ЧТО МОЖНО НАЙТИ В СПРАВОЧНИКЕ
Эта книга составляет продолжение Справочника по элементарной математике того же автора и включает весь материал, входящий в программу основного курса математики высших технических учебных заведений (механико-машиностроительных, строительных, авиационных, транспортных, электротехнических, энергетических и горнометаллургических).
Книга имеет двоякое назначение.
Во-первых, она дает фактическую справку: что такое векторное произведение, как найти поверхность тела вращения, как разложить функцию в тригонометрический ряд и т. п. Соответствующие определения, теоремы, правила и формулы, сопровождаемые примерами и практическими указаниями, находятся быстро; этой цели служат детальная рубрикация и подробный алфавитный указатель.
Во-вторых, книга предназначена для систематического чтения. Она не претендует на роль учебника, и потому доказательства проводятся здесь полностью лишь в исключительных случаях. Однако она может служить пособием для первого ознакомления с предметом. С этой целью здесь подробно разъясняются основные понятия, как-то: понятие скалярного произведения (§ 104), предела (§§ 203-206), дифференциала (§§ 228-235), бесконечного ряда (§§ 270, 366 — 370). С этой же целью все правила иллюстрируются, большим числом примеров, которые составляют в этой книге органическую ее часть (см. §§ 50-62, 134, 149, 264-266, 369, 422, 498 и др.). Они уясняют, как надо применять правила, когда правило теряет силу, каких ошибок надо избегать (§§ 290, 339, 340, 379 и др.).
Теоремы и правила сопровождаются также различного рода пояснениями. Иногда имеется в виду наглядно выявить содержание теоремы, чтобы учащийся мог по-настоящему усвоить доказательство. Иногда пояснение сопровождает частный пример и содержит такое рассуждение, которое явится полным доказательством теоремы, если его применить к общему случаю (см. §§ 148, 149, 369, 374). Иногда пояснение ограничивается указанием тех параграфов, на которых основызается доказательство. Мелким шрифтом выделен те г материал, который можно опустить при первом чтении, что вовсе не всегда означает его маловажность.
Сознательное усвоение математических идей чрезвычайно облегчается при ознакомлении с обстоятельствами их зарождения и развития. Вот почему большое внимание уделено здесь историческим сведениям. Так, §§ 270, 365 в сеязи с §§ 271, 383, 399, 400, надеюсь, позволят уяснить теорию ряда Тейлора лучше, чем при обычном формальном изложении. Наряду с историческими сведениями даны биографические справки об ученых, имена которых связаны с излагаемым материалом.
Других методических особенностей книги нет смысла касаться: учащийся будет судить о них по степени доходчивости, преподавателю же достаточно указания на ряд характерных параграфов: 28,60-62, 92, 184- 190, 203-206, 228 - 234, 237, 258 - 260, 271, 343 - 347, 430 - 438, 459.
Настоящее десятое издание печатается без существенных изменений по сравнению с восьмым и девятым изданиями. Исправлены лиев, замеченные опечатки.
**
ОГЛАВЛЕНИЕ
Что можно найти в справочнике 15
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Понятие о предмете аналитической геометрии 17
§ 2. Координаты 18
§ 3. Прямоугольная система координат 18
§ 4. Прямоугольные координаты 19
§ 5. Координатные УГЛЫ 20
§ 6. Косоугольная система координат 21
§ 7. Уравнение линии 21
§ 8. Взаимное расположение линии и точки 22
§ 9. Взаимное расположение двух линий 23
§ 10. Расстояние между ДВУМЯ точками 23
§ 11. Деление отрезка в данном отношении 24
§ 11а. Деление отрезка пополам 25
§ 12. Определитель второго порядка 25
§ 13. Площадь треугольника 25
§ 14. Прямая линия; уравнение, разрешенное относительно ординаты («с угловым коэффициентом») 26
§ 15. Прямая, параллельная оси 28
§ 16. Общее уравнение прямой 29
§ 17. Построение прямой по ее уравнению 30
§ 18. Условие параллельности прямых 30
§ 19. Пересечение прямых '. 32
§ 20. Условие перпендикулярности двух прямых 33
§ 21. Угол между ДВУМЯ прямыми 34
§ 22. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой 37
§ 23. Уравнение прямой, проходящей через две точки 37
§ 24. Пучок прямых т 39
§ 25. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой 40
§ 26. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно к данной прямой 4!
