Допущено Министерством вывшего образования СССР в качестве учебного пособия для втузов

*

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемое издание книги „Приближенные вычисления" имеет своей целью научить производить численные расчеты с соблюдением максимальной экономии времени и средств без ущерба для разумной точности этих расчетов.
Из множества существующих методов решения той или иной задачи мы указываем методы, практически наиболее удобные.

Настоящее издание дополнено главой VI, в которой изложены правила действий с рядами: перестановка членов ряда, сложение и вычитание, умножение и деление рядов и обращение степенных рядов.
Желая сделать книгу доступной возможно большему кругу читателей, мы при изложении того или иного вопроса старались ограничиться минимумом требуемых сведений.
Книга снабжена примерами, иллюстрирующими методы и приемы вычислений. В конце глав помещены упражнения, не претендующие, однако, на полноту.

Впервые книга „Приближенные вычисления" вышла в 1925 г. Написана она была совместно с Александром Александровичем Фридманом, профессором ряда высших учебных и научных учреждений Ленинграда.
План расширения вышедшей небольшой книги (132 стр.) обсуждался нами еще совместно. Но в том же 1925 г. 15 сентября А. А. Фридман скончался. План расширения 1 ниги пришлось выполнить мне одному.

Проф. Я. С. Безикович

*

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава I. Основные понятия теории погрешностей
1. Приближенные вычисления . 9
2. Абсолютная и предельная абсолютная погрешности 11
3. Относительная н предельная относительная погрешности 15
4. Число верных знаков 19
5. Размер погрешностей. Основные задачи при вычислениях 29

Глава II. Погрешности простейших арифметических действий
6. Предельная абсолютная и относительная погрешность суммы 35
7. Вычитание 38
8. Предельная относительная погрешность произведения и частного 40
9. Погрешность степени и корня 46
10. Предельная абсолютная и относительная погрешности функции 54
11. Погрешности логарифмических вычислений   60
12. Среднее арифметическое 65
13. Уточнение при определении погрешности 72
14. Понятие о весе наблюдения 75
15. Погрешность среднего весового 79

Глава III. Выполнение простейших арифметических действий
16. Вспомогательные средства 82
17. Сложение. Слагательные машины 83
18. Сокращенное умножение 85
19. Доказательство правил сокращенного умножения . 89
20. Сокращенное деление 91
21. Таблицы 93
22. Арифмометр 95

Глава IV. Логарифмическая линейка
23. Принцип конструкции. Описание 99
24. Деления на линейке 102
25. Шкалы на обратной стороне движка 103
26. Умножение Ш6
27. Деление ПО
28. Возвышение во 2-ю степень и извлечение квадратного корня 113
29. Возвышение в 3-ю степень и извлечение кубичного корня 115
30. Дополнительные штрихи 120
31. Различные линейки  122
32. Решение уравнений 123

Глава V. Интерполирование
33. Задачи интерполирования 131
34. Разности различных порядков 132
35. Разности целого многочлена и иных функций 135
36. Выражение разностей различного порядка через
37. Интерполяционная формула Ньютона
38. Вычисление производных через разности 
39. РаДез ргорог11опа1ез 
40. Разделенные разности 
41. Формула Ньютона для неравных промсжутков 152
42. Вычисление по формуле Ньютона 154
43. Формула Гаусса 155
44. Формула Стирлинга 157
45. Формула Бесселя 158
46. Интерполяционная формула Лагранжа 159
47. Определение погрешностей интерполяционных формул 161
48. Интерполирование по заданным значениям функции и ее производных 160

Глава VI. Действия с рядами
49. Ряды. Сходимость. Необходимый признак 172
50. Достаточные признаки сходимости 179
51. Перестановка членов ряда 187
52. Улучшение сходимости 188
53. Сложение и вычитание рядов 199
54. Умножение и деление рядов 201
55. Функциональные ряды 206
56. Степенные ряды 214

Глава VII. Приближенное решение уравнений
57. Отделение корней 219
58. Способ пропорциональных частей 234
59. Способ Ньютона 227
60. Уменьшение промежутка 233
61. Схема вычислений 235
62. Оценка погрешности 237
63. Метод итерации 239
64. Метод Лобачевского. Случай вещественных корней 245
65. Возможность упрощения вычислений 249
66. Предел преобразований 250
67. Случай комплексных корней 254
68. Обобщения 257
69. Кратные корни 262
70. Корни, близкие между собой по модулям 263
71. Решение систем линейных уравнений 265
72. Упрощение вычислений . 266
73. Преобразование уравнений 267
74. Решение систем уравнений высоких степеней . . 269

Глава VIII. Способ наименьших квадратов
75. Способ наименьших квадратов 273
76. Случай нелинейной зависимости 2/9
77. Составление и решение уравнений 281
78. Представление функции полиномом по способу наименьших квадратов 298

Глава IX. Численное механическое и графическое интегрирование
79. Формула трапеций 302
80. Формула средних прямоугольников 306
81. Формула Спмпсона 308
82. Выражение погрешности формулы трапеции   311
83. Выражение погрешности формулы Симпсона  313
84. Формула Ньютона—Котеса 316
85. Формула Чебышева 321
86. Формулы Гаусса и А. А. Маркова, 322
87. Предварительные преобразования интегралов   328
88. Выбор числа ординат 329
89. Интегрирование по разностям 330
90. Кратное интегрирование 333
91. Интегральная кривая 335
92. Полярный планиметр 340
93. Правила пользования планиметром 312
94. Теория полярного планиметра 343
95. Интегратор 346

Глава X. Гармонический анализ и приближение экспоненциальными полиномами
96. Ряд Фурье 355
97. Гармонический анализ 360
98. Влияние нечетных гармоник на основную 365
99. Комбинированное наложение третьей и пятой гармоник 370
100. Четные гармоники 373
101. Уравнения, определяющие коэффициенты 374
102. Схема вычислений при числе ординат, кратном четырем 380
103. Случай двенадцати ординат 384
104. Зависимость между суммарными и интегральными коэффициентами ряда Фурье 391
105. Случай двадцати четырех ординат 395
106. Некоторые особенные случаи ряда 401
107. Приближение экспоненциальными функциями . . 405
108. Пример 412

Глава XI. Численное интегрирование дифференциальных уравнений
109. Метод Эйлера 421
110. Метод последовательных приближений 422
111. Метод Рунге- 426
112. Разностной метод 434
113. Система дифференциальных уравнений первого порядка 441
114. Уравнения высших порядков 448
115. Модификация разностного метода для уравнений высших порядков 450
116. Наращивание числа знаков таблицы 456

Таблица математических постоянных 463