Справочник содержит систематическое изложение основ теории вероятностей, теории случайных процессов, математической статистики. В нем определены понятия вероятностного пространства, случайной величины, математического ожидания, условных вероятностей и математических ожиданий, случайного процесса и случайного поля; рассмотрены предельные теоремы для случайных величин и случайных процессов; описаны основные классы случайных процессов; приведены важнейшие методы проверки статистических гипотез и построения оценок параметров для распределений случайных величин и случайных процессов.
Справочник спланирован таким образом, чтобы по нему можно было ознакомиться с основными идеями, методами и результатами теории вероятностей и математической статистики и в то же время найти ответ на конкретный вопрос.
Рассчитан на научных работников, инженеров, работающих в области теории вероятностей либо применяющих ее методы в физике, радиотехнике, биологии, экономике и других областях знания, а также на аспирантов и студентов вузов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Часть первая Теория вероятностей
Глава 1. Вероятностное пространство 5
1.1. Случайный эксперимент . 5
1.2. Аксиомы и основные свойства вероятности 7
1.3. Определение вероятностного пространства 10
1.4. Случайные величины 13
1.5. Группы случайных величин 16
1.6. Математическое ожидание 21
1.7. Условные вероятности и математитсскне ожидания 26
Глава 2. Последовательности независимых событий и величин 34
2.1. Закон нуля и единицы 34
2.2. Схема Бернулли 35
2.3. Предельные теоремы для схемы Берну тли 37
2.4. Последовательности независимых случайных величин. Закон больших чисел 39
2.5. Неравенство Колмогорова. Усиленный закон больших чисел 43
2.6. Ряды из независимых случайных величин 45
Глава 3. Аналитический аппарат 48
3.1. Производящие функции 48
3.2. Преобразование Лапласа 52
3.3. Характеристические фунйщи 56
Глава 4. Центральная предельная теорема 63
4.1. Центральная предельная теорема для последовательностей независимых случайных величин 63
4.2. Центральная предельная теорема для независимых случайных векторов 70
4 3. Локальные предельные теоремы 72
4.4. Уточнение центральной предельной теоремы и асимптотические разложения 75
4.5. Большие уклонения .... 80
Глава 5. Безгранично делимые распределения 84
5.1. Суммы независимых случайных величин и их распределения 84
5.2. Определение и основные свойства безгранично делимых распределений 86
5.3. Предельные теоремы для схемы серий 91
5.4. Предельные теоремы для нарастающих сумм в № 94
Глава 6. Основные вероятностные распределения 100
6.1. Дискретные распределения 100
6.2. Непрерывные распределения 107
6.3. Распределения Пирсона 123
6.4. Многомерные распределения 125
6.5. Устойчивые распределения 131
Глава 7. Случайные блуждания 135
7.1. Процессы восстановления 135
7.2. Классификация случайных блужданий на прямой . ,140
7.3. Функционалы на случайном блуждании 142
7.4. Задача о разорении для полунепрерывных случайных блужданий 145
7.5. Факторизационные тождества 146
Глава 8. Цепи Маркова 154
8.1. Определения. Общие свойства 154
8.2. Однородные цепи Маркова 164
8.3. Цепи Маркова с дискретным множеством состояний . 180
Часть вторая Теория случайных процессов
Глава 9. Основные понятия теории случайных процессов . . 193
9.1. Определение случайного процесса 193
9.2. Измеримость и интегрируемость случайных процессов 200
9.3. Сепарабельность. Свойства выборочных функций . . 203
9.4. Абсолютная непрерывность мер, соответствующих случайным процессам 208
Глава 10. ,2?2-теория. . 214
10.1. Пространство гильбертовых случайных величин 5е2(й, ©, Р) ; 214
10.2. Стохастические меры и интегралы . 218
10.3. Линейный прогноз и фильтрация гильбертовых случайных функций , 223
Глава 11. Стационарные процессы 226
11.1. Стационарные в широком смысле случайные процессы 226
11.2. Спектральное представление корреляционных функций 230
11.3. Спектральное представление стационарных процессов 233
11.4. Аналитические свойства стационарных процессов и их траекторий 236
11.5. Эргодическая и центральная предельная теоремы . . 238
11.6. Линейные преобразования (фильтры) 240
11.7. Процессы с дробно-рациональными спектральными плотностями 245
11.8. Прогнозирование, интерполирование и фильтрация стационарных процессов 248
11.9, Разложение стационарного процесса 254
11.10. Решение задач линейного прогнозирования, интерполирования и фильтрации , 257
