СЪДЪРЖАНИЕ
Предговор към третото издание . 7
Предговор към първото издание 8
Предговор към второто издание 10
Глава първа
Векторна алгебра и координатни системи
I. Отсечки и ъгли 11
II. Афинни операции с векторите 17
1Ц. Координатни системи и координати на вектори и точки 43
IV. Метрични оерации с векторите 57
V. Смяна на координатните системи 94
Глава втора
Уравнения на права и равнина
I. Уравнения на права в равнината 133
II. Уравнения на равнина и права в пространството 171
Глава трета
Хомогенни координати и безкрайни елементи
Хомогенни координати на точки, прави и равнини. Безкрайни точки на прави и безкрайни прави на равнини 214
Глава четвърта
Аналитично представяне на кривите и повърхнините. Комплексни елементи
I. Аналитично представяне на равнинни и пространствени криви линии и повърхнини (окръжност, снопове окръжности, инверсия в равнината, цилиндрични, конични, ротационни и други повърхнини) 236
II. Комплексни елементи 312
Глава пета
Двойно отношение, хармонични групи и проективни координатни системи
I. Двойно отношение и хармонични групи 335
II. Проективни координатни системи и проективни координати 351
Глава шеста
Криви линии и повърхнини от втора степен
I. Проективни свойства на кривите линии ог втора отелен. Пресечени точки с права, тангента, полюс и поляра, проективни канонични уравнения на кривите 378
II. Проективни свойства на повърхнини от втора степен. Прободни точки с права, общи точки с равнина, допирателна равнина, полюс и полярна равнина, дегенеровани повърхнини 419
III. Афинни свойства на кривите линии от втора степен. Афинна класификация на кривите, център, асимптоти, диаметри, афинни канонични уравнения .... 436
IV. Афинни свойства на повърхнините от втора степен. Афинна класификация на повърхнините от 2. степен, център, асимтотичен конус, диаметрални равнини и диаметри 468
V. Метрични свойства на кривите линии от втора степен. Главни направления на кривите линии, оси, върхове, фокуси, директриси и метрични канонични уравнения 484
VI. Метрични свойства на повърхнините от втора степен. Главни направления, главни равнини, метрични канонични уравнения, омбилични точки и кръгови сечения 523
Глава седма
Примери на проективиости в едноизмерими и двуизмерими фигури
Допълване на проективиости, инволюция, двойни елементи и други .... 558
Използвана литература. . . . 569
*
ПРЕДГОВОР КЪМ ТРЕТОТО ИЗДАНИЕ
Както в предишните издания, в сборника се дават в систематичен ред задачи върху материала по аналитична геометрия така, както той се изучава от студентите по математика във факултета по математика и механика на Софийския университет. Застъпени са отделите: векторна алгебра и координати на точки; уравнения на прави и равнини; хомогенни координати; аналитично представяне на линии и повърхнини; комплексни елементи; двойно отношение и проективни координати; криви и повърхнини от втора степен; проективни трансформации. За повечето от задачите се дават решения или упътвания към решението. Наред със задачите, изразени с числени данни, са разгледани и общи задачи, някои от които са в същност геометрични теореми, допълващи теоретичната материя на лекциите. Чрез тях именно се изтъква цената на аналитичната геометрия като метод за установяване на геометрични истини по аналитичен път. Застъпени са и задачи върху геометрични места.
Третото издание е преработено и разширено. Сборникът е допълнен във всичките си раздели с основните теоретични резултати, върху които се основава решението на поместените задачи. Тези допълнения не отменят използуването от читателя на подробен учебник по аналитична геометрия, но съществено улесняват студентите при работата им с него.
Дoпълненията ще позволят сборникът по-успешно да се използува и от студенти по физика, химия и техническите специалности. С оглед на това са запазени единните означения на хомогенните координати спрямо различни координатни системи.