§ 27. Взаимное расположение прямой и пары-точек 42
§ 28. Расстояние от точки до прямой 42
§ 29. Полярные параметры прямой 43
§ 30. Нормальное уравнение прямой 45
§ 31. Приведение уравнения прямой к нормальному ВИДУ 46
§ 32. Отрезки на осях 47
§ 33. Уравнение прямой в отрезках 48
§ 34. Преобразование координат (постановка вопроса) 48
§ 35. Перенос начала координат 49
§ 36. Поворот осей 50
§ 37. Алгебраические линии и их порядок 52
§ 38. Окружность 53
§ 39. Разыскание центра и радиуса окружности 54
§ 40. Эллипс как сжатая окружность ПО
§ 41. Другое определение эллипса 58
§ 42. Построение эллипса по его осям 60
§ 43. Гипербола 61
§ 44. форма гиперболы; вершины и оси 63
§ 45. Построение гиперболы по ее осям 64
§ 46. Асимптоты гиперболы 64
§ 47. Согряженные гиперболы 65
§ 48. Парабола 66
§ 49. Построение параболы по данному параметру р 67
§ 50. Парабола как график уравнения у = ях2+Ьх+е 67
§ 51. Директрисы эллипса и гиперболы 70
§ 52. Общее определение эллипса, гиперболы и парабйлы 71
§ 53. Конические сечения 74
§ 54. Диаметры конического сечения 75
§ 55. Диаметры эллипса 76
§ 56. Диаметры гиперболы ,, 77
§ 57. Диаметры параболы 79
§ 58. Линии второго порядка 80
§ 59. Запись общего уравнения второй степени 81
§ 60. Упрощение уравнения второй степени; общие замечания .. 82
§ 61. Предварительное преобразование уравнения второй степени 82
§ 62. Завершающее преобразование уравнения второй степени .. 85
§ 63. О приемах, облегчающих упрощение уравнения второй степени 91
§ 64. Признак распадения линий второго порядка 02
§ 65. Разыскание прямых, составляющих распадающуюся линию второго порядка 93
§ 66. Инварианты уравнения второй степени 96
§ 67. Три типа линий второго порядка 98
§ 68. Центральные и нецентральные линии второго порядка ... 101
§ 69. Разыскание центра центральной линии второго порядка .. 102
§ 70. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка 103
§ 71. Равносторонняя гипербола как график уравнения у ж —... 105
§ 72. Равносторонняя гипербола как график уравнения у ж 106
§ 73. Полярные координаты 108
§ 74. Связь между полярными координатами и прямоугольными 110
$ 75. Архимедова спираль ИЗ
§ 76. Полярное уравнение прямой 114
§ 77. Полярное уравнение конического сечения 115
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 78. Понятие о векторах и скалярах 116
§ 79. Вектор в геометрии 116
§ 80. Векторная алгебра 117
§ 81. Коллинеарныс векторы
§ 82. Нуль-вектор 118
§ 83. Равенство векторов 118
§ 84. Приведение векторов к общему началу 119
§ 85. Противоположные векторы 119
§ 86. Сложение векторов ]>9
§ 87. Сумма нескольких векторов 121
§ 88. Вычитание векторов '22
§ 89. Умножение и деление вектора на число 123
§ 90. Взаимная связь коллниеарных векторов (деление вектора на вектор) * 124
§ 91. Проекция точки на ось 124
§ 92. Проекция вектора на ось . . , . 125
§ 93. Основные теоремы о проекциях вектора ...'!!!.' 127
§ 94. Прямоугольная система 'координат в пространстве .. . 129
§ 95. Координаты точки
§ 96. Координаты вектора 131
§ 97. Выражения вектора через компоненты и через координаты 132
§ 98. Действия над векторами, заданными своими координатами 132
§ 99. Выражение вектора через радиусы-векторы его начала и конца ]зз
§ 100. Длина вектора. Расстояние между ДВУМЯ точками ', 133
§ 101. Угол между осью координат и вектором " 134
§ 102. Признак коллинеарности (параллельности) векторов' 135
§ 103. Деление отрезка в данном отношении "" ]з5
