ПРЕДИСЛОВИЕ, которое автор советует прочесть особенно внимательно

Современное школьное математическое образование ориентировано главным образом на воспитание у уча­щихся функционального мышления, на умение обра­щаться с непрерывными математическими объектами. Намечающиеся изменения в школьных программах по математике идут в том же направлении. Вместе с тем в последнее время стали интенсивно разрабатываться новые области применения математики: составление программ для вычислительных машин, некоторые аспек­ты кибернетики и исследования операций, математиче­ская экономика, математическая лингвистика и т. д. Освоение этих областей науки наряду с совершенствова­нием классического аппарата требует развития комбина­торной техники, анализа дискретного и создания новых плодотворных абстракций. Перечисленные стороны ма­тематики должны освещаться и в научно-популярной литературе.

* 

С опушки леса в чащу ведет множество тропинок. Они извилисты, они сходятся, расходятся вновь и пере­секаются одна с другой. На прогулке можно только заметить обилие этих тропинок, походить по некоторым из них и проследить их направление в глубь леса. Для серьезного изучения леса нужно идти по тропинкам, пока они вообще различимы среди сухой хвои и кусти­ков черники, Для того чтобы использовать дары леса, приходится вовсе покидать хоженые тропки и проди­раться сквозь сплетения колючих сучьев.

Настоящую брошюру можно рассматривать как опи­сание одной из возможных прогулок по опушке совре­менной математики. Изложение основных фактов, отно­сящихся к признакам делимости, является в ней пово­дом затронуть некоторые довольно абстрактные вопросы дискретной математики. К числу таких вопросов отно­сятся, прежде всего, утверждения элементарной теории чисел, группирующиеся вокруг основной теоремы ариф­метики и анализа канонического разложения натураль­ного числа на простые множители. Далее, сама дели­мость чисел рассматривается как отношение на множе­стве целых чисел, т. е. как реализация довольно общего и абстрактного понятия. Наконец, признаки делимости трактуются здесь как алгорифмы, перерабатывающие каждое число в ответ, делится ли оно на данное число или не делится. Автор счел целесообразным среди при­знаков делимости особо выделить «признаки равнооста-точности», перерабатывающие числа в остатки при их делении на данное число.

Для того чтобы оттенить разнообразные взаимосвязи между отдельными математическими фактами и возмож­ности различных подходов к одному и тому же пред­мету, некоторые утверждения устанавливаются двумя различными путями.

* 

Книжка рассчитана на школьников старших классов, интересующихся математикой и (если не считать не­скольких упоминаний о формуле бинома) не предпола­гает никаких предварительных знаний, кроме умения производить несложные тождественные преобразования. Однако логическая структура материала довольно сложна, так что усвоение его во всех деталях может потребовать немало внимания и терпения.

Читателю можно порекомендовать следующий план изучения книжки.

При первом чтении можно ограничиться лишь основ­ным текстом §§ 1—3 и не решать задач (за исключением задач №№ 31, 33, 35, 41, 43, 45, 46). Это даст общее, описательное знакомство с предметом. Так как боль­шинство неискушенных в математике людей убеждены в изначальной справедливости теоремы об однозначном разложении натурального числа на простые множи­тели (считая, по-видимому, ее своего рода аксиомой), они могут понимать теоремы 9—13 как ее след­ствия.

При втором чтении нужно попытаться самостоятель­но доказать все теоремы в том порядке, в каком они приведены. Чтобы читатель не поддавался слишком ча­сто соблазну пользоваться готовыми доказательствами теорем, все эти доказательства отнесены в особый раз­дел. Исключение составляет доказательство теоремы 7, которое призвано служить камертоном, настраивающим читателя уже при первом чтении на должный уровень строгости.

При втором же чтении следует изучить § 4, а также решать задачи основного текста.

Наконец, при третьем чтении изучается мелкий шрифт и относящиеся к нему задачи.

Читателю, желающему углубить свои познания в об­ласти теории чисел, следует обратиться к классическому курсу акад. И. М. Виноградова «Основы теории чисел» («Наука», 1972).

Изучение абстрактной теории отношений на множе­стве и дальнейших связанных с этим вопросов можно рекомендовать по книге А. Г. К у р о ш а «Лекции по об­щей алгебре» («Наука», 1973) или Г. Биркгофа «Теория структур» (ИЛ, 1951).

Наконец, более подробное и систематическое разъ­яснение понятия алгорифма содержится в брошюре Б.  А.  Трахтеиброта   «Алгоритмы  и машинное решение задач» (Физматгиз, 1960), а строгое изложение теории алгорифмов можно найти в монографии одного из создателей этой теории, А. А. Маркова «Теория алгорифмов» (Труды матем. ин-та АН СССР им. Стек-лова, т. 42, 1954).

Второе издание отличается от первого лишь отдель­ными редакционными улучшениями. За некоторые из них автор благодарен проф. Греллю (ГДР).

Н. Н. Воробьев

---------