АННОТАЦИЯ
Настоящая книга посвящена изложению теории рядов Фурье и их применению при решении задач математической физики. Книга предназначается для студентов старших курсов и аспирантов втузов, а также для широких кругов инженеров, связанных с исследовательской работой, и преподавателей втузов.
**
ОГЛАВЛЕНИЕ
(с грешки от сканирането на математическите символи)
Предисловие к первому изданию 8
Предисловие ко второму изданию 10
Глава I. Тригонометрические ряды Фурье 11
§ 1. Периодические функции 11
§ 2. Гармоники 13
§ 3. Тригонометрические многочлены и ряды 17
§ 4. Уточнение терминологии. Интегрируемость. Функциональные ряды 19
§ 5. Основная тригонометрическая система. Ортогональность синусов и косинусов 22
§ 6. Ряд Фурье для функции периода 2л 24
§ 7. Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке длины 2п 28
§ 8. Правый и левый пределы функции в точке. Точки разрыва первого рода . 30
§ 9. Гладкие и кусочно-гладкие функции 31
§ 10. Признак сходимости ряда Фурье 33
§ 11. Четные и нечетные функции 35
§ 12. Ряды по косинусам и ряды по синусам 36
§ 13. Примеры разложений в ряд Фурье 39
§ 14. Комплексная форма ряда Фурье 48
§ 15. Функции периода 21 51
Глава II. Ортогональные системы 59
§ 1. Определение. Нормированные системы 59
§ 2. Ряд Фурье по данной ортогональной системе 60
§ 3. Примеры простейших ортогональных систем 62
§ 4. Функции с интегрируемым квадратом. Неравенство Буняковского 70
§ 5. Квадратичное уклонение; его минимум 72
§ 6. Неравенство Бесселя и его следствия 75
§ 7. Полные системы. Сходимость в среднем 75
§ 8. Важнейшие свойства полных систем 79
§ 9. Критерий полноты системы 81
§ 10*. Аналогия с векторами 83
Глава III. Сходимость тригонометрических рядов Фурье 87
§ 1. Неравенство Бесселя и его следствие 87
§ 2. Предел при п—*со тригонометрических интегралов ь ь §/(х)со$пх йх и §/(х)8'тпх йх 88
а а § 3. Формула для суммы косинусов. Вспомогательные интегралы 94
§ 4. Интегральная формула для частной суммы ряда Фурье 95
§ 5. Правая и левая производные 96
§ 6. Достаточное условие для сходимости ряда Фурье в точке непрерывности функции 98
§ 7. Достаточное условие для сходимости ряда Фурье в точке разрыва функции 100
§ 8. Обобщение достаточных условий, установленных в §§ 6 и 7 102
§ 9. Сходимость ряда Фурье для кусочно-гладкой функции (непрерывной или разрывной) 103
§ 10. Абсолютная и равномерная сходимость ряда Фурье непрерывной и кусочно-гладкой функции периода 2тс 104
§ 11. Равномерная сходимость ряда Фурье непрерывной функции периода 2тс, обладающей абсолютно интегрируемой производной 107
§ 12. Обобщение результатов § 11 111
§ 13. Принцип локализации 115
§ 14. Примеры разложения в ряд Фурье неограниченных функций 118
§ 15. Замечание о функциях периода 21 122
Глава IV. Тригонометрические ряды с убывающими коэффициентами. Отыскание сумм некоторых рядов 123
§ 1. Лемма Абеля 123
§ 2. Формула для суммы синусов. Вспомогательные неравенства 124
§ 3. Сходимость тригонометрических рядов с монотонно убывающими коэффициентами 126
§ 4*. Некоторые следствия теорем § 3 129
§ 5. Применение функций комплексного переменного для отыскания сумм некоторых тригонометрических рядов 133
§ 6. Уточнение результатов § 5 136
Глава V. Полнота тригонометрической системы. Операции с рядами Фурье 145
§ 1. Приближения функций тригонометрическими многочленами 145
§ 2. Полнота тригонометрической системы 148
§ 3. Формула Ляпунова. Важнейшие следствия полноты тригонометрической системы 149
§ 4*. Приближения функций многочленами 151
§ 5. Сложение и вычитание рядов Фурье. Умножение на число 154
§ 6*. Умножение рядов Фурье 155
§ 7. Интегрирование рядов Фурье ' 157
§ 8. Дифференцирование рядов Фурье. Случай непрерывной функции периода 2тс 162
§ 9*. Дифференцирование рядов Фурье. Случай функции, заданной на отрезке [—тс, тс] 166
§ 10*. Дифференцирование рядов Фурье. Случай функции, заданной на отрезке [0, тс] 172
§ 11. Улучшение сходимости рядов Фурье 181
§ 12. Таблица некоторых тригонометрических разложений 186
§ 13. Приближенное вычисление коэффициентов Фурье 190
Глава VI. Суммирование тригонометрических рядов Фурье 198
§ 1. Постановка задачи 198
§ 2. Способ средних арифметических 199
§ 3. Интегральная формула для среднего арифметического частных сумм ряда Фурье 200
§ 4. Суммирование рядов Фурье способом средних арифметических 202
§ 5. Способ степенных множителей 206
