АННОТАЦИЯ
Спектральная теория линейных операторов является классическим разделом функционального анализа. Развитие применений функционального анализа (в частности, к квантовой механике) привело к тому, что изучение этой теории стало необходимым не только специалистам в этой области, но и более широкому кругу математиков и физиков-теоретиков.
В то же время пока не существует книги, в которой спектральная теория (операторов излагалась бы с достаточной полнотой. Этот пробел и восполняется данной монографией.
Книга рассчитана на научных работников, аспирантов и студентов старших курсов университетов — математиков и физиков-теоретиков.
**
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие В. А. Рохлина 9
От редактора 10
Глава I. Векторные системы и отношение порядка ... 11
§ 1. Упорядоченные множества Н
1.1. Отношения эквивалентности и порядка (11). 1.2. Мажоранты и миноранты. Цепи (14). 1.3. Дуальные множества (17).
§ 2. Векторные системы 17
2.1. Векторные операции (17). 2.2. Примеры векторных систем (20). 2.3. Базис и ранг векторной системы у21). 2.4. Прямая сумма векторных подсистем (24).
§ 3. Изоморфизмы и автоморфизмы 26
3.1. Ф-системы. Изоморфизмы векторных систем (26). 3.2. Прямая сумма векторных систем (29). 3.3. Векторные системы с инволюцией (30).
§ 4. Линейные преобразования 31
4.1. Линейное отношение эквивалентности (31). 4.2. Системы §1(95, 95') и §1(95) (34). 4.3. Линейные формы (37).
§ 5. Псевдолинейные преобразования. Алгебры 38
5.1. Векторные системы с псевдоинволюцией (38). 5.2. Алгебры. Регулярные элементы. Коммутатор (41). 5.3. Алгебры с инволюцией и псевдоинволюцией (45). 5.4. Идеалы (48).
§ 6. Структуры и направленные множества 49
6.1. Полные структуры (49). 6.2. Дистрибутивные структуры и булевские алгебры (52). 6.3. Полные упорядоченные множества (54).
§ 7. Упорядоченные векторные системы 55
7.1. Положительный элемент (55). 7.2. Векторные порядки (57). 7.3. Линейные формы в 2 (58). 7.4. Векторные *-порядки (59).
§ 8. Сходимость в полных векторных порядках ^-порядках) 61
8.1. Бесконечно малые (61). 8.2. Равномерные бесконечно малые (65). 8.3. Сходимость рядов (67). 8.4. Признак коши для равномерной сходимости (68).
§ 9. Положительные вполне линейные функционалы ... 69
9.1. Положительные линейные функционалы (69). 9.2. Добавочные условия на векторный *-порядок 2 (71). 9.3. Обобщение понятия сходимости (72).
Глава II. Интеграл и мера со значениями в полном векторном *-порядке 74
§ 1. Полутела функций 74
1. 1. Лебеговы множества (74). 1.2. сг-замкнутые семейства; о-расши-рения (75 \
§ 2. Бэровские тела функций 80
2.1. Основные свойства (80). 2.2. Измеримые функции (83).
§ 3. Бэровские *-тела функций 85
3.1. *-тело функций (85). 3.2. Элементарные 93-функции (86). 3.3. Система 3 (93) (90). 3.4. Подобие бэровских *-тел функций (93).
§ 4. Бэровские замыкания семейств функций 94
§ 5. Положительные линейные операции 96
5.1. Расширение положительной линейной операции (96). 5.2. Лебеговы операции (99).
§ 6. Интеграл 104
6.1. Определение интеграла (104). 6.2. Неопределенный интеграл (106). 6.3. Непрерывность интеграла / (Р) на &^ (93) (110). 6.4. Множества меры нуль (114). 6.5. Преобразование меры и интеграла (119). 6.6. Обобщение понятия интеграла (122).
§. 7. Верхняя и нижняя операции 122
7.1. Операция Г (Г) (122). 7.2. Пополнение операции I (Р) (127).
§ 8. Линейные операции на а-замкнутых полутелах функций 131
§ 9. Расширение линейной операции до положительной лебеговой операции 136
§ 10. Интеграл относительно а-конечной меры 142
10.1. Замкнутые меры (142). 10.2. о-конечные меры (145).
§11. Расширения аддитивных функций множества .... 148
11. Аддитивные функции множества на разложимых семействах (148).
11. 2. Пополнение неотрицательной аддитивной функции множества (152). 11.3. Расширение до меры (156). 11.4. Внешняя и внутренняя меры (158).
Глава III. Пространства 161
§ 1. Нормированные пространства 161
1.1. Норма (161). 1.2. Векторные многообразия. Размерность пространства (164). 1.3. Изоморфизмы и псевдоизоморфизмы пространств (165). 1.4. Квазинорма (166).
