АННОТАЦИЯ
Справочник содержит изложение разделов математики, входящих в программу средней школы в расширенном объеме. Он носит теоретический характер и может служить не только для справки, но и для повторения материала, а также для систематизации знаний. Особенно полезен при подготовке в вуз.
Последовательно изложена теория действительных чисел, заканчивающаяся главой о комплексных числах: имеются сведения по теории множеств, комбинаторике и др.
Для школьников старших классов, студентов техникумов и учителей. Предыдущее издание выходило в 1979 г.
**
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора 9
От автора 11
ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
§ 1. Множества и операции над множествами 13
1.1. Множества и подмножества. 1.2. Операции над множествами.
§ 2. Соответствие между множествами и отображение множеств
2.1. Соответствие и отображение. 2.2. Взаимно однозначное отображенне. 2.3. Эквивалентность множеств. 2.4. Классификация множеств.
§ 3. Упорядоченные множества 20
3.1. Понятие упорядоченного множества. 3.2. Перестановки. 3.3. Подстановки. 3.4. Размещения. 3.5. Сочетания. 3.6. Бином Ньютона.
§ 4. Метод математической индукции 27
§ 5. Множества с бинарными операциями . , 29
5.1. Бинарные операции в множествах. 5.2. Изоморфизм мно« жеств. 5.3. Группы. 5.4. Кольца. 5.5. Поля.
§ 6. Матрицы. Определители 32
ГЛАВА 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Натуральные числа 36
1.1. Множество натуральных чисел. 1.2. Аксиоматическое построение. 1.3. Простые числа. Основная теорема арифметики. 1.4. Некоторые признаки делимости. 1.5. Наименьшее общее кратное. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида.
§ 2. Целые числа 44
2.1. Множество целых чисел. 2.2. Арифметические операции с целыми числами.
§ 3. Рациональные числа 47
3.1. Рациональные дроби. 3.2. Рациональные числа. 3.3. Целые и рациональные числа. 3.4. Множество рациональных чисел как расширение множества целых чисел.
§ 4. Действительные числа 53
4.1. Множество действительных чисел как расширение множества рациональных чисел. 4.2. Аксиоматическое построение. 4.3. Представление действительных чисел десятичными дробями. 4.4. Геометрическое изображение. 4.5. Десятичные представления рациональных и иррациональных чисел. 4.6. Некоторые способы доказательства иррациональности чисел. 4.7. Алгебраические и трансцендентные числа. 4.8. Степени и корни. 4.9. Логарифмы.
§ 5. Десятичные дроби 69
5.1. Десятичная позиционная система счисления. 6.2. Понятие десятичной дроби. 5.3. Арифметические действия иад конечными десятичными дробями. 5.4. Обращение конечной десятичной дроби в рациональную. 5.5. Обращение бесконечной периодической дроби в рациональную дробь.
§ 6. Непрерывные дроби 76
§ 7. Способы вычислений
7.1. Приближенное значение числа и погрешности. 7.2. Десятичная запись. 7.3. Округление чисел. 7.4. Метод касательных. 7.5. Алгоритм извлечения квадратного корня.
ГЛАВА 3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1, Множество комплексных чисел 81
1.1. Аксиоматическое построение. 1.2. Множество упорядоченных Йар действительных чисел и множество комплексных чисел.
§ 2. Геометрическое изображение и тригонометрическая форма
записи комплексных чисел
2.1. Геометрическое изображение комплексного числа. 2.2. Геометрическое изображение суммы и разности. 2.3. Тригонометрическая форма записи.
§ 3. Степень комплексного числа
3.1. Натуральная степень комплексного числа. 3.2. Корень лй степени из комплексного числа.
ГЛАВА 4. АЛГЕБРА
§ 1. Многочлены одного переменного
1.1. Понятие многочлена. Арифметические операции над многочленами. 1.2. Делители многочлена. 1.3. Деление многочленов. 1.4. Алгоритм Евклида. 1.5. Корни многочлена. 1.6. Формулы сокращенного умножения. 1.7. Формулы Внета. 1.8. Основная тео рема алгебры. 1.9. Разложение многочлена на множители. 1.10. Некоторые следствия основной теоремы алгебры.