§ 6. Ядро Пуассона 207
§ 7. Применение способа степенных множителей к суммированию рядов Фурье 209
Глава VII. Двойные тригонометрические ряды. Интеграл Фурье 218
§ 1. Ортогональные системы в случае двух переменных. Ряды Фурье 218
§ 2. Основная тригонометрическая система в случае двух переменных. Двойные тригонометрические ряды Фурье 220
§ 3. Интегральная формула для частных сумм двойного тригонометрического ряда Фурье. Признак сходимости .* 224
§ 4. Двойные ряды Фурье в случае функций с различными периодами по х и по у . 226
§ 5. Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье 227
§ 6. О несобственных интегралах, зависящих от параметра 230
§ 7. Две леммы 234
§ 8. Доказательство интегральной формулы Фурье.... 237
§ 9. Различные виды интегральной формулы Фурье . . . 238
§ 10*. Преобразование Фурье 240
§ 11*. Спектральная функция 244
Глава VIII. Бесселевы функции 246
§ 1. Уравнение Эйлера—Бесселя 246
§ 2. Бесселевы функции первого рода с неотрицательным индексом 247
§ 3. О Г-функции 251
§ 4. Бесселевы функции первого рода с отрицательным индексом 252
§ 5. Общий интеграл уравнения Эйлера — Бесселя .... 254
§ 6. Бесселевы функции второго рода 254
§ 7. Соотношения между бесселевыми функциями с различными индексами 256
§ 8. Бесселевы функции первого рода с индексом вида 2л+1 ™ р = —2 » п — Целое 258
§ 9. Асимптотические формулы для бесселевых функций 259
§ 10. Корни бесселевых функций и функций, связанных с ними 266
§ 11. Уравнение Эйлера — Бесселя с параметром 268
§ 12. Ортогональность функций вида йр (кх) 269
§ 13. Вычисление интеграла ^хй*(кх) йх 272
§ 14. Оценка интеграла \хй2р(кх)йх 274
Глава IX. Ряды Фурье по бесселевым функциям 276
§ 1. Ряды Фурье — Бесселя 276
§ 2. Признаки сходимости рядов Фурье — Бесселя .... 277
§ 3. Неравенство Бесселя и следствия из него 279
§ 4. Порядок коэффициентов, обеспечивающий равномерную сходимость ряда Фурье — Бесселя 282
§ 5. Порядок коэффициентов Фурье — Бесселя для дважды дифференцируемой функции 285
§ 6. Порядок коэффициентов Фурье — Бесселя для функции, дифференцируемой несколько раз 289
§ 7. О почленном дифференцировании рядов Фурье — Бесселя 292
§ 8. Ряды Фурье — Бесселя второго типа 296
§ 9. Распространение результатов §§ 3—7 на ряды Фурье — Бесселя второго типа 299
§ 10. Разложение в ряды Фурье — Бесселя функций, заданных на отрезке [0, /] 302
Глава X. Метод собственных функций в решении некоторых задач математической физики 306
§ 1. Сущность метода 306
§ 2. Обычная постановка краевой задачи 312
§ 3. О существовании собственных значений 313
§ 4. Собственные функции; их ортогональность 314
§ 5. О знаке собственных значений 317
§ 6. Ряды Фурье по собственным функциям 318
§ 7. Всегда ли метод собственных функций действительно приводит к решению задачи? 322
§ 8. Обобщенное решение 326
§ 9. Неоднородная задача 330
§ 10. Заключение 333
Глава XI. Приложения 335
§ 1. Уравнение колеблющейся струны 335
§ 2. Свободные колебания струны 337
§ 3. Вынужденные колебания струны 341
§ 4. Уравнение продольных колебаний стержня 343
§ 5. Свободные колебания стержня 346
§ 6. Вынужденные колебания стержня 349
§ 7. Колебания прямоугольной мембраны 351
§ 8. Радиальные колебания круглой мембраны 358
§ 9. Колебания круглой мембраны (общий случай) .... 361
§ 10. Уравнение распространения тепла в стержне .... 367
§ 11. Распространение тепла в стержне, концы которого поддерживаются при нулевой температуре 369
§ 12. Распространение тепла в стержне, концы которого поддерживаются при постоянных температурах . . . 371
§ 13. Распространение тепла в стержне, концы которого находятся при заданных переменных температурах 372
§ 14. Распространение тепла в стержне, в концах которого происходит свободный теплообмен с окружающей средой 373
§ 15. Распространение тепла в бесконечном стержне. . . 378
§ 16. Распространение тепла в круглом цилиндре; случай изолированной поверхности 384
§ 17. Распространение тепла в круглом цилиндре; случай теплообмена с внешней средой на поверхности 386
§ 18. Распространение тепла в круглом цилиндре; случай установившейся температуры 387
**
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Задача книги — ввести читателя в теорию тригонометрических рядов Фурье, дать начальные сведения по теории общих и некоторых специальных ортогональных систем и показать, как эти теории прилагаются к решению практических задач.
