Основи на теорията на вероятностите и математическата статистика с приложение в техниката и икономиката

Статистическите методи и методите на теорията на вероятностите намират все по-широко и понякога неочаквано приложение почти във всички области на науката и техниката. Познанията в тази област са от най-голяма полза за всеки инженер в каквато и област да работи.

Авторът, видният наш учен академик Владимир К. Христов, се е постарал в една малка книга да даде основни понятия по предмета с оглед главно на практическите приложения.

Книгата съдържа освен теоретична част още и многобройни примери за практически приложения. Тя е предназначена за инженери, военни, икономисти, студенти по математика и инженерните специалности.

**

СЪДЪРЖАНИЕ

Предговор 5

Теоретична част 7

1 Понятия от теория на вероятностите 7

1. 1.1 Случайни явления 7
1.1.2 Случайни събития 9
1.1.3 Вероятност 16
1.4 Формули за вероятностите 23
1.5 Повтаряне на опити 26
1.6 Вериги на А. А. Марков 30

2 Случайни величини 33

2.1 Случайни величини и функции на разпределение 33
2.2 Случайна величина като функция от случайни величини 43
2.3 Случайна величина като сума, разлика, произведение и частно от две случайни величини 46
2.4 Средни стойности и моменти при едномерни случайни величини ... 50
2.5 Смесени моменти при двумерни случайни величини 57
2.6 Средни стойности и дисперсии при линеаризирана функция на случайни величини 61
2.7 Характеристична функция на случайна величина 65

3 Помощни средства от математиката 70

3.1 Интеграл на Ойлер—Поасон 70
3.2 Ойлерова бета-функция, Ойлерова гама-функция, Гаусова пи-функция и Стърлингова формула 72
3.3 Интеграл на Стилтес 77
3.4 Ортогонални трансформации 80

4 Разпределения на случайни величини 85

4.1 Биномиално разпределение и отрицателно биномиално разпределение. 85
4.2 Разпределение на Пойа и хипергеометрично разпределение 88
4.3 Разпределение на Поасон 91
4.4 Линейни непрекъснати разпределения 93
4.5 Нормално разпределение при едномерна случайна величина 96
4.6 Бета-разпределение, гама-разпределение и експоненциално разпределение 99
4.7 Хи-квадрат разпределение и други свързани с него разпределения. 102
4.8 Разпределение на Стюдент 108
4.9 Разпределение на Коши и разпределение на Лаплас 111
4.10 Разпределение на Фишер 112
4.11 Разпределения на Карл Пирсън 114
4.12 Нормално разпределение на двумерна случайна величина 116

5 Гранични теореми 123

5.1 Закони на големите числа 123
5.2 Гранична теорема на Моавър—Лаплас 127
5.3 Централна гранична теорема на Ляпунов 130
5.4 Гаусов закон на грешките 134

6 Понятия от математическата статистика 138

6.1 Емпирично разпределение и емпирични моменти 138
6.2 Средни стойности и дисперсии на емпиричната средна стойност и на емпиричната дисперсия 142

7 Теория на оценките 146

7.1 Общо върху оценките 146
7.2 Състоятелна оценка 147
7.3 Неизместена оценка 148
7.4 Оценка с минимална дисперсия или най-добра оценка 149
7.5 Достатъчна оценка 150
7.6 Ефективна оценка 153
7.7 Съвместно достатъчни и съвместно ефективни оценки 155
7.8 Метод на максимално правдоподобие и оценки на максимално правдоподобие 156
7.9 Доверителни интервали и доверителни вероятности 158

8 Метод на най-малките квадрати 160

8.1 Измерени величини, наблюдателни грешки и търсени величини ... 160
8.2 Линеаризиране на уравнения и общ случай на изравнение 163
8.3 Обосновка на метода на най-малките квадрати по А. А Марков . 166
8.4 Неизместени оценки на дисперсиите на неизвестните 172
8.5 Доверителни интервали и доверителни вероятности за неизвестните и за стандардите 178
8.6 Техника на изравнението 187