§ 104. Скалярное произведение ДВУХ векторов 136
§ 104а. Физический смысл скалярного произведения 137
§ 105. Свойства скалярного произведения 138
§ 106. Скалярные произведения основных векторов 139
§ 107. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей 140
§ 108. Условие перпендикулярности векторов 141
§ 109. Угол между векторами 141
§ 110. Правая и лепая системы трех векторов ,, 142
§ 111. Векторное произведение двух векторов 143
§ 112. Свойства векторного произведения 145
§ 113. Векторные произведения основных векторов 146
§ 114. Выражение векторного произведения через коопдинаты сомножителей ' 147
§ 115. Компланарные векторы ) 149
§ 116. Смешанное произведение щд
§ 117. Свойства смешанного произведения 150
§ 118. Определитель третьего порядка ,., 131
§ 119. Выражение смешанного произведения через.координаты сомножителей 154
§ 120. Признак компланарности в координатной форме 154
§ 121. Объем параллелепипеда 153
§ 122. Двойное векторное произведение 156
§ 123. Уравнение плоскости 156
§ 124. Особые случаи положения плоскости относительно системы координат 157
§ 125. Условие параллельности плоскостей 15а
§ 126. Условие перпендикулярности плоскостей 159
§ 127. Угол между двумя плоскостями 159 .
§ 128. Плоскость, проходящая через данную ТОЧКУ параллельно данной плоскости 160
§ 129. Плоскость, проходящая через три точки 160
§ 130. Отрезки на осях 161
§ 131. Уравнение плоскости в отрезках 161
§ 132. Плоскость, проходящая через две точки перпендикулярно к данной плоскости .162
§ 133. Плоскость, проходящая через данную точку перпендикулярно к двум плоскостям , , 163
§ 134. Точка пересечения трех плоскостей 163
§ 135. Взаимное расположение плоскости и пары точек 165
§ 136. Расстояние от точки до плоскости 165
§ 137. Полярные параметры плоскости 166
§ 138. Нормальное уравнение плоскости 167
§ 139. Приведение уравнения плоскости к нормальному виду 166
§ 140. Уравнения прямой в пространстве по
§ 141. Условие, при котором два уравнения первой степени представляют прямую 171
§ 142. Пересечение прямой с плоскостью 172
§ 143. Направляющий вектор 174
§ 144. Углы'между прямой и осями координат 175
§ 145. Угол между двумя прямыми : 175
§ 146. Угол между прямой и плоскостью 176
§ 147. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости 177
§ 148. ПУЧОК плоскостей 177
§ 149. Проекции прямой на координатные плоскости 179
§ 150. Симметричные уравнения прямой 180
§ 151. Приведение уравнений прямой к симметричному виду ... 182
§ 152. Параметрические уравнения прямой 183
§ 153. Пересечение плоскости с прямой, заданной параметрически 184
§ 154. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки 185
§ 155. Уравнение плоскости, проходящей через данную ТОЧКУ перпендикулярно к данной прямой 185
$ 156. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно к данной плоскости 185
$ 157. Уравнение плоскости, проходящей через данную ТОЧКУ И данную прямую 186
§ 158. Уравнение плоскости, проходящей через данную ТОЧКУ И параллельной двум данным прямым 187
§ 159. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и параллельной другой данной прямой 187
§ 160. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и перпендикулярной к данной плоскости 188
§ 161. Уравнения перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую 188
§ 162. Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую " 190