Книга рассчитана на читателя, усвоившего курс математического анализа в объеме обычной втузовской программы. Однако для удобства читателя автор счел полезным посвятить несколько параграфов (в разных местах) напоминанию некоторых фактов из дифференциального и интегрального исчислений.
Расположение материала подсказано педагогическими соображениями — автору в течение нескольких лет приходилось читать курс рядов Фурье во втузе.
Что касается содержания, то автор несколько нарушил традицию и ввел в курс рядов Фурье, с одной стороны,, элементы теории бесселевых функций и рядов по бесселевым функциям, с другой стороны, — элементы метода собственных функций (включая понятие краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения) в приложении к задачам математической физики. Автор нарушил также традицию — либо доказывать теорему, либо молчать о ней, и в отдельных случаях приводит формулировки без доказательств. Это вызвано желанием не перегружать книгу тонкими и длинными рассуждениями (которые порой потребовали бы от читателя больше математических познаний, чем вправе требовать автор) и вместе с тем все-таки познакомить читателя с основными положениями теории.
В главе XI (приложения) автор ограничивается задачами о колебаниях и по теплопроводности, считая, что иллюстрация теории должна осуществляться, по крайней мере на первых шагах, на явлениях по возможности простых и в какой-то мере известных возможно более широкому кругу читателей.
При создании этой книги автор использовал руководства:
И. И. Привалов, Ряды Фурье, 1934 г.
Д. Джексон, Ряды Фурье и ортогональные полиномы, 1948 г.
В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. 2, 1948 г.
Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. III, 1949 г.
Р. О. Кузьмин, Бесселевы функции, 1935 г.
Г. Н. Ватсон, Теория бесселевых функций, ч. 1, 1949 г.
С. Л. Соболев, Уравнения математической физики, 1947.
И. И. Привалов, Интегральные уравнения, 1935 г.
Р. Курант и Д. Гильберт, Методы математической физики, т. 1, 1931 г., т. 2, 1945 г.
С. Карслоу, Теория теплопроводности, 1945 г.
В книгах: Н. С. Кошляков, Основные дифференциальные уравнения математической физики, 1936 г., А. Н. Крылов, О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, 1933 г., а также в упомянутых книгах Привалова, Кузьмина и Карслоу интересующийся читатель сможет найти большое число задач математической физики, к которым с успехом прилагается изложенное в настоящей книге.
Читателю, желающему более основательно ознакомиться с теорией разложения функций в ряды по собственным функциям, можно указать книгу: Б. М. Левитан, Разложение по собственным функциям, 1950 г.
Разделы книги, которые можно пропустить без ущерба для ее цельности, без которых читатель может сознательно овладеть методами, нужными для практических приложений (сюда относятся разделы, носящие характер дополнительных сведений, характер расширения и углубления основных сведений), в оглавлении и в тексте отмечены звездочками.
За советы, использованные при составлении книги, автор выражает благодарность В. Я. Козлову, Л. А. Ту-маркину, А. И. Плеснер.
24 сентября 1950 г.
Г. Толстов
***
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Книга печатается без существенных изменений — сделаны лишь мелкие улучшения и исправления. Для читателя, желающего поскорее добраться до приложений, привожу «упрощенный» вариант чтения книги: гл, I, гл. II, гл. V §§ 11 — 13, гл. VII § 5 и 9, гл. VIII, гл. IX §§ 1, 2, 8 и 10, гл. X, гл. XI.
3 января 1959 г.
Г. Толстов
