ПРЕДГОВОР КЪМ ТРЕТОТО ИЗДАНИЕ

Както в предишните издания, в сборника се дават в системати­чен ред задачи върху материала по аналитична геометрия така, както той се изучава от студентите по математика във факултета по ма­тематика и механика на Софийския университет. Застъпени са от­делите: векторна алгебра и координати на точки; уравнения на пра­ви и равнини; хомогенни координати; аналитично представяне на линии и повърхнини; комплексни елементи; двойно отношение и проективни координати; криви и повърхнини от втора степен; проек­тивни трансформации. За повечето от задачите се дават решения или упътвания към решението. Наред със задачите, изразени с чис­лени данни, са разгледани и общи задачи, някои от които са в същ­ност геометрични теореми, допълващи теоретичната материя на лек­циите. Чрез тях именно се изтъква цената на аналитичната геометрия като метод за установяване на геометрични истини по аналитичен път. Застъпени са и задачи върху геометрични места.

Третото издание е преработено и разширено. Сборникът е допъл­нен във всичките си раздели с основните теоретични резултати, върху които се основава решението на поместените задачи. Тези допълнения не отменят използуването от читателя на подробен учеб­ник по аналитична геометрия, но съществено улесняват студентите при работата им с него.

Допълненията ще позволят сборникът по-успешно да се изпол­зува и от студенти по физика, химия и техническите специалности. С оглед на това са запазени единните означения на хомогенните координати спрямо различни координатни системи.

Авторите

София, януари 1978 година

****

ПРЕДГОВОР КЪМ ПЪРВОТО ИЗДАНИЕ

Настоящият сборник съдържа задачи и теореми, за третирането на които се използуват методите, изложени в издадения през 1961 г. от Държавно издателство „Наука и изкуство" учебник по аналитична геометрия от проф. д-р Б. Петканчин. Разгледаните въпроси в сбор­ника следват реда, по който е изложен материалът в учебника. Оз­наченията на всички геометрични обекти, координати, математиче­ски операции и др. са направени, както в учебника. Това е извърше­но поради предназначението на сборника да служи преди всичко на студентите по математика от Софийския държавен университет, които изучават подробен курс по аналитична геометрия и имат за основен учебник цитирания по-горе.

Изложените задачи, теореми и др., както и методите за решаването им са полезни и за всички други студенти, които изучават анали­тична геометрия, а така също и за учителите по математика от средните училища.

В сборника решенията на задачите, упътванията или отговори­те са дадени непосредствено след условието на съответната задача. Това сме извършили поради следните причини: а) от практиката като ръководители на упражненията на студентите по геометрия сме се убедили, че сборник без достатъчно на брой напълно ре­шени задачи е малко полезен за начинаещия; б) студентите, които се обучават по пътя на задочното следване, трябва да разполагат с ръководство, което подробно да ги въведе в приложението на съответните методи за третиране на конкретни проблеми, и то във форма, достъпна и удобна за тях. Този начин на изложение не за­дължава читателя непременно да се ползува от дадените решения или упътвания към съответните задачи. Ние съветваме всички чита­тели винаги да правят опити сами да намират решение на задачите, преди да видят изложените решения. В сборника са дадени, макар и по-малко на брой, задачи, към които няма приложени решение или упътване и читателят сам ще трябва да намери подходящи! ме­тоди за решаването им. Използували сме главно три типа коорди­натни системи: проективни, афинни и ортогонални. С помощта на проективните координати най-леко се третират проективните свой­ства на геометричните обекти. Аналогично афинните и ортогонални-те координатни системи намират естествено приложение при трети­ране съответно на афинните и метричните задачи, свързани с гео­метричните обекти. В случаите, когато сме искали да се приложи даден тип координатна система при решаване на конкретни числе­ни примери, това сме означавали към условието на всяка задача. За икономия на място е избягнато специално означаване, когато трябва да се използува ортогонална координатна система. Затова предупреждаваме читателя, че всички задачи с чие -лени примери, закоито не е посочен типът на коорди­натната система, трябва да се решават спрямо дясна ортогонална координатна система. Направили сме приложе­ния за решаване на метрични задачи, като се използуват афинни или проективни координати. В първия случай са дадени подробни данни за координатните вектори, а във втория са определени цик­личните точки на равнината или абсолютната окръжност в прост­ранството. Последното чрез леки примери е ярко приложение на хармоничните групи и подготвя читателя за усвояване на проектив-ната геометрия. Поради малкия обем на сборника поместени са не­достатъчен брой примери от многомерни пространства и проектив­ни трансформации, които биха представлявали интерес за по-любоз­нателните студенти. Тази празнина се попълва по-късно от други геометрически дисциплини.

Ние предполагаме, че необходимият теоретичен материал за ре­шаване на задачите от съответния раздел е познат на читателя. В някои случаи за улеснение сме препращали за справки към съоб­щения в началото учебник от проф. Петканчин; цитирането на учеб­ника за краткост е извършено с инициалите АГ. Обръщаме внимание, че макар и не винаги да сме отправяли читателя за справка към АГ, ние сме използували съответни изводи от учебника. Да съобщим също, че учебникът по проективна геометрия от проф. д-р Б. Пет­канчин, издаден през 1945 г., цитираме накратко ПГ.

В сборника са дадени различни по степен на трудността задачи, ка­то във всички случаи сме започвали съответния раздел с леки задачи. Разгледани са многобройни приложения на аналитичния ме­тод за доказване на теореми, за получаване на геометрични места и др.

Чувствуваме приятен дълг да изразим голямата си благодарност към нашия учител др. проф. д-р Б. Петканчин, под чието ръковод­ство ние изработихме свой стил и метод на ръководене упражне­нията на студентите по геометрия от Софийския държавен универ­ситет. Характерът на този стил и метод е отразен в настоящия сборник, който излиза по инициативата на др. проф. Петканчин.

София, май 1962 г.

Ал. Гъонов, И. Стоев