Перевод с английского
Ф. А. КАБАКОВА и Б. А. КУШНЕРА
*
От вътрешната страна на обложката:
В последние годы в связи с ростом интереса к эффективной математике большое внимание привлекают метаматематические, теоретико-модельные и семантические аспекты интуиционизма. Предлагаемая книга, написанная выдающимся американским математиком и логиком С. К. Клини в сотрудничестве с Р. Ю. Весли, будет способствовать знакомству советского читателя с этим кругом вопросов. В книге детально излагается принадлежащая Клини формализация интуиционистского анализа и рассматриваются интерпретации этого формализма средствами теории рекурсивных функций. На этой основе устанавливается ряд интересных метаматематических результатов.Одна из глав посвящена изложению средствами развиваемой в книге формальной системы брауэровской теории континуума.
Книга несомненно представит интерес как для специалистов в области математической логики и оснований математики, так и для более широкого круга читателей, интересующихся вопросами построения «эффективной» математики.
Серия «Математическая логика и основания математики» состоит из публикаций, посвященных вопросам теории математического доказательства, теории алгоритмов, логическим исчислениям (классическим и конструктивным), истории математической логики и оснований математики, а также приложениям математической логики к вопросам автоматики и лингвистики. В серию входят монографии, обзорные работы и сборники статей на определенную тему, принадлежащие перу как отечественных, так и зарубежных ученых. Эти работы носят различный характер: некоторые из них рассчитаны на широкий круг научных работников, преподавателей и студентов, между тем как другие имеют в виду более узкие круги специалистов различных профилей.
*
ОГЛАВЛЕНИЕ
От переводчиков 7
Предисловие 9
Глава I
Формальная система интуиционистского анализа. С. К. Клини 11
§ 1. Введение (в монографию)! 11
§ 2. Статус формальной системы 15
§ 3. Правила образования 19
§ 4. Постулаты исчисления предикатов, арифметики и касающиеся функций (постулаты групп А — С) . . 24
§ 5. Постулаты для некоторых примитивно рекурсивных функций и их следствия (постулаты группы Б) 32
§ 6. Постулаты для потоков (бар-теорема) 65
§ 7. Постулаты, касающиеся сопоставления функций последовательностям выбора (принцип Брауэра) 100
Глава II
Различные понятия реализуемости. С. К. Клини 127
§ 8. Определение реализуемости 127
§ 9. Реализуемость и выводимость в интуиционистской формальной системе 147
§ 10. Специальная реализуемость 166
§ 11. Специальная реализуемость и выводимость в интуиционистской формальной системе 176
Глава III
Интуиционистский континуум. Р. Ю. Весли 184
§ 12. Введение 184
§ 13. Действительные числовые генераторы и действительные числа 185
§ 14. Представление потоком; основные свойства континуума 188
§ 15. Теорема о равномерной непрерывности 208
§ 16. Структура континуума 215
Глава IV
О порядке на континууме. С. К. Клини 239
§ 17. Введение и предварительные замечания 239
§ 18. Опровержение или доказательство независимости некоторых классических свойств порядка .... 245
Библиография. С. К. Клини 254
Указатель имен 267
Предметный указатель 268
Указатель обозначений 270
*
ОТ ПЕРЕВОДЧИКОВ
В последние годы заметно повысился интерес к изучению конструктивности в математике. В исследовании этого круга вопросов можно выделить две основные тенденции. Одна из них, развитая Брауэром и его последователями, известна под названием «интуиционизм», другая тенденция, разделяемая многими математиками самой различной философской ориентации, связывает интуитивную эффективность с точными концепциями алгорифмов. Последняя тенденция весьма подробно освещена в советской монографической литературе. С другой стороны, хотя ряд интуиционистских результатов и в особенности интуиционистская критика классической математики стали широко известны, многие более глубокие идеи Брауэра, в частности его теория последовательностей выбора (свободно становящихся последовательностей в другой терминологии), в течение длительного времени оставались малопонятными для большинства математиков. Большая роль в весьма нелегком осмысливании и кристаллизации этих идей и в прояснении сходства и различий двух упомянутых только что конструктивных тенденций принадлежит выдающемуся американскому математику и логику С. К. Клини. В частности, Клини создал практически первую жизнеспособную формальную систему интуиционистского анализа г). Предлагаемая монография, написанная С. К- Клини в сотрудничестве с Р. Ю. Весли, суммирует многолетние исследования старшего из авторов (С. К- Клини), посвященные основаниям и интерпретациям интуиционистской математики. В книге строится и изучается формализм, который можно рассматривать как расширение формальной интуиционистской арифметики, развитой в известной монографии Клини «Введение в метаматематику», и который позволяет изложить широкие разделы интуиционистского анализа, включая теорию последовательностей выбора и брауэровскую теорию континуума. Не заменяя живую интуиционистскую математику (и не претендуя на такую замену), формализация позволяет четко фиксировать сравнительно небольшое число исходных принципиальных концепций и тем самым дает возможность быстро войти в круг рассматриваемых вопросов математикам, не ориентирующимся в философии интуиционизма. Выбор тех или иных формальных аксиом, как правило, сопровождается в книге обсуждением приводящих к этим аксиомам содержательных соображений,— в частности, весьма обстоятельному обсуждению подвергнуты такие традиционно трудные аспекты интуиционисткой математики, как бар-теорема и принцип непрерывности Брауэра.
Другой стороной метода формализации является возможность получения метаматематических результатов об интуиционистских формальных системах, а также применения к ним теоретико-модельных (семантических) конструкций. Из четырех глав книги две специально посвящены рассмотрениям этого типа. Здесь, в частности, излагаются новые версии интерпретаций интуиционистских систем в терминах рекурсивной реализуемости, с помощью которых устанавливается ряд теорем о невыводимости (в том числе доказывается независимость принципа Маркова относительно формальной системы интуиционистского анализа).
Монография написана лаконично и точно с присущим С. К- Клини мастерством, знакомым советскому читателю по переводам его книг «Введение в метаматематику» и «Математическая логика». Она может служить хорошим введением в область математики, привлекающую в последние годы большое число исследователей.
Ф. А. Кабаков, Б. А. Кушнер
--------
*) Наряду с формализацией Клини в литературе получили распространение формальные системы интуиционистского анализа Крайзела и Трулстра 1970, а также Майхилла 1968, 1970, 1975 (см. примечание на стр. 11).
