Предисловие 5

 

Обозначения, терминология 8

 

 

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

ОТ КОШИ ДО ЛЕБЕГА

 

 

Глава I. От Коши до Римана 13

 

1. Определение интеграла по Коши (13). 2. Определенный интеграл у Римана (Яинтеграл) (17). 3. Крайние интегралы Дарбу (19).

 

 

Глава II. Развитие идей интегрирования во второй половине XIX столетия 21

 

1. Несобственный интеграл по Дирихле (/^-интеграл) (21). 2. Обобщение (23). 3. Дальнейшее обобщение: интеграл Гельдера (24). 4. Продолжение (25). 5. Множества протяженности нуль (26). 6. Интеграл Гарнака (Яин-теграл) (29). 7. Интеграл Валле-Пуссена (32). 8. Взаимоотношение между В ^-интегралом и Я-интегралом (34). 9. Взаимоотношение между интегралами: Я-интеграл и (V—Р)-интеграл (37). 10. Условно сходящийся (V—Р)-интеграл (39). И. Возникновение понятия меры множества. Мера Пеано—Жордана (40). 12. Свойства меры Пеано—Жордана (45). 13. Геометрическое определение интеграла Римана (49). 14. Определение Пирионта (50). 15. Связь неопределенного интеграла с примитивной функцией (52).

 

 

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

ВОЗНИКНОВЕНИЕ ТЕОРИИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЛЕБЕГА—ЮНГА

 

 

Глава III. Мера Бореля 54

 

 

Глава IV. Мера и интеграл Лебега 57

 

1.Проблемаинтегрирования (57). 2. Проблема меры(64). 3. Измеримые функции (70). 4. Аналитическое определение интеграла (71). 5. Суммируемые функции (72). 6. Геометрическое определение интеграла (75). 7. Интеграл Лебега и проблема примитивной (79). 8. Заключительные замечания к гл. IV (85).

 

 

Глава V. Интеграл Юнга 89

 

1. Интеграл Юнга (89). 2.  Теория меры Юнга (95). 3. Взаимоотношение работ Лебега и Юнга (97).

 

 

Глава VI. Другие определения, примыкающие к определению интеграла Лебега 100

 

1. Первое определение Юнга (100). 2. Интеграл Бореля (101). 3. Продолжение (105). 4. Дополнительные замечания по поводу определения Бореля (107). 5. Определение Ф. Рисса (111). 6. Второе определение Юнга (ИЗ). 7. Определение Пирионта (116). 8. Интеграл Лебега как предел римановых сумм (119).

 

 

Глава VII. Интеграл Стилтьеса 122

 

1. Исторический обзор (122). 2. Определение Стилтьеса (124). 3. Особенности интеграла Римана—Стилтьеса (127). 4. Линейные функционалы. Определение Юнга (130). 5. Функции множества (133). 6. Интеграл Радона (138). 7. Интеграл в абстрактном пространстве (143). 8. Мера Каратеодори (145).

 

 

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ

ИНТЕГРИРОВАНИЕ В 10-х ГОДАХ XX ВЕКА

 

 

Глава VIII. Восстановление примитивной. Интеграл Данжуа—Хинчина . 148

 

1. Предварительные результаты (148). 2. Тотализация Данжуа (150). 3. Дескриптивное определение интегралов Данжуа. Интеграл Хинчина (164). 4. Дескриптивное определение узкого интеграла Данжуа (170). 5. Исследования Хинчина (171). 6. Взаимоотношение между интегралом Данжуа и другими интегралами (174).

 

 

Глава IX. Интеграл Перрона 177

 

1. Мажорантные и минорантные функции (177). 2. Интеграл Перрона (180). 3. Уточнения (183).

 

 

Глава X. Интеграл Даниэля 189

 

1. Определение  Даниэля (189). 2. Общий случай (192).