§ 2. Пространства Банаха 168
2.1. Пополнение пространства (168). 2.2. Примеры полных нормированных пространств (171).
§ 3. Унитарное пространство 179
3.1. Билинейные и квадратичные формы. Унитарная норма (179). 3.2. Скалярное произведение (183). 3.3. Примеры унитарных пространств (486).
§ 4. Ортогональность 189
4.1. Ортогональные системы векторов (189). 4.2. Ортогональный базис (194). 4.3. Теорема об ортогональной проекции (197). 4.4. Классификация унитарных пространств (198).
§ 5. Ортогональные суммы пространств 201
§ 6. Дополнительные сведения 206
6.1. Квадратичные формы (206). 6.2. Выпуклые множества (210). 6.3. Неравенство Бепно Леви (214).
Глава IV. Непрерывные линейные и псевдолинейные преобразования 216
§ 1. Ограниченные преобразования 216
1.1. Ограниченные квазинормы (216). 1.2. Расширение ограниченных преобразований (218). 1.3. Нормированные пространства 91 (X, X') и Й(Х, X') (220). 1.4. Нормированное кольцо операторов 91 (X) (221). 1.5. Линейные и псевдолинейные функционалы (222).
§ 2. Сходимость преобразований 224
2.1. Леммы о квазинорме (выпуклом функционале) (224). 2.2. Сходимость преобразований на пространстве X (227). 2.3. Слабая сходимость (229).
§ 3. Слабая сходимость в унитарном пространстве .... 230
3.1. Общий вид линейного и псевдолинейного функционала (230). 3.2. Свойства слабой сходимости (234). 3.3. Слабая сходимость преобразований (236). 3.4. Замкнутость относительно слабой сходимости. Слабая компактность (236).
§ 4. Линейные преобразования в унитарных пространствах и билинейные функционалы 239
4.1. Соответствие между линейными преобразованиями и билинейными функционалами (239). 4.2. Сопряженное преобразование (241). 4.3. Эрмитовы операторы (243).
§ 5. Дополнительные сведения . 245
5.1. Обобщение лемм о выпуклых функционалах (245). 5.2. Другое доказательство теоремы 4.3.2 (247).
Глава V. Ограниченные операторы, определенные на всем пространстве 249
§ 1. Нормированная *-алгебра операторов 249
1.1. Сходимость в 91 (Я) (249). 1.2. Степенные ряды (252).
§ 2. Эрмитовы операторы из Ж (Я) 261
2.1. Верхняя и нижняя грани оператора (261). 2.2. Положительные операторы (262).
§ 3. Проекторы 268
3.1. Действия над проекторами (268). 3.2. Структура проекторов и ортогональные ряды проекторов (272). 3.3. Отклонение подпространств (276).
§ 4. Некоторые классы линейных операторов 279
4.1. Нормальные операторы (279). 4.2. Унитарные операторы (281). 4.3. Полуунитарные операторы (282).
§ 5. Векторный ^-порядок Ж (Я) 285
§ 6. Вполне непрерывные операторы 289
6.1. Идеал вполне непрерывных операторов (289). 6.2. Операторы с конечной унитарной нормой (292). 6.3. След (300).
§ 7. Матричное представление линейных операторов . . . 302
Глава VI. Произвольные линейные преобразования и операторы 306
§ 1. Замкнутое преобразование 306
1.1. Сумма, произведение и предел преобразований (306). 1.2. График преобразования. Замкнутые преобразования (308). 1.3. Замыкание преобразования (312).
§ 2. Обратное преобразование 314
2.1. Многообразие нулей преобразования (314). 2.2. Теоремы о существовании ограниченного обратного оператора (316). 2.3. Дефектное подпространство (317).
§ 3. Сопряженное преобразование 318
3.1. Сопряженный график (318). 3.2. Свойства преобразования А* (320). 3.3. Системы Ш(Н, Н') и 9Г (Я) (324). 3.4. Случай неплотно заданного преобразования (326).
§ 4. Самосопряженные, эрмитовы и нормальные операторы 327
4.1. Свойства самосопряженных и эрмитовых операторов (327). 4.2. Операторы А*А и АЛ* (332).
§ 5. Примеры линейных операторов 336
5.1. Оператор умножения (336). 5.2. Оператор дифференцирования (340).
§ 6. Перестановочность операторов 346
§ 7. Инвариантные подпространства 349
7.1. Приводимость и слабая инвариантность (349). 7.2. Ортогональная приводимость (351). 7.3. Инвариантные подпространства операторов из 91 (Я) (353). 7.4. Инвариантные подпространства операторов из 91 (Я > (355). 7.5. Ортогональные суммы операторов (357).