Авторите
София, януари 1978 година
*
ПРЕДГОВОР КЪМ ПЪРВОТО ИЗДАНИЕ
Настоящият сборник съдържа задачи и теореми, за третирането на които се използуват методите, изложени в издадения през 1961 г. от Държавно издателство „Наука и изкуство" учебник по аналитична геометрия от проф. д-р Б. Петканчин. Разгледаните въпроси в сборника следват реда, по който е изложен материалът в учебника. Означенията на всички геометрични обекти, координати, математически операции и др. са направени, както в учебника. Това е извършено поради предназначението на сборника да служи преди всичко на студентите по математика от Софийския държавен университет, които изучават подробен курс по аналитична геометрия и имат за основен учебник цитирания по-горе.
Изложените задачи, теореми и др., както и методите за решаването им са полезни и за всички други студенти, които изучават аналитична геометрия, а така също и за учителите по математика от средните училища.
В сборника решенията на задачите, упътванията или отговорите са дадени непосредствено след условието на съответната задача. Това сме извършили поради следните причини: а) от практиката като ръководители на упражненията на студентите по геометрия сме се убедили, че сборник без достатъчно на брой напълно решени задачи е малко полезен за начинаещия; б) студентите, които се обучават по пътя на задочното следване, трябва да разполагат с ръководство, което подробно да ги въведе в приложението на съответните методи за третиране на конкретни проблеми, и то във форма, достъпна и удобна за тях. Този начин на изложение не задължава читателя непременно да се ползува от дадените решения или упътвания към съответните задачи. Ние съветваме всички читатели винаги да правят опити сами да намират решение на задачите, преди да видят изложените решения. В сборника са дадени, макар и по-малко на брой, задачи, към които няма приложени решение или упътване и читателят сам ще трябва да намери подходящи! методи за решаването им. Използували сме главно три типа координатни системи: проективни, афинни и ортогонални. С помощта на проективните координати най-леко се третират проективните свойства на геометричните обекти. Аналогично афинните и ортогонални-те координатни системи намират естествено приложение при третиране съответно на афинните и метричните задачи, свързани с геометричните обекти. В случаите, когато сме искали да се приложи даден тип координатна система при решаване на конкретни числени примери, това сме означавали към условието на всяка задача. За икономия на място е избягнато специално означаване, когато трябва да се използува ортогонална координатна система. Затова предупреждаваме читателя, че всички задачи с чие -лени примери, закоито не е посочен типът на координатната система, трябва да се решават спрямо дясна ортогонална координатна система. Направили сме приложения за решаване на метрични задачи, като се използуват афинни или проективни координати. В първия случай са дадени подробни данни за координатните вектори, а във втория са определени цикличните точки на равнината или абсолютната окръжност в пространството. Последното чрез леки примери е ярко приложение на хармоничните групи и подготвя читателя за усвояване на проектив-ната геометрия. Поради малкия обем на сборника поместени са недостатъчен брой примери от многомерни пространства и проективни трансформации, които биха представлявали интерес за по-любознателните студенти. Тази празнина се попълва по-късно от други геометрически дисциплини.
Ние предполагаме, че необходимият теоретичен материал за решаване на задачите от съответния раздел е познат на читателя. В някои случаи за улеснение сме препращали за справки към съобщения в началото учебник от проф. Петканчин; цитирането на учебника за краткост е извършено с инициалите АГ. Обръщаме внимание, че макар и не винаги да сме отправяли читателя за справка към АГ, ние сме използували съответни изводи от учебника. Да съобщим също, че учебникът по проективна геометрия от проф. д-р Б. Петканчин, издаден през 1945 г., цитираме накратко ПГ.
В сборника са дадени различни по степен на трудността задачи, като във всички случаи сме започвали съответния раздел с леки задачи. Разгледани са многобройни приложения на аналитичния метод за доказване на теореми, за получаване на геометрични места и др.
Чувствуваме приятен дълг да изразим голямата си благодарност към нашия учител др. проф. д-р Б. Петканчин, под чието ръководство ние изработихме свой стил и метод на ръководене упражненията на студентите по геометрия от Софийския държавен университет. Характерът на този стил и метод е отразен в настоящия сборник, който излиза по инициативата на др. проф. Петканчин.
София, май 1962 г.
Ал. Гъонов, И. Стоев
