Предговор 3
1. ФОРМИРАНЕ НА МАТЕМАТИЧЕСКАТА ЛОГИКА 7
Историческите корени на математическата логика 7
Обща характеристика на Аристотеловата логика 8
Приносите в логиката на мегаро-стоическата школа 15
Първи проблясъци на новата логика 21
Буловата алгебра на логиката 25
Преход от алгебрата на логиката към математическата логика 32
2. ЕЛЕМЕНТИ НА МАТЕМАТИЧЕСКАТА ЛОГИКА 35
Предварителни бележки за строежа на математическата логика 35
Прости и сложни съждения 38
Преход от естествения език към символическия език 41
Съждение, съждителна променлива и логическа константа 45
Съждителни функции. Основни съждителни функции 47
Вярностни стойности на съждителните променливи и съждителните функции. Вярностни таблици 49
Логическото отрицание 53
Конюнкция 55
Включваща и изключваща дизюнкция 59
Импликация 63
Еквиваленция 68
Сложни съждителни функции 70
Логическа равносилност на съждителните функции 73
Дефиниране на основните съждителни функции. Щри-хата на Шефер 74
Що е логическа формула ? 77
Видове логически формули. Логически закони 80
Проблемата за разрешимостта. Нормални форми на ло-гическите формули 83
Аксиоматически системи на математическата логика 88
По-специално за логическия ИЗЕОД В математическата ло¬гика. Правила на логическия ИЗЕОД 91
Кратка характеристика на логиката на предикатите 95
Многозначна математическа логика 98
Логически структури 99
Логически модели. Изоморфизъм и хомоморфизъм на логическите модели 101
3. ЗА МАТЕМАТИЧЕСКАТА ЛОГИКА КАТО СЪВРЕМЕНЕН ЕТАП В РАЗВИТИЕТО НА ФОРМАЛНАТА ЛОГИКА И НЕЙНОТО ЗНАЧЕНИЕ 104
Математическата логика и стилът на съвременното научно мислене 120
Библиография 123
*
ПРЕДГОВОР
През последните години интересът към математическата логика нараства все по-решително. Към нея насочват своето внимание както учени и инженери, така и широк кръг любознателни хора. И за това естествено има причини. Вероятно най-голяма заслуга за широката популяризация и признание на математическата логика принадлежи на кибернетиката. А защо ? Навярно затова, защото математическата логика е една от основните теоретически предпоставки на кибернетиката, а без кибернетиката пък са невъзможни бързодействуващите изчислителни и логико-информационни машини, автоматизацията на производствените процеси и т. н. С една дума, без кибернетиката е немислима каквато и да било механизация и оптимизация на човешката интелектуална и управленска дейност. Следователно в последна сметка големият интерес към математическата логика се обуславя и оправдава преди всичко от нейното плодотворно приложение в науката и техниката. А не е изключено в това отношение тя да крие все още неизвестни или неподозирани засега възможности!
Обстоятелството, че математическата логика заема вече твърде ясно и определено възлова позиция в съвременната научна и научно-техническа мисъл, изисква все по-настойчиво да се замислим съвсем сериозно дали без нейното познаване и овладяване изобщо може да се говори за солидна подготовка на висококвалифицирани кадри, съобразена с изискванията на съвременната наука и практиката. При това трябва да се подчертае, че именно в математическата логика се крие един от решаващите ключове както към актуалните проблеми на съвременната математика, така и към удивителните постижения, приложения и хоризонти на кибернетиката и кибернетическата техника, та дори и към целия арсенал от най-нови актуални и творчески идеи, методи и насока в стила на съвременното научно мислене и в научното познание изобщо.
Между другото на фона на току-що казаното става лесно обяснимо защо в новите програми за средните училища в някои социалистически страни (например в Полша) се отделя такова голямо внимание на усвояването и на математическата логика от страна на учениците. Очевидно това може да се прецени само като задоволяване на една остро належаща потребност, която е продиктувана от големите и нарастващи изисквания на културния, научния, техническия и образователен живот и дейност в съвременното човешко общество. Такъв именно е, струва ни се, пътят, по който трябва да вървим, ако не искаме да изоставаме от авангарда на нашето съвремие.
Ето защо определено може да се каже, че една от най-големите повели на деня в областта на нашата научна и образователна дейност е да се търсят упорито и непрестанно подходящи форми и пътища за своевременното овладяване, широко разпространяване и повсеместно прилагане на идеите, средствата и методите на математическата логика. Същевременно трябва да се отбележи, че у нас вече съществуват известни научни, научно-технически, културни и педагогически предпоставки, които могат да съдействуват по най-благоприятен начин на усилията в тази насока.
Няма съмнение, че научно-популярната литература е средство, което може да изиграе незаменима лоля н това отношение. Чрез една научно-популярна статия или брошура може да се осъществи по най-непосредствен начин и с най-голям еФект „среша" на любознателния читател с основните елементи и положения на математическата логика. А това е твърде съществен показател за действителната ценност или стойност на научно-популярната литература по математическа логика, която, ако не се подценява съвсем, то най-малкото обикновено се недооценява. Впрочем крайно време е вече да се разработи една по-широко организирана и съобразена с нуждите програма за подготвянето и публикуването в масов тираж на редица научнопопулярни статии, брошури или четива от тази област — както от наши автори, така и в превод.
Но каква е в случая нашата задача? Естествено, стремежът ни е ла дадем един по възможност по-пълен и точен очерк за основните елементи и положения на математическата логика с оглед ш съдействуваме за изграждането у масовия читател вярна представа за нейната същност. Но не само това. В действителност математическата логика винаги е била предмет на по-широки интереси, по-специално на разглеждания и оценки от по-общ, Философски характер. Ето защо винаги са будили и ще будят интерес въпросите за нейното отношение към старата логика и за мястото й в историята на формалната логика, за насоките в нейното собствено развитие, за Философската оценка на Предмета и съдържанието й като научна теория, II перспективите на нейното приложение в науката и техниката, за ролята й в стила на Съвременното научно мислене и т. н. А това са ВЪПРОСИ, които насочват нашето внимание към нейната В1 грешна динамика и действена роля спрямо развитието на съвременното научно познание.
Ние смятаме, че такъв по-широк и по-многостранен подход към математическата логика е оправдан дори и в един научнопопулярен очерк. Същевременно обаче трябва да се отбележи, че споменатите по-горе въпроси се поддават твърде трудно на популярно изложение. Тази трудност нараства и поради факта, че по тях са изказвани твърде различни съображения, мисли и становища. Ето защо в такива случаи авторът си запазва и правото на собствено мнение.
Как по-конкретно ще постъпим? Най-напред ще се спрем на историко-логическите предпоставки, които доведоха закономерно до формирането и развитието на математическата логика. След това ще се постараем да очертаем основните елементи на тази научна теория, като им дадем определено обективно-съдържателно тълкование. На края ще се спрем на някои по-общи оценки на съдържанието и приложението на математическата логика. При това по отделни въпроси ще поставяме задачи с препоръка към читателя да ги реши самостоятелно.
