Авторы:
В. С. ВЛАДИМИРОВ, В. П. МИХАИЛОВ, А. А. ВАШАРИН, X. X. КАРИМОВА, Ю. В. СИДОРОВ, М. И. ШАБУНИН.
**
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов физико-математических специальностей высших учебных заведений
***
АННОТАЦИЯ
Сборник задач составлен коллективом преподавателей Московского физико-технического института. Этот сборник базируется на обновленных курсах уравнений математической фц-зики, читаемых в МФТИ и учитывающих современные достижения в математической физике.
В отличие от имеющихся задачников по уравнениям математической физики, в данном сборнике широко представлены задачи, в которых используется теория обобщенных функций и методы функционального анализа. Илл. 4.
****
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 4
Основные обозначения и определения 5
Глава I. Постановки краевых задач математической физики .... 7
§ 1. Вывод уравнений и постановка краевых задач 7
§ 2. Классификация уравнений второго порядка 29
Глава II. Функциональные пространства и интегральные уравнения . . 35
§ 3. Измеримые функции, интеграл Лебега 35
§ 4. Функциональные пространства 42
§ 5. Интегральные уравнения 62
Глава III. Обобщенные функции 85
§ 6. Основные и обобщенные функции 85
§ 7. Дифференцирование обобщенных функций 91
§ 8. Прямое произведение и свертка обобщенных функций 99
§ 9. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста 107
§ 10. Преобразование Лапласа обобщенных функций 113
§ 11. Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов 117
Глава IV. Задача Коши 126
§ 12. Задача Коши для уравнения второго порядка гиперболического типа 126
§ 13. Задача Коши для уравнения теплопроводности 149
§ 14. Задача Коши для других уравнений и задача Гурса 160
Глава V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа 173
§ 15. Задача Штурма — Лиувилля 174
§ 16. Метод разделения переменных для уравнений Лапласа и Пуассона 183
§ 17. Функция Грина оператора Лапласа 197
§ 18. Метод потенциалов 203
§ 19. Вариационные методы 222
Глава VI. Смешанная задача 231
§ 20. Метод разделения переменных 231
§ 21. Другие методы 261
Литература 270
*****
ПРЕДИСЛОВИЕ
Широкое проникновение современных математических методов в теоретическую и математическую физику потребовало пересмотра традиционного курса «Уравнений математической физики». Это в первую очередь относится к такому фундаментальному понятию, как решение краевой задачи математической физики. Концепция обобщенного решения значительно расширяет круг рассматриваемых задач, позволяет изучать с единой точки зрения наиболее интересные задачи, не поддающиеся решению классическими методами. С этой целью на кафедре высшей математики Московского физико-технического института были созданы новые курсы уравнений: В. С. Владимиров, Уравнения математической физики, «Наука», 1971 (издание второе) и В. П. Михайлов, Дифференциальные уравнения в частных производных (готовится к печати).
Настоящий «Сборник задач по уравнениям математической физики» основан на этих курсах и существенно дополняет их. Помимо классических краевых задач, в сборник включено большое число краевых задач, имеющих только обобщенные решения. Исследование таких задач требует привлечения методов и результатов из различных областей современного анализа. Поэтому в сборник включены задачи по теории интегрирования по Лебегу, по функциональным пространствам, в особенности пространствам обобщенно-дифференцируемых функций, по обобщенным функциям, включая преобразования Фурье и Лапласа, и по интегральным уравнениям.
При составлении этого сборника авторы использовали оригинальные задачи, предлагаемые в течение ряда лет студентам МФТИ на упражнениях и контрольных работах, а также известные задачники Б. М. Будака, А. А. Самарского, А. Н. Тихонова (Сборник задач по математической физике, «Наука», 1972) и М. М. Смирнова (Задачи по уравнениям математической физики, «Наука», 1968).
Этот сборник рассчитан на студентов вузов — математиков, физиков и инженеров — с повышенной математической подготовкой.
Авторы выражают глубокую благодарность коллективу преподавателей кафедры вестей математики МФТИ за предложения и замечания, которые способствовали улучшению и пополнению этого сборника. В особенности авторы благодарят Т. Ф. Волкова, Ю. Н. Дрожжинова.