Глава VII. Спектральные характеристики линейных операторов 363
§ 1. Точечный и дефектный спектр 363
§ 2. Спектр и резольвента оператора 366
2.1. Операторы и Тцз (366). 2.2. Регулярные точки (367). 2.3. Существование спектра (372). 2.4. Спектр оператора А* (373).
§ 3. Приведенный спектр оператора 374
3.1. Полурегулярные точки (374). 3.2. Характеристика точек приведенного спектра (375). 3.3. Остаточный спектр (377).
§ 4. Дробно-линейное преобразование 379
§ 5. Спектры операторов, принадлежащих специальным классам 385
5.1. Самосопряженные операторы (385). 5.2. Нормальные операторы (389). 5.3. Эрмитовы операторы (389). 5.4. Поведение резольвенты при А,->оо (391).
§ 6. Изометрические операторы и их связь с самосопряженными операторами 393
6.1. Спектр изометрического оператора (393). 6.2. Специальные дробно-динейные преобразования (395).
§ 7. Связь между свойствами оператора и свойствами резольвенты и квазирезольвенты 400
7.1. Замкнутые операторы (400). 7.2. Нормальные операторы (401). 7.3. Эрмитовы и полуэрмитовы операторы (402). 7,4? Унитарные и и полуунитарные операторы (405).
§ 8. Спектр вполне непрерывного оператора . 407
§ 9. Индексы дефекта в остаточном спектре 414
9.1. Постоянство индекса дефекта в компоненте множества Л (А) (414). 9.2. Система индексов дефекта оператора (417).
Глава VIII. Спектральные соответствия и разложимые операторы 420
§ 1. Точечные операторы 420
1.1. Определение точечного оператора (420). 1.2. Свойства точечных операторов (422). 1.3. Каноническое разложение и унитарные инварианты точечного оператора (425). 1.4. Нормальные вполне непрерывные операторы (427).
§ 2. Спектральные соответствия 430
2.1. Определение спектрального соответствия (430). 2.2. Спектральная мера (432). 2.3. Изоморфные спектральные соответствия (437). 2.4. Разложимые операторы (437).
§ 3. Построение спектрального соответствия по заданной ортогональной спектральной мере 439
3.1. Минимальное соответствие Ф0 (439). 3.2. Интеграл 7{Р) (440). 3.3. Максимальное соответствие (447).
§ 4. Свойства операторов спектрального соответствия . . . 452
4.1. Перестановочность (452). 4.2. Обратный оператор (452). 4.3. Спектр (453). 4.4. Оператор {7(Г)\* (455). 4.5. Нормальность (456). 4.6. Разложимость (456).
§ 5. Операторы, перестановочные со спектральной мерой 458
5.1. Индуцированное соответствие (458). 5.2. Ортогональное разложение спектрального соответствия (461). 5.3. Лемма о замыкании и некоторые ее приложения (463).
§ 6. Разложимые операторы 467
6.1. Спектральная мера разложимого оператора (467). 6.2. Спектр разложимого оператора (473). 6.3. Оператор умножения на независимое переменное (474).
§ 7. Функции разложимого оператора 476
7.1. Полиномы и степенные ряды. Целые и мероморфные функции (476). 7.2. Однопараметрические группы и полугруппы (480). 7.3. Произвольные функции (485).
§ 8. Спектральные функции 487
8.1. Расширение спектральной функции до меры (487). 8.2. Произведение спектральных функций (491). 8.3. Специальное отображение пространств 2у и 2^ на 2 (494).
Глава IX. Спектральный анализ эрмитовых, унитарных и нормальных операторов 495
§ 1. Спектральные теоремы 495
1.1. Формулировка спектральных теорем (496). 1.2. Спектральное соответствие для унитарного оператора (498). 1.3. Спектральное соответствие для эрмитова оператора (501).
§ 2. Вычисление спектральной функции . 506
2.1. Интегрирование по параметру (506). 2.2. Случай эрмитова оператора (507). 2.3. Случай унитарного оператора (509).
§ 3. Оператор дифференцирования 511
3.1. Спектральное разложение оператора Г)5 (511). 3.2. Спектральное разложение оператора йх (513). 3.3. Преобразование Фурье (514).
§ 4. Перестановочность разложимых операторов 521
4.1. Перестановочность и «-перестановочность (521). 4.2. Сильная перестановочность (524). 4.3. Функции перестановочных эрмитовых операторов (527).
