От вътрешната страна на обложката:
В этой книге рассматриваются пространства, лежащие в основе общей теории относительности, и их обобщения, получившие многочисленные приложения как в физике, так и в математике. Таким образом, в книге исследуются проблемы, которые должны представлять интерес и для физиков и для математиков. Многие из этих вопросов не получили освещения в имеющихся монографиях и учебниках.
*
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга посвящена изучению пространств, лежащих в основе общей теории относительности, и их обобщений для любого числа измерений.
Учитывая, что в литературе по релятивистской теории имеется ряд фундаментальных монографий, таких, например, как книга Л. Ландау и Е. Лифшица «Теория поля» и В. А. Фока «Теория пространства, времени и тяготения», автор, сознательно избегая повторений, ограничил себя кругом вопросов, которые не освещаются в этих исследованиях и которые должны представлять интерес как для физиков, так и для математиков. Этим же объясняется тот факт, что изложение дается с упором на математическую сторону вопроса, причем четырехмерным пространствам с сигнатурой типа Лоренца уделяется особое внимание.
В настоящее время имеется большая журнальная литература, в которой накопилось много новых результатов, неизвестных математикам и физикам, не занимающимся специально вопросами общей теории относительности. Часть этих результатов получила освещение в книге, те же вопросы, которые по тем или иным соображениям не могли быть изложены, отмечены в ссылках на библиографию (которую автор стремился сделать по возможности полной) и в ряде задач (некоторые из них требуют простого применения результатов, изложенных в книге, а другие заключают в себе значительное расширение теории).
Оставаясь в рамках общей теории относительности,, автор не рассматривает в этой книге различные варианты единой теории, сосредоточивая внимание читателя на проблемах, по-видимому, наиболее перспективных в настоящее время; такими являются, например, применение групп Ли к изучению полей гравитации, проблема Коши, методы инвариантного изучения пространств Эйнштейна и тому подобные.
Современное развитие теории относительности, приведшее к изучению таких проблем, как гравитационная радиация, поведение элементарных частиц в гравитационном поле, взаимодействие полей и т. д., необходимо требует тонких методов исследования. При написании настоящей книги автор поставил перед собой цель — помочь читателям приблизиться к таким методам.
Автор с большой признательностью отмечает работу, проделанную редактором книги А. Ф. Лапко, чьи советы и замечания значительно повлияли на качество книги.
**
ОГЛАВЛЕНИЕ
(с грешки от сканирането на математическите символи)
Предисловие 5
Глава I. Основы тензорного анализа 7
§ 1. Римаиовы многообразия 7
§ 2. Алгебра тензоров 13
§ 3. Ковариантное дифференцирование 20
§ 4. Параллельное перенесение в пространстве Уп 25
§ 5. Тензор кривизны пространства Уп 31
§ 6. Геодезические линии 38
§ 7. Специальные системы координат в Уп 42
§ 8. Риманова кривизна Уп. Пространства постоянной кривизны 61
§ 9. Теорема о главных осях тензора 67
§ 10. Группы Ли в Уп . 75
Глава II. Пространства Эйнштейна 88
§ 11. Основания специальной теории относительности. Преобразования Лоренца 88
§ 12. Уравнения поля релятивистской теории гравитации . . 95
§ 13. Пространства Эйнштейна 98
§ 14. Некоторые решения уравнений поля тяготения .... 102
Глава III. Общая классификация полей тяготения . . ИЗ
§ 15. Бивекторные пространства ИЗ
§ 16. Классификация пространств Эйнштейна 117
§ 17. Стационарные кривизны 120
§ 18. Классификация пространств Эйнштейна в случае п — 4 122
§ 19. Канонический вид матриц {Ваь) Для пространств 7\ и Т\ 130
§ 20. Классификация полей тяготения общего вида ..... 145
§ 21. О комплексном представлении тензоров пространства Минковского 151
§ 22. Базис полной системы инвариантов второго порядка пространства К4 157
Глава IV. Движения в свободном пространстве .... 165
§ 23. Классификация Т{ по группам движений 165
§ 24. Неизоморфные структуры групп движений, допускаемых свободными пространствами 175
§ 25. Пространства максимальной подвижности Тг, Тъ Т3 . . 188
§ 26. Пространства 7\, допускающие движения 206
§ 27. Пространства Т2 и Т3, допускающие движения .... 229
§ 28. Сводка результатов. Обзор известных решений уравнений поля 241
Глава V. Классификация полей тяготения общего вида по группам движений 246
§ 29. Поля тяготения, допускающие группу Ог (г ^ 2) . . . 248
§ 30. Поля тяготения, допускающие группу движений С3, действующую на У2 или У2 255
§ 31. Поля тяготения, допускающие группу движений 03, недействующую на У3 или У3 263
§ 32. Поля тяготения, допускающие просто-транзитивную или нетранзитивную группу движений С± 281
§ 33. Поля тяготения, допускающие группу движений Оъ . . 297
Глава VI. Конформное отображение пространств Эйнштейна 315
§ 34. Конформное отображение римановых пространств . . 315
§ 35. Конформное отображение римановых пространств на пространства Эйнштейна 318
§ 36. Отображение пространств Эйнштейна на пространства Эйнштейна. Неизотропный случай 327
§ 37. Отображение пространств Эйнштейна. Изотропный случай 333
Глава VII. Проблема Коши для уравнений поля Эйнштейна 340
§ 38. Уравнения поля Эйнштейна 340
§ 39. Внешняя задача Коши 345
§ 40. Оценка произвола в задании потенциалов поля пространств Эйнштейна 352
§ 41. Характеристические и бихарактеристические многообразия 363
§ 42. Тензор энергии-импульса 366
§ 43. Закон сохранения тензора энергии-импульса 378
§ 44. Внутренняя задача Коши для потока масс 380
§ 45. Внутренняя задача Коши в случае идеальной жидкости 384
Глава VIII. Специальные типы полей тяготения. . . . 389
§ 46. Приводимые и конформно-приводимые пространства Эйнштейна . . 389
§ 47. Симметрические поля тяготения 399
§ 48. Статические пространства Эйнштейна 402
§ 49. Центрально-симметрические поля тяготения 407
§ 50. Поля тяготения с осевой симметрией 413
§ 51. Гармонические поля тяготения 422
§ 52. Пространства, допускающие цилиндрические волны . . 429
§ 53. Пространства, связанные с граничными условиями . . 434
Библиография 440
Предметный указатель 460
Принятые обозначения 464