§ 163. Условие, при котором две прямые пересекаются или лежатв одной плоскости , 191
§ 164. Уравнения общего перпендикуляра к двум данным прямым 192
§ 165. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми 194
§ 165а. Правые и левые пары прямых 195
§ 166. Преобразование координат 197
§ 167. Уравнение поверхности 198
§ 168. Цилиндрические поверхности, у которых образующие параллельны одной из осей координат 198
§ 169. Уравнения линии 200
§ 170. Проекция линии на координатную плоскость 201
§ 171. Алгебраические поверхности и их порядок 203
§ 172. Сфера 204
§ 173. Эллипсоид 204
§ 174. Однополостный гиперболоид 208
§ 175. Двуполостный гиперболоид 210
§ 176. КОНУС второго порядка 211
§ 177. Эллиптический параболоид 213
§ 178. Гиперболический параболоид 214
§ 179. Перечень поверхностей второго порядка 216
§ 180. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка 219
§ 181. Поверхности вращения 220
§ 182. Определители второго и третьего порядка 221
§ 183. Определители высших порядков 224
§ 184. Свойства определителей 226
§ 185. Практический прием вычисления определителей 229
§ 186. Применение определителей к исследованию и решению системы уравнений 231
§ 187. Два уравнения с двумя неизвестными 232
§ 188. Два уравнения с тремя неизвестными 233
§ 189. Однородная система ДВУХ уравнений с тремя неизвестными 235
§ 190. Три уравнения с тремя неизвестными 237
§ 190а. Система п уравнений с л неизвестными 240
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
§ 191. Вводные замечания 243
§ 192. Рациональные числа 244
§ 193. Действительные (вещественные) числа 244
§ 194. Числовая ось 246
§ 195. Переменные и постоянные величины 246
§ 196. ФУНКЦИЯ 247
§ 197. Способы задания функции 249
§ 198. Область определения функции 251
§ 199. Промежуток 253
§ 200. Классификация функций ,. 254
§ 201. Основные элементарные функции 255
§ 202. Обозначение функции 256
§ 203. Предел последовательности 257
§ 204. Предел функции 259
§ 205. Определение предела функции 260
§ 206. Предел постоянной величины 261
§ 207. Бесконечно малая величина 261
§ 208. Бесконечно большая величина 262
§ 209. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами 263
§ 210. Ограниченные величины 263
§ 211. Расширение понятия предела 264
§ 212. Основные свойства бесконечно малых величин 265
§ 213. Основные теоремы о пределах 266
§ 214. Число* 266
§ 215. Предел при х 0 269
§ 216. Эквивалентные бесконечно малые величины 269
§ 217. Сравнение бесконечно малых величин .. 271
§ 217а. Приращение переменной величины 273
§ 218. Непрерывность функции в точке 273
§ 219. Свойства функций, непрерывных в точке 274
§ 219а. Односторонний предел; скачок функции 275
§ 220. Непрерывность функции на замкнутом промежутке 276
§ 221. Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке 276
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 222. Вводные замечания ... 279
§ 223. Скорость .'.. 280
§ 224. Определение производной функции 281
§ 225. Касательная 282
§ 226. Производные некоторых простейших функций 284
§ 227. Свойства производной 285
§ 228. Дифференциал 265
§ 229. Механическое истолкование дифференциала 287
§ 230. Геометрическое истолкование дифференциала 287
§ 231. Дифференцируемые функции 288
§ 232. Дифференциалы некоторых простейших функций 290
§ 233. Свойства дифференциала 291
§ 234. Инвариантность выражения /' (х) Лх 291
§ 235. Выражение производной через дифференциалы 292
