Справочная книга по математической логике. В четырех частях. Часть 2: Теория множеств

Справочник по математическа логика. В четири части. Част 2: Теория на множествата (преводна книга от английски на руски език)

Коллектив  (авторов)  |  Дж. Барвайс  (редактор)

Твърда корица, среден формат  |  376 стр.  |  450 гр.

(неизползвана книга в отлично състояние)

*

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА

Настоящая книга состоит из ряда глав и добавления, напи­санных видными специалистами по теории множеств. Каждая глава — это самостоятельная статья. Она содержит в основном замкнутый в себе материал и может читаться независимо от остальных глав сборника. Главы очень разные по характеру и подробности изложения. Например, глава 2, написанная Т. Йехом, представляет собой весьма беглый обзор проблематики и ре­зультатов, относящихся к аксиоме выбора. Написанная Берд-жесом глава 4 о методе вынуждения, напротив, дает довольно подробное изложение доказательств некоторых основных ре­зультатов. Упор в справочном руководстве по теории множеств сделан на разъяснение основных идей и методов аксиоматиче­ской теории множеств, а не на охват как можно большего чис­ла результатов. В этом отношении наиболее показательна гла­ва 5 о комбинаторике, написанная К. Кюненом. Вводная гла­ва, принадлежащая Дж. Шенфилду, посвященная аксиоматике системы Цермело — Френкеля, доступна широкому кругу чита­телей. Наиболее трудна для чтения написанная К. Девлином глава 5 об аксиоме конструктивности, излагающая громоздкие конструкции и насыщенная большим количеством формул. В книгу включены также топологические приложения аппарата аксиоматической теории множеств. В глазах 6 и 7, принадле­жащих М. Рудин и И. Юхасу, рассматриваются топологические следствия аксиомы Мартина и различных комбинаторных прин­ципов, вытекающих из аксиомы конструктивности Гёделя.

Было решено перенести в русский перевод второй части справочника из его третьей части —Теории рекурсии — главу о дескриптивной теории множеств, написанную Д. Мартином (глава 8 данной книги). Дело в том, что материал этой главы как по своим истокам, так и применяемым в доказательствах методам тесно связан с аксиоматической теорией множеств. К сожалению, Мартин не включил в свою главу интересный материал, связывающий дескриптивную теорию с основными идеями аксиоматической теории (с конструктивными по Гёделю множествами  и методом вынуждения). Этот  пробел воспол­няется в добавлении переводчика к главе 8, в котором рассмат­риваются также некоторые классические дескриптивные про­блемы, не нашедшие места в самой главе, и обсуждается их состояние на сегодняшний день. Кроме того, дескриптивная теория множеств представляет такую область теории множеств, в которой применяется весь арсенал средств аксиоматической теории множеств. Поэтому обращение к этому материалу по­зволяет показать «в работе» методы аксиоматической теорий, изложенные в разных Главах книги. Более подробно о выборе темы для дополнения рассказано в предисловии переводчика к добавлению.

Следует отметить, что по охвату материала настоящая кни­га на самом деле не может служить справочником по теории множеств. Это сборник статей, рассчитанный на широкий круг читателей-математиков. Цель ее — дать представление об аксио­матической теории множеств, основанной на аксиоматике Цер-мело — Френкеля.

Аксиоматическая система Цермело — Френкеля хорошо от­ражает свойства интуитивного мира множеств, описанного в главе 1. Она служит основой для других более сильных систем, также не вступающих в явное противоречие с интуитивным уни­версумом главы 1. На ее основе осуществляется естественная формализация понятий и доказательств реальной классической математики, благодаря чему результаты о невыводимости в си­стеме Цермело — Френкеля имеют особую значимость.

Вопросы, не освещенные подробно в главах данной книги, можно найти в достаточно представительной библиографии к этим главам.

При переводе были исправлены незначительные неточности и опечатки без специальных оговорок. Немногочисленные ссылки на материал других частей справочника оформлены сле­дующим образом. Если в английском издании имеется ссылка на главу 3 части III (например), то в настоящем переводе написано: см. гл. 3 «Теории рекурсии».

В. Н. Гришин

**

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора русского перевода 5

Введение . 7

Глава 1. АКСИОМЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. Джозеф Р. Шенфилд 9

Глава 2. ОБ АКСИОМЕ ВЫБОРА. Томас Дж. Иех 35

Глава 3. КОМБИНАТОРИКА. Кеннет Кюнен 64

Глава 4. ВЫНУЖДЕНИЕ. Джон П. Берджес 99

Глава 5. КОНСТРУКТИВНОСТЬ. Кейт Дж. Девлин 158

Глава 6. АКСИОМА МАРТИНА. Мэри Эллен Рубин 201

Глава 7. РЕЗУЛЬТАТЫ О НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ В ТОПОЛОГИИ. И. Юхас 213

Глава 8. ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ: ПРОЕКТИВНЫЕ МНОЖЕСТВА. Дональд А. Мартин 235

Добавление. ПРОЕКТИВНАЯ ИЕРАРХИЯ Н. Н. ЛУЗИНА: СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕОРИИ. В. Г. Кановей 273

Именной указатель 365

Предметный указатель 368

Обозначения, связанные с определимостью 371

Указатель обозначений 372