Книга американского ученого посвящена детальному изуче­нию основных понятий математической логики на современном этапе. Она содержит общую теорию формальных систем и исчис­лений. После детального обсуждения общеметодологических вопросов автор последовательно описывает исчисления, содер­жащие импликацию, отрицание и кванторы. Последняя глава знакомит читателя с некоторыми вопросами теории модаль­ностей. Последовательный конструктивный подход характерен для всех доказательств и определений.

Книга рассчитана на студентов, аспирантов и научных ра­ботников, специализирующихся в области математической логики, но она, безусловно, доступна всем, кто интересуется фундаментальными проблемами этого раздела математики.

ПРЕДИСЛОВИЕ

В течение нескольких лет я читал общий курс логики для студентов старших курсов в Университете штата Пенсильва­ния. Вначале я мыслил его себе как вводный курс, предназначен­ный для лиц, которые, будучи хорошо подготовленными мате­матически, недостаточно искушены в логике. Вскоре, однако, выяснилось, что такой курс еще более подходил бы для студентов, предварительно прослушавших сравнительно элементарный курс. Изложению такого элементарного курса и посвящена эта книга.

Я не хочу сказать этим, что моя книга предназначена для начинающих или для людей, не обладающих подготовкой, которая считается нормальной для студентов старших курсов. Но те, кому не нужно объяснять самые элементарные сведения о логиче­ской символике и кому не нужна усиленная тренировка в переводе понятий обычного языка на язык этой символики и обратно, могут изучать эту книгу, не обращаясь к другим источникам. Цель книги — дать обстоятельное изложение той части математической логики, которая поистине фундаментальна, не в теоретическом или философском смысле, но с точки зрения изучающего эту науку, той части, которой нужно как следует овладеть не только будущим специалистам-логикам, но и всем математикам, философам и уче­ным, кому так или иначе приходится иметь дело с логикой по роду своей работы.

Часть математической логики, выбранная для рассмотрения, может быть охарактеризована как конструктивная теория исчис­ления предикатов первой ступени. То, что это исчисление зани­мает центральное место в современной математической логике, неоспоримо. И именно конструктивные аспекты этого исчисления особенно важны для его более глубокого изучения. Более того, становится все очевиднее, что математики должны ясно сознавать разницу между конструктивным и неконструктивным, и вряд ли есть лучший путь помочь им в этом, чем дать отдельную трактовку конструктивного. Сказанное и побудило меня пред­принять последовательное изложение этой фундаментальной области.

Характер изложения значительно отличается от обычного, в особенности от принятого в учебниках для начинающих. Тради­ционный подход к логическому исчислению состоит в рассмотре­нии его как некоторой формальной системы, причем единственной его особенностью по сравнению с другими формальными систе­мами является то, что это исчисление должно быть формализовано более строго, так как мы не можем считать "логику" данной, и то, что можно интерпретировать логическое исчисление в терми­нах высказываний обычной речи. Мы же придерживаемся точки зрения, согласно которой наши системы можно интерпретировать посредством некоей более ограниченной совокупности высказыва­ний, образующихся при оперировании с некоторой другой (не фиксированной) формальной системой. Происхождение этой точки зрения, поскольку я ее касаюсь, изложено в разделе 581. Эту точку зрения я разделяю с Лоренценом, который пришел к той же позиции независимо и на основе совершенно иной философии. Так как при изучении какой-либо формальной системы мы можем формулировать высказывания, истинность или ложность которых не может быть установлена средствами самой этой системы, избранный нами путь приводит к ситуациям, возникающим в тра­диционных теориях разве лишь в порядке исключения. При нашем способе изложения приходится параллельно иметь дело с мно­гими различными системами логического исчисления; например, для определения отрицания открываются различные возмож­ности.

С нашей точки зрения собственно логическое исследование есть составная часть общей методологии формальных систем и должно начинаться с изучения самих формальных систем. Поэтому после носящей вводный характер гл. 1 мы посвятим сле­дующие две главы специально рассмотрению формальных методов как таковых. Эти вопросы пришлось излагать с особенной тщатель­ностью, так как даже специалисты обнаруживают иногда недо­статочное их понимание. В этой же главе кратко излагается теория нормальных алгорифмов Маркова. Далее идет довольно легкая гл. 4, рассказывающая о структурах и аналогичных алгебраических системах.

Изложение предмета книги как такового начинается с гл. 5. Общий метод исследования состоит в том, чтобы получить форму­лировку, выражающую смысл, который мы хотим придать логи­ческим связкам, и затем вывести свойства, которые следуют из мотивированных таким образом предположений. Связки вводятся не все сразу; положительные связки — импликация, конъюнкция и дизъюнкция — вводятся в гл. 5, отрицание — в гл. 6, кван­торы — в гл. 7, модальные операции — в гл. 8. Наиболее полное и подробное изложение — в гл. 5; дело здесь не только в том, что рассматриваемая в ней основная связка — импликация (конъюнкция и дизъюнкция относительно тривиальны, и их свой­ства выявляются, так сказать, по ходу дела) — является в неко­тором смысле центральной связкой логики, но и потому, что в этой главе устанавливаются общие принципы исследования; в после­дующих главах мы просто распространяем на новые операции результаты, уже полученные для ранее рассмотренных. В то же время мы ограничиваемся весьма краткой трактовкой модально­стей; причины мы объясним во введении к гл. 8.

