ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая книга имеет своею целью изложить основы алгебраической теории полугрупп. Полугруппа (иначе — ассо­циативная система) есть множество, рассматриваемое относи­тельно определенного в нем бинарного ассоциативного дей­ствия. Понятие полугруппы столь просто и естественно, что трудно говорить, когда оно впервые появилось. Как указы­вает Клейн^[1], еще в период, когда теория групп формиро­валась в качестве особой математической дисциплины, были сомнения, не следует ли в качестве основного исходного понятия взять то, что теперь мы называем полугруппой. Однако задачи, стоящие перед математикой на том этапе ее развития, привели к необходимости остановиться на более узком понятии — группы.

Одной из важнейших причин той большой роли, которую играла теория групп в последующем развитии математики, было то, что по своему существу алгебраическая теория групп явилась абстрактным учением об обратимых преобразованиях. Необходимость рассмотрения таких преобразований встре­чается в столь разнообразных областях математики, что с понятием и свойствами групп сталкиваются в очень многих математических (и не только математических) дисциплинах.

Однако как бы ни было важно и плодотворно общее понятие обратимого преобразования, по мере развития мате­матических теорий ясно выявилась необходимость рассмо­трения наравне с ним и общего понятия преобразования — не обязательно обратимого. Для создания соответствую­щей общей алгебраической теории понадобилось оформить соответствующее понятие, каковым и явилось понятие полу­группы. Основная роль алгебраической теории полугрупп в математике, по-видимому, и состоит в том, что эта теория является абстрактным учением об общих преобразованиях.

Для того чтобы сформироваться в особую математическую дисциплину, естественность и важность исходного понятия еще недостаточны. Опыт той же теории групп показал, что успех ее развития, при условии важности исходных идей, объясняется тем, что удачность аксиоматики позволила на ее базе построить весьма глубокую и сложную теорию. В этом отношении более бедная аксиоматика теории полугрупп на первых порах ее развития вызывала естественное сомнение: сможет ли она послужить фундаментом для достаточно обширного здания самостоятельной теории. В настоящее время эти сомнения уже отошли в прошлое.

После первых, сперва разрозненных, исследований о полугруппах, выполненных в 20-х и 30-х годах нашего столетия, за последние полтора десятка лет появилась не одна сотня различных работ по теории полугрупп, которые полностью доказали возможность достаточно развитой и глу­бокой самостоятельной теории.

Изложение основных результатов этих работ в виде связной систематической теории и является задачей настоящей книги. Разумеется, нет необходимости (да и возможности) излагать все полученные к настоящему времени результаты. Но основные направления современной абстрактной алгебраической теории полугрупп представлены здесь достаточно полно. Что касается конкретных полугрупп, встречающихся в самых разнообраз­ных областях математики (в частности, всюду, где встре­чается необходимость рассмотрения тех или иных преобра­зований), то полный обзор их совершенно невозможен ввиду необозримости материала. В этом и нет нужды поскольку математик, вооруженный общей теорией полугрупп, сам уже сможет применить эту теорию в том или ином конкретном вопросе.

Настоящая книга должна по своей идее предоставить такую возможность математикам, работающим в различных областях чистой и прикладной математики. Учитывая это, материал изложен достаточно полно и подробно.

Изложенная теория не опирается на какие-либо- иные, недостаточно широко известные теории (те немногочисленные места, где встречаются объекты таких теорий, могут быть при чтении опущены). Широко используются лишь про­стейшие общеизвестные понятия и свойства из теории мно­жеств.

В связи с этим сразу же отметим, что, как и обычно в теории множеств, мы, задавая множество указанием его элементов, заключаем их все в фигурные скобки, в отличие от широко распространенного в теории групп обычая упо­треблять фигурные скобки в ином специальном значении. Мы не будем делать различия между отдельным элементом А некоторого множества и подмножеством этого множества, состоящим из одного элемента {А}.

Говоря об объединении множеств, в котором никакие две компоненты не имеют общих элементов, мы будем называть его объединением без пересечений, или непересекающимся объединением. Пустое множество будет обозначаться через 0. Иногда мы будем употреблять понятие пустого символа. То, что X есть пустой символ, означает, что при чтении всякой формулы, в которой встречается X, его следует мысленно просто выбросить из формулы.

В продолжение всего изложения мы постоянно будем встречаться с парами формулировок, симметричных относи­тельно „лево" и „право" (делится слева — делится справа, левый идеал — правый идеал и т. п.). В таких случаях боль­шей частью мы будем ограничиваться лишь одной из двух таких формулировок, считая само собою очевидными смысл и соображения о справедливости симметричной для нее фор­мулировки.

Текст книги разбит на отдельные пункты, занумерованные по десятичному принципу. Например, ссылка на 11,4.11 отсылает читателя ко второй главе, четвертому параграфу, одиннадцатому пункту этого параграфа. При ссылке в пре­делах одной и той же главы номер главы не указывается.

Литература по абстрактной теории полугрупп, достаточно полная, приведена в конце книги. Конечно, она не охваты­вает работ, посвященных полностью или частично рассмо­трению тех или иных конкретных полугрупп. Как было уже упомянуто, множество таковых необозримо. В общий список литературы включены также и некоторые работы по топо­логическим полугруппам, хотя теория топологических полу­групп, уже отчетливо консолидирующаяся в особое направление топологической алгебры, в самой книге не затронута. Ссылки на различные иные работы, не вошедшие в общую библиографию теории полугрупп, делаются в подстрочных примечаниях.

С признательностью отмечаю, что при окончательной обработке рукописи я неоднократно использовал ценные советы и указания, сделанные мне Л. М. Глускиным.

Ленинград, 1958 г.

Е. Ляпан

-----

[1]Ф. Клейн. Лекции о развитии математики в XIX столетии, ч. 1, гл. VIII, Гостехиздат, 1937.