В ходе развития теории множеств, которая является основой построения большинства математических дисциплин, возникли чрезвычайно сложные проблемы непротиворечивости. Книга представляет собой наиболее полный из существующих обзор исследований, вызванных к жизни этой проблематикой; в ней описываются и сравниваются между собой все важнейшие системы аксиоматической теории множеств. Большое внимание уделено приложению идей и методов математической логики в различных направлениях исследований по основаниям математики (логицизм, интуиционизм, формализм).
Книга, снабженная обширным списком литературы, представляет ценность для математиков, занимающихся основаниями математики и связанными с ними вопросами математической логики, а также для философов и представителей других специальностей, имеющих отношение к методологическим проблемам математики.
**
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода 5
Предисловие
Глава I. Антиномии 11
§ 1. Историческое введение 11
§ 2. Логические антиномии 16
§ 3. Семантические антиномии 20
§ 4. Общие замечания . 23
§ 5. Три кризиса . 26
§ 6. Библиографические замечания . 28
Глава II. Аксиоматические основания теории множеств. Аксиома выбора 31
§ 1. Введение 31
§ 2. Первоначальное отношение. Равенство и экстенсиональность 41
§ 3. «Конструктивные» аксиомы общей теории множеств 49
§ 4. Аксиома выбора 63
§ 5. Аксиомы бесконечности и ограничения 105
§ 6. Система аксиом фон Неймана. Теоретико-множественный релятивизм (парадокс Сколема) 123
§ 7. Системы аксиом Бернайса и Гёделя. Доказательства относительной непротиворечивости 139
§ 8. Вывод теории множеств из аксиом 157
Глава III. Теоретико-типовые подходы . . 171
§ 1. Идеальное исчисление 171
§ 2. Общая теория классов 175
§ 3. New Foundtions Куайна 179
§ 4. Mathematical Logic Куайна 181
§ 5. Иерархия языков и разветвленное нечисление классов 186
§ 6. Система 2 Хао Вана 189
§ 7. Оперативная система Лореннена 194
§ 8. Логицистический тезис 197
§ 9. Типы, категории н сорта 206
§ 10. Непредикативное образование понятий 213
§ 11. Теории множеств, основанные на нестандартных логиках 221
Глава IV. Интуиционистские концепции математики . 238
§ 1. Историческое введение. Пропасть между дискретностью и непрерывностью 238
§ 2. Конструктивный характер математики. Математика и язык 250
§ 3. Принцип исключенного третьего 258
§ 4. Математика и логика. Логическое исчисление ........ 273
§ 5. Изначальная интуиция целого числа. Свободно становящиеся последовательности и брауэровская концепция множества . . 292
§ 6. Математика, урезанная в соответствии с интуиционистской позицией 303
Глава V. Метeматематический и семантический подходы 317
§ 1. Гильбертовская программа 317
§ 2. Формальные системы, логистические системы и формализованные теории 323
§ 3. Интерпретации и модели 336
§ 4. Непротиворечивость, полнота, категоричность и независимость 342
§ 5. Разрешимость и рекурсивность. Арифметизация синтаксиса . . 356
§ 6. Ограничительные теоремы Гёделя, Тарского, Чёрча и их обобщения 364
§ 7. Метаматематика и семантика теории множеств 379
§ 8. Философские замечания 398
Библиография 419
Библиография к АЬ$1гас1 5е{ ТНеогу, цитируемая в настоящей книге 472
Библиография, добавленная при переводе . 501
Именной указатель 538
Предметный указатель 550
Указатель символов 553