§ 236. ФУНКЦИЯ от функции (сложная функция) 293
§ 237. Дифференциал сложной функции 293
§ 238. Производная сложной функции 294
§ 239. Дифференцирование произведения 295
§ 240. Дифференцирование частного (дроби) 296
§ 241. Обратная функция 297
§ 242. Натуральные логарифмы 298
§ 243. Дифференцирование логарифмической функции 300
§ 244. Логарифмическое дифференцирование 301
§ 245. Дифференцирование показательной функции 302
§ 246. Дифференцирование тригонометрических функций 303
§ 247. Дифференцирование обратных .тригонометрических функций 304
§ 247а. Некоторые поучительные примеры 305
§ 248. Дифференциал в приближенных вычислениях 307
§ 249. Применение дифференциала к оценке погрешности формул 309
§ 250. Дифференцирование неявных функций 311
§ 251. Параметрическое задание линии 313
§ 252. Параметрическое задание функции 315
§ 253. Циклоида 316
§ 254. Уравнение касательной к плоской линии 31»
§ 254а. Касательные к кривым второго порядка 319
§ 255. Уравнение нормали 320
§ 256. Производные высших порядков 321
§ 257. Механический смысл второй производной 322
§ 258. Дифференциалы высших порядков 322
§ 259. Выражение высших производных через дифференциалы . 32о
§ 260. Высшие производные от функций, заданных параметрически 320
§ 261. Высшие производные неявных функций 326
§ 262. Правило Лейбница 328
§ 263. Теорема Ролля 32»
§ 264. Теорема Лагранжа о среднем значении ззо
§ 265. Формула конечных приращений , 333
§ 266. Обобщенная теорема о среднем значении (Коши) 334
§ 267. Раскрытие неопределенностей вида 336
§ 268. Раскрытие неопределенности вида —- 339
§ 269. Неопределенные выражения других видов 340
§ 270. Исторические сведения о формуле Тейлора 342
§ 271. Формула Тейлора 340
§ 272. Применение формулы Тейлора К вычислению значении функции 348
§ 273. Возрастание и убывание функцт-и 35Э
§ 274. Признаки возрастания и убывания функции в точке 357
§ 274а. Признаки возрастания и убывания функции в промежутке 358
§ 275. Максимум и минимум ЗаУ
§ 276. Необходимое условие максимума и минимума 360
§ 277. Первое достаточное условие максимума и минимума 361
§ 278. Правило разыскания максимумов и минимумов 362
§ 279. Второе достаточное условие максимума и минимума 365
§ 280. Разыскание наибольших и наименьших значений функции 368
§ 281. Выпуклость плоских кривых; точка перегиба 374
§ 282. Сторона вогнутости 375
§ 283. Правило для разыскания точек перегиба 376
§ 284. Асимптоты 377
§ 285. Разыскание асимптот, параллельных координатным осям 378
§ 286. Разыскание асимптот, не параллельных оси ординат .... 380
§ 287. Приемы построения графиков 383
§ 288. Решение уравнений. Общие замечания 386
§ 289. Решение уравнений. Способ хорд 388
§ 290. Решение уравнений. Способ касательных 390
§ 291. Комбинированный метод хорд и касательных 392
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 292. Вводные замечания 395
§ 293. Первообразная функция 397
§ 294. Неопределенный интеграл 398
§ 295. Геометрическое истолкование интегрирования 400
§ 296. Вычисление постоянной интегрирования по начальным данным 403
§ 297. Свойства неопределенного интеграла 404
§ 298. Таблица интегралов 405
§ 299. Непосредственное интегрирование 407
§ 300. Способ подстановки (интегрирование через вспомогательную переменную) 408
§ 301. Интегрирование по частям 412
§ 302. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений 415
§ 303. Тригонометрические подстановки 418
§ 304. Рациональные функции 420 .