11.11. Стационарные в узком смысле случайные процессы 263
Глава 12. Случайные поля 272
12.1. Основные определения . . 272
12.2. Свойства выборочных функций 276
12.3. Однородные случайные поля 279
12.4. Изотропные случайные поля 288
Глава 13. Мартингалы - 293
13.1. Определения и примеры 293
13.2. Свойства мартингалов и полумартингалов 294
13.3. Замыкание, интегрируемость и существование предела 295
13.4. Марковские моменты и случайная замена времени . 296
13.5. Некоторые применения 298
13.6. Разложение полумартингалов 301
13.7. Квадратично интегрируемые мартингалы 303
Глава 14. Марковские процессы 305
14.1. Марковские случайные функции 305
14.2. Марковские процессы. Определение и основные свойства 310
14.3. Мультипликативные функционалы от марковских процессов 320
Глава 15. Однородные марковские процессы 325
15.1. Определение и основные свойства 325
15.2. Полугруппы операторов, связанные с однородными марковскими процессами 328
15.3. Характеристические операторы строго марковских процессов 333
15.4. Процессы со счетным множеством состояний .... 337
15.5. Функционалы от марковских процессов 346
15.6. Преобразования марковских процессов 352
15.7. Однородные Диффузионные процессы в евклидовых пространствах 356
15.8. Непрерывные процессы на прямой 360
Глава 16. Процессы с независимьгми приращениями 365
16.1. Определение и общие свойства 365
16.2. Стохастически непрерывные процессы с независимыми приращениями 368
16.3. Однородные процессы. Асимптотические свойства 370
16.4. Функционалы от процессов с независимыми приращениями 37а
16.5. Процесс Пуассона 381
16.6. Винеровский процесс 384
Глава 17. Ветвящиеся процессы 390
17.1. Ветвящиеся процессы с одним типом частиц (дискретное время) 390
17.2. §етвящиеся процессы с одним типом частиц (непрерывное время) 390
17.3. Ветвящиеся процессы с конечным числом типов частиц (дискретное время) 401
17.4. Ветвящиеся процессы с конечным числом типов частиц (непрерывное время) 407
17.5. Общие марковские ветвящиеся процессы 411
Глава 18. Предельные теоремы для^ случайных процессов . . . 415
18.1. Слабая сходимость мер в метрических пространствах 415
18.2. Слабая сходимость мер в гильбертовом пространстве 417
18.3. Предельные теоремы для непрерывных случайных процессов 420
18.4. Предельные теоремы для процессов без разрывов второго рода 423
Глава 19. Стохастические дифференциальные уравнения .... 426
19.1. Диффузионные процессы 426
19.2. Стохастические интегралы по винеровскому процессу 429
19.3. Стохастические дифференциальные уравнения для непрерывных процессов 440
19.4. Стохастические интегралы по пуассоновским мерам . 452
19.5. Стохастические дифференциальные уравнения для процессов с разрывами 458
Часть третья Математическая статистика
Глава 20. Проверка статистических гипотез 462
20.1 Основные понятия и задачи математической статистики 462
20.2. Процедуры проверки гипотез 466
20.3. Критерии проверки статистических гипотез .... 468
20.4. Распределение выборки 475
20.5. Распределение выборочных характеристик 480
Глава 21. Теория оценивания параметров 484
21.1. Задача оценивания и свойства оценок 484
21.2. Методы построения оценок . 490
21.3. Доверительные области 493
Глава 22. Оценки параметров некоторых распределений 497
22.1. Оценки параметров нормального распределения 497
22.2. Оценки параметров биномиального и пуассоновского распределений 500
22.3. Оценки параметров равномерного распределения и Г-распределения 502
Глава 23. Метод наименьших квадратов 506
23.1. Оценки метода наименьших квадратов 506
23.2. Линейные модели регрессии 511
Глава 24. Статистика случайных процессов 516
24.1. Различение гипотез 516
24.2. Различение гипотез для процессов с независимыми приращениями 519
24.3. Различение гипотез для диффузионных процессов . . 525
24.4. Различение гипотез о среднем значении гауссовского процесса 529
24.5. Различение гипотез о корреляционной функции гауссовского процесса 533
24.6. Оценки параметров распределений для случайных процессов 539
Глава 25. Статистика стационарных в широком смысле случайных процессов 545
25.1. Свойства статистических оценок характеристик стационарных процессов 545
25.2. Оценки неизвестного среднего 546
25.3. Оценки параметров регрессии 552
25.4. Оценки спектральной плотности и спектральной функции стационарных последовательностей 556
25.5. Оценки параметров спектральной плотности .561
Латинский алфавит 563
Греческий алфавит 563
Готический алфавит 564
Литература 565
Предметный указатель 569
