К. А. Бежанов, Ю. В. Сидоров, М. В. Федорюк, М. И. Шабунин, М. А. Евграфов
«Сборник задач по теории аналитических функций» предназначен для студентов университетов, пединститутов и ВТУЗ'ов, изучающих теорию функций комплексного переменного. Он составлен с таким расчетом, чтобы его было удобно использовать при любом построении лекционного курса.
С этой целью отдельные параграфы написаны в основном независимо друг от друга и разбиты на циклы задач, объединенных общей идеей. Задачи повышенной трудности помещены, как правило, в конце циклов. Все основные факты и определения приведены там, где они используются. Илл. 161.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава I. Введение 7
§ 1. Комплексные числа 7
§ 2. Последовательности и ряды комплексных чисел 23
§ 3. Функции, кривые, интегрирование 30
§ 4. Элементарные асимптотические методы 52
§ 5. Однозначные элементарные функции 69
§ 6. Равномерная сходимость. Степенные ряды 78
§ 7. Гомотопии плоских кривых 88
Глава II. Регулярные функции 97
§ 8. Условия Коши—Римана. Гармонические функции 97
§ 9. Геометрический смысл производной 109
§ 10. Теорема Коши. Интеграл типа Коши 115
§ 11. Ряд Тейлора 127
§ 12. Последовательности регулярных функций. Интегралы, зависящие от параметра ' 139
§ 13. Теорема единственности. Аналитическое продолжение 145
§ 14. Принцип максимума 156
Глава III. Многозначные аналитические функции 165
§ 15. Функции, аналитические в области 165
§ 16. Выделение регулярных ветвей 171
§ 17. Вычисление значений регулярных ветвей 176
§ 18. Вычисление значений функций, аналитических в области 185
Глава IV. Особые точки. Ряд Лорана. Вычеты 196
§ 19. Изолированные особые точки однозначного характера 196
§ 20. Ряд Лорана 203
§ 21. Вычисление вычетов 217
§ 22. Вычисление интегралов по замкнутому контуру 224
§ 23. Принцип аргумента. Теорема Руше 234
§ 24. Изолированные точки ветвления 238
§ 25. Особые точки на границе области регулярности 243
§ 26. Обратные и неявные функции 250
Глава V. Приложения теории вычетов 262
§ 27. Разложение мероморфных функций в ряды простейших дробей и в бесконечные произведения 262
§ 28. Простейшие типы несобственных интегралов 268
§ 29. Более сложные типы несобственных интегралов 286
§ 30. Суммирование рядов 296
§ 31. Интегралы, сводящиеся к гамма-функции 307
Глава VI. Конформные отображения 317
§ 32. Однолистные функции 317
§ 33. Дробно-линейная функция 323
§ 34. Принцип симметрии 329
§ 35. Отыскание отображений элементарными функциями 339
§ 36. Отыскание конформных отображений с использованием принципа симметрии 361
§ 37. Отображение многоугольников 370