§ 2. Многочлены нескольких переменных
2.1. Одночлены и многочлены от нескольких переменных.
2.2. Лексикографическое расположение членов многочлена.
§ 3. Рациональные алгебраические дроби
3 1. Арифметические действия над алгебраическими дробями. 3.2. Правильные алгебраические дроби. 3.3. Простейшие дроби. 3.4. Пропорции.
§ 4. Иррациональные алгебраические выражения
§ 5. Уравнения. Алгебраические уравнения
5.1. Основные определения. 5.2. Линейное уравнение. 5.3. Квадратное уравнение. 5.4. Двучленные уравнения. 5.5. Биквадратное уравнение. 5.6. Некоторые уравнения четвертой степени. 5.7. Решение алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. 5.8. Рациональные алгебраические уравнения. 5.9. Иррациональные уравнения. 5.10. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины. 5.11. Решение уравнений в множестве комплексных чисел. 5.12. Диофантовы уравнения.
§ 6 Трансцендентные уравнения 129
6.1. Показательные уравнения. 6.2. Логарифмические уравнения.
§ 7. Системы уравнений. Системы линейных уравнений
7.1. Основные определения. 7.2. Системы линейных уравнений.
7.3. Метод последовательного исключения неизвестных. 7.4. Системы Двух линейных уравнений. 7.5. Геометрическая интерпретация решений систем линейных уравнений.
§ 8. Системы нелинейных алгебраических уравнений .... 141
§ 9. Неравенства 143
9.1. Основные определения и свойства неравенств. 9.2. Некоторые важные неравенства.
§ 10. Решение неравенств и систем неравенств 146
10.1. Основные определения. 10.2. Линейные неравенства н системы неравенств. 10.3. Квадратные неравенства. 1 0.4. Метод интервалов. 10.5. Решение иррациональных неравенств. 10.6. Показательные неравенства. 10.7. Логарифмические неравенства. 10.8. Геометрическое изображение множества решений неравенства с двумя неизвестными.
§11. Приемы доказательства справедливости неравенств . . . 159
11.1. Доказательство с помощью цепочки эквивалентных неравенств.
11.2. Доказательство с использованием свойств функций, входящих в неравенства. 11.3. Некоторые специальные приемы доказательства. 11.4. Некоторые способы проверки справедливости числовых неравенств.
ГЛАВА 5. МЕТОД КООРДИНАТ
§ 1. Системы координат 166
1.1. Координатная ось. 1.2. Прямоугольная декартова система координат на плоскости. 1.3. Полярная система координат. Связь между прямоугольными и полярными координатами. 1.4. Прямоугольная декартова система координат в пространстве. 1.5. Уравнение плоскости.
§ 2. Векторы 172
2.1. Вектор. Основные понятия. 2.2. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов. 2.3. Координаты вектора на плоскости. 2.4. Координаты вектора в пространстве. 2.5. Векторное произведение. 2.6. Смешанное произведение векторов.
§ 3, Начала аналитической геометрии 181
3.1. Прямая. 3.2. Окружность. 3.3. Эллипс. 3.4. Гипербола. 3.5. Парабола.
ГЛАВА 6. ГЕОМЕТРИЯ
§ 1. Луч. Отрезок 190
1.1. Луч. 1.2 Отрезок.
§ 2. Углы на плоскости 191
2.1. Понятие угла. 2.2 Градусная мера измерения углов. 2.3. Радианная мера измерения углов. 2.4. Классификация углов. 2.5. Угол между направлениями.
§ 3. Параллельность и перпендикулярность на плоскости. 194 3.1. Параллельность на плоскости. 3.2. Перпендикулярность на плоскости. 3.3. Расстояние от точки до прямой.
§ 4. Параллельность и перпендикулярность в пространстве. 196
4.1. Параллельность прямой и плоскости. 4.2. Параллельность плоскостей. 4.3. Перпендикулярность прямой и плоскости. 4.4. Расстояние от точки до плоскости. 4.5. Перпендикулярность плоскостей. 4.6. Наклонная. 47. Скрещинающиеся прямые.
