ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА
Настоящая книга состоит из ряда глав и добавления, написанных видными специалистами по теории множеств. Каждая глава — это самостоятельная статья. Она содержит в основном замкнутый в себе материал и может читаться независимо от остальных глав сборника. Главы очень разные по характеру и подробности изложения. Например, глава 2, написанная Т. Йехом, представляет собой весьма беглый обзор проблематики и результатов, относящихся к аксиоме выбора. Написанная Берд-жесом глава 4 о методе вынуждения, напротив, дает довольно подробное изложение доказательств некоторых основных результатов. Упор в справочном руководстве по теории множеств сделан на разъяснение основных идей и методов аксиоматической теории множеств, а не на охват как можно большего числа результатов. В этом отношении наиболее показательна глава 5 о комбинаторике, написанная К. Кюненом. Вводная глава, принадлежащая Дж. Шенфилду, посвященная аксиоматике системы Цермело — Френкеля, доступна широкому кругу читателей. Наиболее трудна для чтения написанная К. Девлином глава 5 об аксиоме конструктивности, излагающая громоздкие конструкции и насыщенная большим количеством формул. В книгу включены также топологические приложения аппарата аксиоматической теории множеств. В глазах 6 и 7, принадлежащих М. Рудин и И. Юхасу, рассматриваются топологические следствия аксиомы Мартина и различных комбинаторных принципов, вытекающих из аксиомы конструктивности Гёделя.
Было решено перенести в русский перевод второй части справочника из его третьей части —Теории рекурсии — главу о дескриптивной теории множеств, написанную Д. Мартином (глава 8 данной книги). Дело в том, что материал этой главы как по своим истокам, так и применяемым в доказательствах методам тесно связан с аксиоматической теорией множеств. К сожалению, Мартин не включил в свою главу интересный материал, связывающий дескриптивную теорию с основными идеями аксиоматической теории (с конструктивными по Гёделю множествами и методом вынуждения). Этот пробел восполняется в добавлении переводчика к главе 8, в котором рассматриваются также некоторые классические дескриптивные проблемы, не нашедшие места в самой главе, и обсуждается их состояние на сегодняшний день. Кроме того, дескриптивная теория множеств представляет такую область теории множеств, в которой применяется весь арсенал средств аксиоматической теории множеств. Поэтому обращение к этому материалу позволяет показать «в работе» методы аксиоматической теорий, изложенные в разных Главах книги. Более подробно о выборе темы для дополнения рассказано в предисловии переводчика к добавлению.
Следует отметить, что по охвату материала настоящая книга на самом деле не может служить справочником по теории множеств. Это сборник статей, рассчитанный на широкий круг читателей-математиков. Цель ее — дать представление об аксиоматической теории множеств, основанной на аксиоматике Цер-мело — Френкеля.
Аксиоматическая система Цермело — Френкеля хорошо отражает свойства интуитивного мира множеств, описанного в главе 1. Она служит основой для других более сильных систем, также не вступающих в явное противоречие с интуитивным универсумом главы 1. На ее основе осуществляется естественная формализация понятий и доказательств реальной классической математики, благодаря чему результаты о невыводимости в системе Цермело — Френкеля имеют особую значимость.
Вопросы, не освещенные подробно в главах данной книги, можно найти в достаточно представительной библиографии к этим главам.
При переводе были исправлены незначительные неточности и опечатки без специальных оговорок. Немногочисленные ссылки на материал других частей справочника оформлены следующим образом. Если в английском издании имеется ссылка на главу 3 части III (например), то в настоящем переводе написано: см. гл. 3 «Теории рекурсии».
В. Н. Гришин
**
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора русского перевода 5
Введение . 7
Глава 1. АКСИОМЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. Джозеф Р. Шенфилд 9
Глава 2. ОБ АКСИОМЕ ВЫБОРА. Томас Дж. Иех 35
Глава 3. КОМБИНАТОРИКА. Кеннет Кюнен 64
Глава 4. ВЫНУЖДЕНИЕ. Джон П. Берджес 99
Глава 5. КОНСТРУКТИВНОСТЬ. Кейт Дж. Девлин 158
Глава 6. АКСИОМА МАРТИНА. Мэри Эллен Рубин 201
Глава 7. РЕЗУЛЬТАТЫ О НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ В ТОПОЛОГИИ. И. Юхас 213
Глава 8. ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ: ПРОЕКТИВНЫЕ МНОЖЕСТВА. Дональд А. Мартин 235
Добавление. ПРОЕКТИВНАЯ ИЕРАРХИЯ Н. Н. ЛУЗИНА: СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕОРИИ. В. Г. Кановей 273
Именной указатель 365
Предметный указатель 368
Обозначения, связанные с определимостью 371
Указатель обозначений 372
