***

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора перевода 5

Предисловие к русскому изданию 9

Введение 13

Глава I. АРИФМЕТИКА ПРОСТРАНСТВА 25
Глава II. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СЛОВАРЬ 52
Глава III. ОБ ОТОБРАЖЕНИЯХ И МАТРИЦАХ 75
Глава IV. СКРЫТАЯ ПРОСТОТА 95
Глава V. ПОЛЬЗА МЕТОДА УРАВНЕНИИ 113
Глава VI. НА ПУТИ К ПРИЛОЖЕНИЯМ 133
Глава VII. НА ПУТИ К СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ КЛАССИФИКАЦИИ 159
Глава VIII. О ЛИНЕЙНОСТИ 179
Глава IX. ЧТО ТАКОЕ ВРАЩЕНИЕ? 197
Глава X. МЕТРИКА И БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА 216

Ответы к упражнениям 253

****

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

«Путь в современную математику» — не первая встреча советских читателей с известным английским математиком и педагогом У. У. Сойером. В Совет­ском Союзе опубликованы две работы этого талант­ливого популяризатора математических идей: книга «Прелюдия к математике» (изд-во «Просвещение», 1965) и статья «Алгебра», вошедшая в сборник «Ма­тематика в современном мире» (изд-во «Мир», 1967). Перу У. У. Сойера принадлежит много интересных книг, главным образом методологического характера. Крут проблем, которые рассматриваются в них, определяется многолетним опытом автора в области преподавания математики и подготовки учителей средних школ.

У. У. Сойер выступает как горячий поборник ре­формы сложившегося традиционного содержания и методов преподавания математики. Однако, по его мнению, проведение этой реформы невозможно, с од­ной стороны, без изучения того, какие достижения математики представят ценность для иаукй и про­изводства в ближайшее время, а с другой — без ре­шения вопроса, как сделать математику достаточно понятной для учащихся, заинтересовать их и пробу­дить творческую активность.

В связи с последним особую роль он отводит про­блеме подготовки высокообразованных и увлеченных своим делом учителей. 

Предлагаемая вниманию читателей книга У. У. Сойера входит в задуманную им серию «Вве­дение в математику» («Introducting Mathematics»). Цель этой серии — дать читателям «существо, квинт­эссенцию     математической     грамоты», сделать математические идеи интересными и понятными самой широкой аудитории. Книга написана в свете тех проблем, которые связаны с обновлением школьного курса математики. Направленность движения за об­новление школьных программ отражает призыв «за современную математику», а суть его состоит в стремлении приблизить содержание курса матема­тики средней школы к тенденциям современной ма­тематической науки и к запросам практики. Однако решить эту задачу оказалось пс так-то просто. Каки­ми темами современной математики, какими поня­тиями и идеями следует обогатить школьный курс? На какой ступени математического развития это следует сделать и в какой последовательности? С ка­кой степенью строгости и обобщения? Все эти во­просы составляют основную трудность в решении из­вечной проблемы математического образования — в своем исторически дозволенном отставании не отры­ваться слишком далеко от достижений математиче­ской науки. Как сделать, чтобы система матема­тического образования давала каждому новому подрастающему поколению те основы математических знаний, которые позволили бы ему, освоив математи­ческие достижения века, поставить их па службу об­ществу и развивать дальше, создавая потенциал для новых достижений.

В предлагаемой книге автор делает попытку вы­делить те ценные конструктивные элементы, которые, по его мнению, должны быть введены в школьную программу. Рассматривая отдельные темы, связанные с недавними открытиями в математике, которые, по общему мнению, могут оказаться особенно важными и приобрести особую значимость в человеческой дея­тельности и научной практике (отображения, матри­цы, векторные пространства и др.), он показывает, что идеи и понятия этих тем возникают и развиваются из идей и понятий традиционной классической математики как их естественное продолжение или обоб­щение, только на более высокой ступени абстракции. Для нашей советской школы, где реконструкция об­разования осуществляется постепенно, прежде всего за счет повышения теоретического и логического уровней изучения традиционной математики и обнов­ления ее элементами современной математики (по­средством факультативных курсов), такая позиция автора представляет особый интерес.

На разнообразных конкретных примерах автор иллюстрирует одну из наиболее часто повторяющихся идеи современной математики — алгебра, геометрия и математический анализ охватывают значительно большую область, чем это представлялось ранее. Если прежде сферой приложения алгебры считались в конечном итоге соотношение и свойства чисел, то сейчас общепризнанно, что все виды объектов — опе­рации, перемещения (движения) и т. п. — имеют ал­гебраическое выражение.

Со свойственной ему изобретательностью автор проводит читателя через векторное пространство (с базой «кошки — собаки»), матрицы, их собствен­ные векторы п подводит его к обсуждению понятия линейности. Этот увлекательный экскурс заканчи­вается эскизным представлением идей Фреше по обобщению понятия дифференцирования и идей Ба­наха по обобщению понятия пространства.

Автор не дает систематического изложения мате­риала, как это принято в учебниках, а сообщает лишь ключевые идеи и понятия рассматриваемых разделов математики. При этом он всегда стремится довести до сознания читателя те идеи, которые привели ма­тематика к открытию нового понятия, показать ту перспективу, которую сулит его дальнейшее развитие.. Книгу выгодно отличают удачно подобранные задачи, наглядно иллюстрирующие приложение рассматривае­мых разделов математики. Она адресована весьма широкому кругу читателей, среди которых могут-быть и студенты математических факультетов пединститу­тов, и учащиеся старших классов, которые намере­ваются продолжить свое математическое образование в высших учебных заведениях, и учителя, размышляю­щие над проблемами обновления школьного курса ма­тематики, и все те, кто интересуется современной ма­тематикой.

И. Андронов