9 Извеждане параметрите на една генерална съвкупност 190

9.1 Генерална съвкупност и случайни избирания 190
9.2 Хи-квадрат-критерий за проверка функцията на разпределение на една генерална съвкупност 190
9.3 Разпределение на изборното средно и на изборния стандарт при генерална съвкупност с нормално разпределение 192
9.4 Извеждане доверителни интервали на оценките на параметрите на една генерална съвкупност с нормално разпределение 196

10 Регресия и корелация при случайни величини 202

10.1 Теоретична регресия и теоретична, корелация при случайни величини 202
10.2 Емпирична регресия и емпирична корелация при случайни величини. 206

11 Понятия от дисперсионния анализ 209

11.1 Еднофакторен дисперсионен анализ 209
11.2 Двуфакторен дисперсионен анализ 212

12 Таблици и тяхната употреба 215

12.1 Нормирано нормално разпределение 215
12.2 Стюдентово разпределение 216
12.3 Хи-квадрат-разпределение 217
12.4 Оценки на неизвестни величини и на стандарди 217

13 Таблици 219

13.1 Таблици за нормирано нормално разпределение 219
13.2 Таблица за Стюдентово разпределение 220
13.3 Таблица за хи-квадрат-разпределение  224
13.4 Специални таблици 226


Практическа част 227

Към 1.2 Случайни събития 227
Към 1.3 Вероятност 228
Към 1.4 Формули за вероятностите 231
Към 2.1 Случайни величини и функции на разпределение 234
Към 2.4 Средни стойности и моменти при едномерни случайни величини 236
Към 2.5 Смесени моменти при двумерни случайни величини 237
Към 2.6 Средни стойности и дисперсии при линеаризирана функция на случайни величини 239
Към 4.1 Биномиално разпределение 240
Към 4.3 Разпределение на Поасон 240
Към 4.5 Нормално разпределение при едномерна случайна величина  241
Към 5.2 Гранична теорема на Моавър—Лаплас 242
Към 5.3 Централна гранична теорема на Ляпунов. 243
Към 6.1 Емпирично разпределение и емпирични моменти 244
Към 8.6 Техника на изравнението по метода на най-малките квадрати, . 247
Към 9.2 Хи-квадрат-критерий за проверка функцията на разпределение на една генерална съвкупност 252
Към 9.4 Извеждане доверителни интервали на оценките на параметрите на една генерална съвкупност с нормално разпределение 254
Към 10.2 Емпирична регресия и емпирична корелация при случайни величини 256
Към 11.1 Еднофакторен дисперсионен анализ 260

***

ПРЕДГОВОР

След като във VEB Verlag für Bauwesen, Berlin, 1961 беше издадена моята книга Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrech­nung, mathematischen Statistik und Methode der kleinsten Quadrate (Основи на теорията на вероятностите, мате­матическата статистика и метод на най-малките квад­рати), пристъпих към съставяне на едно българско издание. Това българско издание е почти основно преработеното немско издание, като за сметка на най-малките квадрати се разшири математическата статистика и,— това е особено за отбелязване, се прибави един практичен дял с приложе­ние върху техниката и икономиката.

Книгата по своята същност стои между популярните, практическите изложения и модерните, вдълбочените изло­жения на математическата статистика. Счита се, че тъкмо по този начин се запълва една празнина в българ­ската специална литература.

Математическата статистика все повече и повече на­влиза в техниката и икономиката, което в книгата се под­чертава със специална практическа част с числени примери, илюстриращи нейното приложение именно в техниката и икономиката. Този дял е съставен от ст. н. сътр. мат. инлс. Иван Б. Иванов.

Нека да се пожелае методите на математическата статистика да намерят по-широко разпространение и при­ложение  между техниците и икономистите.

София, август 1963                                                                                                                   Вл. К. Христов