ПРЕДИСЛОВИЕ

Мне кажется, что человеку, завершающему матема­тическое образование, весьма полезно ознакомиться с историей развития классических математических идей. Это, с одной стороны, интересно само по себе и, с другой стороны, способствует углубленному пониманию сущ­ности предмета. В теории функций одной из главных тем является интегрирование с его многочисленными связями. Предлагаемая вниманию читателя книга пред­ставляет собой очерки о развитии понятия интеграла. В этих очерках я пытался изложить развитие класси­ческой теории интегрирования, то есть того интегрирова­ния, которое непосредственно связано с задачами оты­скания площади и первообразной функции, начиная от Коши и кончая исследованиями 10-х годов настоящего столетия.

В советской монографической литературе в таком виде эта тема не освещена. Очень интересная книга Лебега «Интегрирование и отыскание примитивных функций» содержит главным образом историю его соб­ственных исследований и исследований Данжуа. Еп-су-ЫорасПе бег МаХЪетаПвсЬеп \У188еп8сЬа!1еп может слу­жить справочником математической деятельности того периода.

При составлении очерков я избегал пространных обобщающих выводов, ограничиваясь самыми необходи­мыми замечаниями; я старался фактический материал преподнести читателю таким образом, чтобы эти выводы приходили к нему сами. В изложении сохранены, как правило, оригинальные схемы доказательств. Вместе с  тем я, за весьма немногочисленными исключениями, не цитирую рассуждений авторов и заменяю устаревшую терминологию и обозначения более современными. Пусть читатель не будет разочарован, если он не найдет в книге подробного описания трудов отдельных математиков; цель книги — проследить развитие идеи интегрирования в целом.

Из-за ограниченности места я не смог в достаточной мере осветить взаимосвязи интегрирования с другими отделами математики, как, например, с теорией три­гонометрических рядов, в пределах которой возникали задачи, стимулировавшие развитие интегрирования. Может казаться, что многие доказательства в тексте могли бы быть опущены без вреда для дела; однако согласимся с тем, что теория функций является в боль­шой мере определенным способом мышления, поэтому ее эволюция связана органически с развитием ее специфи­ческих способов рассуждений; нельзя рассказывать об этой эволюции, не приводя  этих рассуждений.

При написании книги нельзя было избежать мест, где я отступаю от изложения рассуждений и результа­тов, принадлежащих тому или иному автору, для того, чтобы сделать изложение целостным или же облегчить понимание рассуждений. Такие места, как правило, легко обнаруживаются при чтении. В тех же случаях, когда возникает опасность того, что это не так, рас­суждения, не приписываемые определенному автору, вы­делены с помощью мелкого шрифта. Мелким шрифтом напечатаны и некоторые попутные замечания.

Вероятно, я не всегда сумел быть точным в наве­дении исторических справок, но думаю, что допущенные здесь погрешности не являются слишком грубыми.

Для чтения первой части книги достаточно знаком­ства с основными фактами дифференциального и инте­грального исчисления и с элементами теории множеств; для дальнейшего желательно хотя бы поверхностное знакомство с теорией меры и интеграла Лебега. Мы считаем, что читатель владеет теорией вполне упоря­доченных множеств и трансфинитных чисел в объеме первых пяти пунктов главы XIV книги И. П. Натан­сона, Теория функций вещественной переменной, 2-е издание. Однако и без   этого   можно,   за небольшими исключениями, беспрепятственно читать все пункты пер­вой и второй частей книги.

Я благодарю всех тех, кто проявил участие к моей работе над очерками, и в особенности профессора Л. И. Волковыского и профессора И. Г. Соколова, ко­торому принадлежит идея их написания. Григорий Львович Лунц не только проявлял постоянный и жи­вейший интерес к моей книге, но, будучи ее научным редактором, во многом способствовал существенному улучшению текста. Я выражаю ему свою глубокую при­знательность.

И. Н. Песин, Львов