§ 5. Проектирование на плоскость 198
5.1. Параллельное проектирование. 5.2. Ортогональное проектирование.
§ 6. Углы в пространстве 199
6.1. Угол между наклонной и плоскостью. 6.2. Двугранный угол. 6.3. Угол между двумя плоскостями.
§ 7. Ломаная. Многоугольник 201 ,
§ 8. Треугольники 203 1
8.1. Основные свойства. 8.2. Медианы треугольника. 8.3. Высоты треугольника. 8.4. Биссектрисы треугольника. 8.5. Средняя линия треугольника. 8.6. Равнобедренный треугольник. 8.7. Равносторонний треугольник. 8.8. Прямоугольный треугольник.
§ 9. Четырехугольники 208
9. 1. Параллелограмм. 9.2. Ромб. 9.3. Прямоугольник. 9.4. Квадрат. 9.5. Трапеция.
§ 10. Подобные многоугольники 210 |
10.1. Признак подобия многоугольников. 10.2. Признаки подобия треугольников.
§ 11. Окружность и круг 212
11.1. Окружность и круг. 11.2. Касательная и секущая. 11.3. Взаимное расположение двух окружностей. 11.4. Центральные углы и дуги-окружности. 1 1.5. Дуги и хорды окружности. 11.6. Углы в окружности. 11.7. Длины и площади в окружности и круге.
§ 12. Многоугольники и окружность 217
121. Вписанные и описанные многоугольники. 12.2. Вписанные треугольники. 12.3. Описанные треугольники. 12.4. Вневписанная окружность. 12.5. Соотношения между сторонами треугольников и радиусами вписанной и описанной окружностей. 12.6. Вписанные четырехугольники. 12.7. Описанные четырехугольники.
§ 13. Геометрические построения 220
13.1. Построение прямых, параллельных и перпендикулярных дайной прямой. 13.2. Построение углов 13.3. Построение отрезков. 13.4. Построение окружностей.и дуг. 135. Построение касательных к окружностям. 13.6. Построение окружности, описанной около многоугольника, и многоугольника, вписанного в окружность. 13.7. Построение окружности, вписанной в многоугольник, и многоугольника, описанного около окружности. 13.8. Построение треугольников.
§ 14. Многогранный угол 235
§ 15. Многогранная поверхность. Многогранник 236
§ 16. Призма 237
§ 17. Параллелепипед. Куб 239
§ 18. Пирамида. Усеченная пирамида 240
§ 19. Правильные многогранники 242
§ 20. Фигуры вращения 244
§ 21. Цилиндр 245
§ 22. Конус. Усеченный конус 247
§ 23. Сфера. Шар 250
§ 24. Части шара 251
24.1. Шаровой сегмент.,24.2. Шаровой сектор. 24.3. Шаровой слой. 24.4. Шаровой пояс.
§ 25. Преобразования плоскости и пространства 253
25.1. Отображение фигуры в фигуру и отображение фигуры на фигуру. 25.2. Преобразование плоскости и пространства.
25.3. Изометрия пространства и плоскости. Равенство фигур.
25.4. Поворот плоскости вокруг точки. 25.5. Центральная симметрия и центрально симметричные фигуры. 25.6. Осевая симметрия плоскости. 25.7. Осевая симметрия пространства. 25.8. Симметрия относительно плоскости. 25.9. Гомотетия плоскости. 25.10. Гомотетия пространства. 25.11. Преобразование подобия плоскости. 25.12. Подобные фигуры.
§ 26. Система аксиом и неопределяемых понятий геометрии (по Гильберту) 261
ГЛАВА 7. ТРИГОНОМЕТРИЯ
§ 1. Тригонометрические функции 265
1.1. Обобщение понятия угла. 1.2. Тригонометрические функции. 1.3. Квадранты единичной окружности. 1.4. Тригонометрические функции числового аргумента. 1.5. Обратные тригонометрические функции. 1.6. Значения тригонометрических функций некоторых углов.
§ 2. Тригонометрические формулы 280
2.1. Формулы приведения. 2.2. Связь между тригонометрическими функциями одного аргумента. 2.3. Тригонометрические функции суммы и разности углов 2.4. Тригонометрические функции двойных, тройных и половинных углов. 2.5. Преобразование суммы (разности) тригонометрических функций в произведение. 2.6. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму. 27. Простейшие соотношения между обратными тригонометрическими функциями.
