Настоящият сборник съдържа задачи по елементарна математика с повишена трудност и е предназначен преди всичко за ученици, които се подготвят за уча­стие в олимпиади (вътрешни и международни) и други математически състезания. Сборникът е предназначен да помогне в работата и на учителите по математика, които преподават в ученическите математически школи, ръководят кръжоци и пр. Той може да се окаже полезен и за курсистите от учителските институти, за сту­дентите по математика от началните курсове на университета, за кандидат-студенти и др.

За разлика от болшинството сборници по математика, предназначени за сред­ношколци, предлаганият сборник си поставя за цел не само да затвърди и задълбочи знанията на читателя, получени в училище, но и да го запознае с някои нови за него методи и идеи и да култивира у него вкус към самостоятелни, творчески из­следвания. Във връзка с това е необходимо читателят да бъде предупреден, че в сборника почти липсват леки и шаблонни задачи, за решаването на които е доста­тъчно само формалното усвояване на гимназиалния курс по математика. Много от предлаганите тук задачи са необичайни, „нетрадиционни", както по форма, така и по съдържание, каквито впрочем и трябва да бъдат истинските „олимпийски" за­дачи. За решаването на такива задачи от читателя се изисква да притежава широки теоретични познания и умението правилно да ги прилага. В много случаи решенията на задачите за олимпиади представляват необичаен синтез на известни математични факти, теореми, правила и формули, като не малка роля в този синтез играят фак­торите остроумие и находчивост.

В този сборник са представени почти всички типове задачи от елементарната математика, достъпни за ученици с повишен интерес към математиката. Задачите, за решението на които са необходими допълнителни сведения, невлизащи в про­грамата на средните училища, се предхождат от кратки теоретични бележки. Във всяка една от шестте части на сборника задачите са подредени по теми и по труд­ност. Във втора, трета и пета чзсг задачите са разделени на две групи, при което втората група повтаря темите на първата, но съдържа по-трудни задачи. В четвърта част поради големия брой на задачите групите- са три. Задачите в шеста част са разделени също на две групи, като в първата група са включени задачи, повта­рящи темите на предидущите части, а втората група съдържа задачи от най-разли­чен характер. Около една трета от поместените задачи са решени подробно, а на повечето от останалите са дадени кратки упътвания или отговори в края на книгата. Задачите без упътване са предназначени  за самостоятелна работа. Изложените ре­шения в никакъв случай не трябва да се считат за единствени. Не е изключено за някои от задачите читателят да намери решения, които са по-прости и по-красиви от предложените.

За съставянето на настоящия сборник е прегледана обширна математическа литература на няколко езика. Проучени са голям брой материали, отразяващи под­готовката, провеждането и резултатите от математическите олимпиади в редица страни включително и в нашата. От огромния брой задачи, давани в продължение на много години за различни конкурси и олимпиади и публикувани в списания, сборници и пр., са подбрани и използувани най-интересните. В частност използу­вани са задачи от Московските и Всеруските олимпиади, от олимпиадите в Украйна, България, Унгария, Полша, Чехословакия, Югославия и др. Включени са и всички задачи, дадени на проведените до 1966 г. седем международни олимпиади. Много от използуваните задачи са дадени в нови, по-интересни постановки, а в редица случаи са допълнени и с нови елементи. Сборникът съдържа и известен брой ориги­нални задачи.

При подбора на задачите и написването на някои решения взеха участие и студентите Владимир Заимов и Йордан Табов, първенци на българските отбори на олимпиадите във Вроцлав, Москва и Берлин.

Ценните съвети и препоръки на рецензентите Иван Димовски и Петър Стамболов, камо и щателната редакторска работа на проф. Спас Манолов, допринесоха за намаляване недостатъците на сборника. На всички горепосочени липа авторите изказват своята дълбока благо­дарност. Като се надяват, че предлаганият сборник ще запълни една празнина в бъл­гарската учебно-помощна литература по математика, авторите ще приемат с приз­нателност всички критични  бележки и пожелания, целящи по-нататъшното му по­добряване.

София, 1966 г.

В. Флоров, Ст. Будуров

**

СЪДЪРЖАНИЕ

Предговор. 5

Указател...        6

Част първа. Аритметика... 7

Част втора. Алгебра..  56

Част трета. Тригонометрия ..  154

Част четвърта. Планиметрия    204

Част пета. Стереометрия.. 340

Част шеста. Комбинирани задачи.    375

Отговори и упътвания.....    416