§ 5. Спектральное разложение нормального оператора . . 529
5.1. Метрически равные операторы (529). 5.2. Мультипликативное разложение нормального оператора (532). 5.3. Разложимость нормальных операторов (534).
§ 6. Однопараметрические группы и полугруппы операторов 535
Глава X. Унитарные инварианты нормальных операторов 548
§ 1. Циклические операторы 548
1.1. Циклические подпространства (548). 1.2. Каноническое представление циклического оператора (550). 1.3. Части циклического оператора (552). 1.4. Спектральный тип циклического оператора (553). 1.5. Эрмитовы циклические операторы (558). 1.6. Матрицы Якоби (560).
§ 2. Типы Хеллингера 552
2.1. Структура спектральных типов (562). 2.2. Структуры с наибольшим элементом (563). 2.3. Допустимые структуры (566). 2.4. Обобщенные типы Хеллингера (570).
§ 3. Ортогональные суммы операторов с попарно независимыми максимальными типами 576
3.1. Предварительные замечания (576). 3.2. Операторы с максимальным типом (577). 3.3. Теоремы о разложении (580).
§ 4. Унитарные инварианты нормальных операторов . . . 582
4.1. Простой спектр (582). 4.2. Кратность спектрального типа (588). 4.3. Однородные типы (592). 4.4. Унитарные инварианты оператора с максимальным типом (594). 4.5. Унитарные инварианты произвольного нормального оператора (599).
§ 5. Р-функции и перестановочность операторов 602
5.1. Р-функции (602). 5.2. Операторы Ф* (А) (605). 5.3. Перестановочность (606). 5.4. Характеристика функций заданного эрмитова оператора (608).
Список основных обозначений 614
Предметный указатель 616
***
ПРЕДИСЛОВИЕ В. А. РОХЛИНА
Имя Абрама Иезекииловича Плеснера и его лекции по теории операторов *) широко известны, так что эта книга едва ли нуждается в рекомендациях. Моя задача — кратко изложить ее историю.
Книга была задумана А. И. давно, еще до войны. Сначала предполагалось, что она будет не очень значительно отличаться от его лекций, но потом взгляды А. И. на то, как следует излагать спектральную теорию операторов, изменились, и он решил писать все заново. Работа была начата, по-видимому, в 1948 г. и продвигалась очень быстро, пока не была прервана болезнью. В течение последующих десяти лет, всякий раз, как ему становилось лучше, А. И. возвращался к этой работе, но закончить ее ему так и не удалось. 18 апреля 1961 года его не стало. Незадолго до этого он обратился ко мне с просьбой довести дело до конца.
Согласно планам А. И., книга должна была состоять из одиннадцати глав. А. И. успел более или менее закончить восемь глав и набросать девятую. Относительно содержания главы X он оставил немногочисленные устные пожелания, не затрагивающие способа изложения, а о главе XI сказал только, что собирался посвятить ее приложениям: дифференциальным операторам, динамическим системам и, может быть, квантовой механике. Ни одной строки, относящейся к главам X, XI, найти не удалось. В этих условиях было решено дописать главы IX и X, руководствуясь указаниями А. И. и используя его лекции, и выпустить книгу без главы XI.
Работу над главами IX, X и двумя последними, не вполне законченными параграфами главы VIII взял на себя Л. М. Абрамов, трудные обязанности редактора книги — Б. М. Макаров. Они сделали все, чтобы сохранить стиль А. И. Плеснера. Теперь, наконец, книга, которой этот замечательный человек и математик отдал столько сил, выходит в свет.
Июнь 1965 г.
----
*) Успехи математических наук, выпуск IX (старая серия), 1941 и том 1, выпуск 1, 1946.
****
ОТ РЕДАКТОРА
Книга А. И. Плеснера «Спектральная теория линейных операторов» рассчитана на читателя, обладающего известной математической, в особенности аналитической культурой. В книге широко используются (особенно в главах VIII—X) теория меры и элементы топологии. Иногда автор без специальных пояснений опирается на тонкие факты анализа, например, на существование почти везде граничных значений у аналитической функции класса Я2.
В тексте, оставленном автором, нет ни исторических указаний, ни литературных ссылок, поэтому их нет и в книге.
Для ссылок внутри книги принята следующая система: § 10.2 означает: § 2 гл. X; п. 8.2.3 означает: пункт 2.3 параграфа 8.2. Каждый параграф имеет самостоятельную нумерацию формул. При ссылках внутри параграфа указывается только номер формулы; при ссылках на формулы другого параграфа указывается номер параграфа; например, (3.2.1) означает: формула (1) из § 3.2.
Для теорем и лемм принята тройная нумерация: например, теорема 8.5.1 —это первая теорема в § 8.5.
Б. Макаров
