**

ПРЕДИСЛОВИЕ

Знакомство с основами геометрии аффинной связности является в настоящее время необходимой составной частью специального геометрического образования. Однако это обстоя­тельство до сих пор не нашло отражения в учебной лите­ратуре. Всякому, знакомому с переведённой на русский язык книгой Схоутена и Стройка ясно, что она не может служить учебником. Немногим лучше обстоит дело и с литературой на иностранных языках.

Задачей предлагаемой монографии является, прежде всего, заполнить указанный пробел и дать такое руководство, ко­торым аспиранты геометры могли бы пользоваться при под­готовке соответствующих разделов аспирантского минимума, а аспиранты других специальностей и студенты геометры старших курсов — знакомиться с основами многомерной и тензорной геометрии.

Чтение книги не требует от читателя почти никаких пред­варительных сведений, но зато предполагает такую степень его развития, которая связана с усвоением физматовских кур­сов анализа, алгебры, дифференциальной и проективной гео­метрии. Предварительное знакомство с курсом римановой геометрии (по книге П. К. Рашевского) не обязательно, но несомненно желательно.

Я перейду теперь к изложению плана книги. Первая глава содержит необходимые сведения по теории векторов, тензо­ров и геометрии многомерного аффинного пространства. После неё читатель, желающий ограничиться минимумом сведений, может прямо перейти к чтению третьей главы, содержащей определения и изложения общих свойств пространств аффинной связности, и закончить изучением четвёртой главы, посвящённой важнейшим частным случаям таких пространств и их преобразованиям.

Первая, третья и четвёртая главы представляют собою оконченное целое, изучением которого могут ограничиться аспиранты, не специализирующиеся по тензорной геометрии. Мри этом они могут также выпустить последние параграфы четвёртой главы (§§ 50—53), посвященные сопряжённым связностям и имеющие более специальное значение.

Во второй главе, необходимой для понимания всех глав, начиная с пятой, излагаются основы многомерной проективНОЙ геометрии, а также геометрий аффинного, эквиаффинНОГО, центроаффинного, неевклидова, евклидова и конформного пространств, рассматриваемых как пространства подгрупп проективной группы. Эта глава представляет и самостоятель­ный интерес, так как связное изложение всего указанного материала тоже отсутствует в нашей учебной литературе.

Главы книги, начиная с пятой, излагают приложения об­щих методов аффинной связности к конкретным вопросам и, прежде всего, к теории поверхностей. В пятой главе излаГвется общая теория нормализованных поверхностей много­мерною проективного пространства и их внутренних аффин­ных связностей, а также её специализация на случай гипер­поверхности, нормализованного пространства и поверхностей аффинного и центроаффинного пространств.

В шестой главе содержатся дальнейшие специализации Общей схемы предыдущей главы, позволяющие получить, I виде её частных случаев теории поверхностей неевклидова, | ш ним и конформного пространств, а также интерпрета­ции, мшформпо-евклидовых геометрий.

Седьмая глава посвящена аффинной связности пространств намерений и теории сетей этих пространств. Эта теория, созданная Я. С. Дубновым и разработанная им главным образом для случая римановых пространств, излагается здесь В общих предположениях, делающих её более полной и увепгшв.иош.мх область её приложений. Читатель, специально заинтересованный вопросами теории сетей, может обратиться К седьмой главе сразу после прочтения первых четырёх, вклю­чив также §§ 60—53.

Наконец, восьмая и девятая главы содержат изложение корни поверхностей трёхмерного проективного и конформ­ного пространств и основаны на всём предыдущем мате­риале.

Знакомство с основами многомерной геометрии поверх­ностей проективного, аффинного, центроаффинного, неевкли­дова, евклидова и конформного пространств, с теорией сетей и с теорией поверхностей трёхмерного проективного и кон­формного пространств необходимо всякому аспиранту, специ­ализирующемуся по дифференциальной геометрии. Поэтому вторая часть книги не только даёт материал для приложения общих методов, но также имеет самостоятельное значение как пособие при подготовке аспирантов.

Теория нормализованных поверхностей, на основе кото­рой достигается объединение всех отмеченных выше теорий, впервые появляется в печати в таком подробном виде, как она представлена в этой книге. В особенности это относится к главам пятой и шестой, содержащим полные системы ос­новных уравнений и условий их интегрируемости нормализо­ванной поверхности ямерного проективного пространства, публикуемые впервые. Изложение теории сетей аффинного пространства, основанной на теории сопряжённых связностей, тоже является новым. Последние две главы содержат в пере­работанном виде результаты, уже опубликованные автором.

Размеры книги не позволили поместить в ней изложение теории поверхностей биаксиального и лагеррова пространств, а также теорию симметрических пространств с её приложе­ниями к теории непрерывных групп, как это предполагалось первоначально.

Список литературы, помещённой в конце книги, не пре­тендует на полноту, отсылая читателя к таким источникам, в которых он найдёт подробные литературные указания.

Я выражаю Свою благодарность редактору книги И. М. Яглому за сделанные им замечания и исправления, а также аспиранту Г. С. Бархину, оказавшему мне существенную помощь при просмотре рукописи и чтении корректур.

Казань .
Февраль 1950 года