 

Заключение . . . 196

 

Цитированная литература 202

 

**

 

ПРЕДИСЛОВИЕ

 

Мне кажется, что человеку, завершающему матема­тическое образование, весьма полезно ознакомиться с историей развития классических математических идей. Это, с одной стороны, интересно само по себе и, с другой стороны, способствует углубленному пониманию сущ­ности предмета. В теории функций одной из главных тем является интегрирование с его многочисленными связями. Предлагаемая вниманию читателя книга пред­ставляет собой очерки о развитии понятия интеграла. В этих очерках я пытался изложить развитие класси­ческой теории интегрирования, то есть того интегрирова­ния, которое непосредственно связано с задачами оты­скания площади и первообразной функции, начиная от Коши и кончая исследованиями 10-х годов настоящего столетия.

 

В советской монографической литературе в таком виде эта тема не освещена. Очень интересная книга Лебега «Интегрирование и отыскание примитивных функций» содержит главным образом историю его соб­ственных исследований и исследований Данжуа. Еп-су-ЫорасПе бег МаХЪетаПвсЬеп \У188еп8сЬа!1еп может слу­жить справочником математической деятельности того периода.

 

При составлении очерков я избегал пространных обобщающих выводов, ограничиваясь самыми необходи­мыми замечаниями; я старался фактический материал преподнести читателю таким образом, чтобы эти выводы приходили к нему сами. В изложении сохранены, как правило, оригинальные схемы доказательств. Вместе с  тем я, за весьма немногочисленными исключениями, не цитирую рассуждений авторов и заменяю устаревшую терминологию и обозначения более современными. Пусть читатель не будет разочарован, если он не найдет в книге подробного описания трудов отдельных математиков; цель книги — проследить развитие идеи интегрирования в целом.

 

Из-за ограниченности места я не смог в достаточной мере осветить взаимосвязи интегрирования с другими отделами математики, как, например, с теорией три­гонометрических рядов, в пределах которой возникали задачи, стимулировавшие развитие интегрирования. Может казаться, что многие доказательства в тексте могли бы быть опущены без вреда для дела; однако согласимся с тем, что теория функций является в боль­шой мере определенным способом мышления, поэтому ее эволюция связана органически с развитием ее специфи­ческих способов рассуждений; нельзя рассказывать об этой эволюции, не приводя  этих рассуждений.

 

При написании книги нельзя было избежать мест, где я отступаю от изложения рассуждений и результа­тов, принадлежащих тому или иному автору, для того, чтобы сделать изложение целостным или же облегчить понимание рассуждений. Такие места, как правило, легко обнаруживаются при чтении. В тех же случаях, когда возникает опасность того, что это не так, рас­суждения, не приписываемые определенному автору, вы­делены с помощью мелкого шрифта. Мелким шрифтом напечатаны и некоторые попутные замечания.

 

Вероятно, я не всегда сумел быть точным в наве­дении исторических справок, но думаю, что допущенные здесь погрешности не являются слишком грубыми.

 

Для чтения первой части книги достаточно знаком­ства с основными фактами дифференциального и инте­грального исчисления и с элементами теории множеств; для дальнейшего желательно хотя бы поверхностное знакомство с теорией меры и интеграла Лебега. Мы считаем, что читатель владеет теорией вполне упоря­доченных множеств и трансфинитных чисел в объеме первых пяти пунктов главы XIV книги И. П. Натан­сона, Теория функций вещественной переменной, 2-е издание. Однако и без   этого   можно,   за небольшими исключениями, беспрепятственно читать все пункты пер­вой и второй частей книги.

 

Я благодарю всех тех, кто проявил участие к моей работе над очерками, и в особенности профессора Л. И. Волковыского и профессора И. Г. Соколова, ко­торому принадлежит идея их написания. Григорий Львович Лунц не только проявлял постоянный и жи­вейший интерес к моей книге, но, будучи ее научным редактором, во многом способствовал существенному улучшению текста. Я выражаю ему свою глубокую при­знательность.

 

И. Н. Песин, Львов