§ 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. 285
3.1. Простейшие тригонометрические уравнения. 3.2. Примеры более сложных тригонометрических уравнений. 3.3. Решение простейших тригонометрических неравенств. 3.4. Примеры решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.
§ 4. Соотношения между элементами треугольника 293
4.1. Основные формулы. 4.2. Вычисление элементов треугольника.
ГЛАВА 8. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
§ 1. Числовые последовательности 298
1.1. Понятие числовой последовательности. 1.2. Некоторые способы задания последовательностей. 1.3. Геометрическое изображение членов последовательности. 1.4. Ограниченные последовательности. 1.5. Монотонные последовательности.
§ 2. Предел последовательности 303
2.1. Понятие предела последовательности. 2.2. Необходимое условие сходимости последовательности. 2.3. Теоремы о пределах последовательностей. 2.4. Достаточное условие сходимости последовательности. 2.5. Необходимое и достаточное условие сходимости.
§ 3. Числовые ряды 313
3.1. Понятие числового ряда. 3.2. Положительные числовые ряды. 3.3. Гармонический ряд.
§ 4. Бесконечные произведения 317
4.1. Понятие бесконечного произведения. 4.2. Связь бесконечных произведений с рядами.
§ 5. Прогрессии 318
5.1. Арифметическая прогрессия.
5.2. Геометрическая прогрессия.
§ 6. Числовые функции 319
6.1. Понятие числовой функции.
6.2. Способы задания функций.
6.3. Сумма, произведение, разность и частное двух функций.
6.4. Сложная функция.
6.5. Четные и нечетные функции.
6.6. Периодические функции.
6.7. Ограниченные функции.
6.8. Монотонные функции. 6.9. Взаимно обратные функции.
§ 7. Предел функции 327
7.1. Понятие предела функции.
7.2. Теоремы о пределах функций.
7.3. Необходимое и достаточное условие существования предела функции.
7.4. Некоторые важные пределы.
§ 8. Бесконечно малые величины 332
8.1. Понятие бесконечно малой величины.
8.2. Сравнение бесконечно малых величин.
§ 9. Непрерывность функций 333
9.1. Понятие непрерывности функций.
9.2. Основные теоремы о непрерывных функциях.
9.3. Непрерывность элементарных функций.
ГЛАВА 9. НАЧАЛА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ
§ 1. Производная 336
1.1. Понятие производной.
1.2. Уравнение касательной к графику функции.
1.3. Физический смысл производной.
1.4. Теоремы о производных.
1.5. Вычисление производных элементарных функций.
1.6. Производные высшего порядка.
§ 2. Первообразная. Неопределенный интеграл 342
2.1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла.
2.2. Простейшие правила и методы интегрирования.
§ 3. Определенный интеграл 347
3.1. Задача вычисления площади плоской фигуры.
3.2. Определенный интеграл.
3.3. Свойства определенных интегралов.
3.4. Определенный интеграл как функция верхнего предела.
3.5. Основная формула интегрального исчисления,
§ 4. Дифференциальные уравнения 351
4.1. Понятие функциональной зависимости между несколькими переменными.
4.2. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения.
4.3. Дифференциальное уравнение первого порядка.
4.4. Дифференциальное уравнение второго порядка.
ГЛАВА 10. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Исследование функций 358
1.1. Постоянная функция. 1.2. Условие монотонности функции.
1.3. Максимумы и мннимумыфункции.
1.4. Наибольшее и наименьшее значения функции.
1.5. Направление вогнутости кривой.
§ 2. Построение графика функции 364
§ 3. Простейшие преобразования графика функции 365
§ 4. Линейная функция 368
§ 5. Обратно пропорциональная зависимость 369
§ 6. Дробно-линейная функция 370
§ 7. Квадратичная функция , 371
§ 8. Степенная функция 373
§ 9. Показательная функция 374
§ 10. Логарифмическая функция 375
ПРИЛОЖЕНИЕ. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ 384
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 388
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 390