Избранный нами подход исходит в первую очередь из семанти­ческих соображений; в каждой новой главе рассматриваются некоторые новые аспекты. У такого расположения материала есть одна невыгодная сторона: когда доказательства теорем при­ходится распространять на случаи, которые не рассматривались при первоначальном доказательстве, легко упустить некоторые важные детали, считая, что доказательство проходит без измене­ний и для более общего случая. Случаи таких ошибок привести легко. Это — цена, которую приходится платить за выгоды семантического подхода. Но этот путь типичен для развития математики; мы постоянно распространяем результаты (часто с соответствующими модификациями) на ситуации, подобные, но не в точности совпадающие с теми, которые встречались перво­начально.

В последних четырех главах широко используются методы Генцена. Они играют важную роль в раскрытии того факта, что доказательство может быть представлено в некоторой стандартной форме, из чего в дальнейшем получаются важные необходимые условия для выводимости. Эти соображения важны, но они не исчерпывают возможностей рассматриваемого метода. Когда чита­тель проследит изложение на протяжении всей книги, ему станет ясно, что генценовские правила имеют естественную интерпрета­цию непосредственно в терминах той семантической ситуации, которую мы пытаемся формализовать. Правила Генцена стано­вятся, таким образом, инструментом семантического анализа. Основная теорема Генцена важна и в другом отношении: она показывает, что формулировка, полученная из рассмотрения семантической ситуации, соответствует этой ситуации. Иными словами, несправедливость теоремы Генцена свидетельствовала бы о том, что не были адекватно учтены некоторые свойства операций. Поэтому формулировки, для которых эта теорема несправедлива, должны рассматриваться с подозрением. Факты, рождающие это убеждение, не лежат на поверхности и не являют­ся очевидными с самого начала, но оно крепнет по мере изучения предмета.

Так как эта книга предназначена для студентов, специализи­рующихся в логике, у нее есть некоторые черты, которые были бы неуместны в элементарном учебнике. Прежде всего — книга подробно документирована. Предполагается, что студенты будут приобретать опыт в исследованиях, для этого им нужно будет привыкнуть к обращению с литературой по своему предмету и время от времени использовать ее в поисках дополнительной информации. Поэтому я даю многочисленные ссылки, посвя­щенные вспомогательным вопросам. Я без колебаний включал материалы на иностранных языках, хотя некоторые из них мала известны аспирантам, говорящим по-английски. Даже если изу­чающий не может прочитать соответствующий материал или если по некоторой другой причине этот материал ему недоступен, он хотя бы узнает, что именно он пропускает.

Каждая из восьми глав книги разбита на разделы, от трех до пяти в каждой главе, обозначенные буквами от А до Е; кроме того, в каждой главе имеется дополнительный раздел 8. Как сви­детельствует его название, последний раздел довольно неформаль­но трактует некоторые вопросы, которые различным образом дополняют основной текст. Здесь содержится исторический и биб­лиографический комментарий и другие вспомогательные ссылки на литературу, обсуждение аспектов предмета, которые слишком специальны или, быть может, противоречивы, для того чтобы вклю­чать их в основной текст, и т. п. По поводу этого материала нужно иметь в виду два замечания. Первое — этот материал требует от читателя большей подготовки, чем та, которая предполагается для основного текста. Второе — этот материал скорее предназна­чен для постановки вопросов, нежели для сообщения определен­ной точки зрения. Последнее особенно относится к историче­ским комментариям: я старался полностью отразить материал, ко­торый я использовал при подготовке основного текста, но сверх того дал лишь ту информацию, которой фактически распо­лагал.

В конце большинства разделов читатель найдет список упраж­нений. Они значительно отличаются друг от друга по степени трудности, но в целом здесь сравнительно мало практического материала того сорта, который обычно встречается в учебниках. Задачи, решение которых мне неизвестно, отмечены звездочкой; однако из этого не следует, что именно они являются самыми трудными. Для удобства читателей, которые могут использовать эту книгу для самоусовершенствования, даны ссылки на те места в литературе — иногда даже на более дальние места этой же кни­ги,— где можно найти информацию, относящуюся к проблеме, а может быть, и решение; однако решения, найденные в указан­ных местах, часто могут быть улучшены.

Мне приятно выразить благодарность моему секретарю Веро­нике П. Зерби, оказавшей мне значительную помощь при подготовке рукописи, моим ассистентам Джозайе Б. Элфорду, Франклину С. Бреннеману и Фредерику К. Зерби за большую и кропотливую работу, проделанную, в частности, при подго­товке библиографии. За финансовую поддержку, которая сделала возможной эту работу, я благодарен Национальному научному фонду США. Были учтены некоторые замечания студентов Уильяма Крэвена и Германа Дж. Бистерфельдта. Иллюстрации взяты из моей книги "Ьедопз Ае 1о^1цие а1§ёЬпцие" и использованы с разрешения издательства Готье-Виллар. На заключительных этапах подготовки я получил значительную помощь от моего коллеги — профессора Уго Рибейро и моего ученика Луиса Э. Санчеса.

Хаскелл Б. Карри