляры и наклонные. Проблемы пересечения  250
10. Четырехугольник Саккери. Дрдложения . 250
11. Различные формы аксиомы Евклида . 261
12. Гиперболическая плоскость (модель Пуанкаре) 265

Упражнения 271

Литература 302

Предметный указатель 305