§ 304а. Исключение целой части 420
§ 305. О приемах интегрирования рациональных дробей 421
§ 306. Интегрирование простейших рациональных дробей 422
§ 307. Интегрирование рациональных функций (общий метод) .. 426
§ 308. О разложении многочлена на множители 433
§ 309. Об интегрируемости в элементарных функциях 434
§ 310. Некоторые интегралы, зависящие от радикалов 435
§ 311. Интеграл от биномиального дифференциала 436
§ 312. Интегралы вида у Я (х, Уахг+Ьх+с) Ас 438
§ 313. Интегралы вида ^ Я (зш х, соз х) йх 440
§ 314. Определенный интеграл 441
§ 315. Свойства определенного интеграла 445
§ 316. Геометрическое истолкование определенного интеграла .. 447
§ 317. Механическое истолкование определенного§интеграла ... 448
§ 318. Оценка определенного интеграла 450
§ 318а. Неравенство Буияковского 451
§ 319. Теорема о среднем интегрального исчисления 451
§ 320. Определенный интеграл как функция верхнего предела .. 453
§ 321. Дифференциал интеграла 455
§ 322. Интеграл дифференциала. Формула Ньютона—Лейбница 457
§ 323. Вычисление определенного интеграла с помоЬщю неопределенного , ..., 459
§ 324. Определенное интегрирование по частям 461
§ 325. Способ подстановки в определенном интеграле 462
§ 326. О несобственных интегралах 466
§ 327. Интегралы с бесконечными пределами 467
§ 328. Интеграл от функции, имеющей разрыв 472
§ 329. О приближенном вычислении интеграла 475
§ 330. Формулы прямоугольников 478
§ 331. Формула трапеций 480
§ 332. Формула Симпсона (параболических трапеций) 481
§ 333. Площади фигур, отнесенных кпрямоугольнымкоординатам 483
§ 334. Схема применения определенного интеграла 485
§ 335. Площади фигур, отнесенных к полярным координатам . . . 487
§ 336. Объем тела по поперечным сечениям 489
§ 337. Объем тела вращения 490
§ 338. Длина дугч плоской линии 491
§ 339. Дифференциал ДУГИ 493
§ 340. Длина дуги и ее дифференциал в полярных координатах 494
§ 341. Площадь поверхности вращения 496
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЛИНИЯХ
§ 342. Кривизна 498
§ 343. Центр, радиус и круг кривизны плоской линии 499
§ 344. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны плоской линии : 500
§ 345. Эволюта плоской линии 504
§ 346. Свойства эволюты плоской линии 505
§ 347. Развертка (эвольвента) плоской линии 506
§ 348. Параметрическое задание пространственной линии 507
§ 349. Винтовая линия 509
§ 350. Длина дуги пространственной линии 510
§ 351. Касательная к пространственной линии 511
§ 352. Нормальная плоскость 513
§ 353. Вектор-функция скалярного аргумента 514
§ 354. Предел вектор-функции 515
§ 355. Производная вектор-функция 516
§ 356. Дифференциал вектор-функции 517
§ 357. Свойства производной и дифференциала вектор-функции 518
§ 358. Соприкасающаяся плоскость 520
§ 359. Главная нормаль. Сопутствующий трехгранник 522
§ 360. Взаимное расположение линии и плоскости 523
§ 361. Основные векторы сопутствующего трехгранника 524
§ 362. Центр, ось и радиус кривизны пространственной линии . 525
§ 363. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны пространственной линии 526
§ 364. О знаке кривизны 528
§ 365. Кручение 529
РЯДЫ
§ 366. Вводные замечания 532
§ 367. Определение ряда 532
§ 368. Сходящиеся и расходящиеся ряды 533
§ 369. Необходимое условие сходимости ряда 535
§ 370. Остаток ряда . ., 537
§ 371. Простейшие действия над рядами 5 39
§ 372. Положительные ряды 540
§ 373. Сравнение положительных рядов 541
§ 374. Признак Даламбера для положительного ряда 543
§ 375. Интегральный признак сходимости 545
§ 376. Знакопеременный ряд. Признак Лейбница 547
§ 377. Абсолютная и условная сходимость 548
§ 378. Признак Даламбера для произвольного ряда 550
§ 379. Перестановка членов ряда 550
§ 380. Группировка членов ряда 551
§ 381. Умножение рядов 553
§ 382. Деление рядов 556
§ 383. Функциональный ряд 557
§ 384. Область сходимости функционального ряда 558
§ 385. О равномерной и неравномерной сходимости 560
§ 386. Определение равномерной и .неравномерной сходимости 562
§ 387. Геометрическое истолкование .равномерной и неравномерной сходимости 563
§ 388. Признак равномерной сходимости; правильные ряды .... 564
§ 389. Непрерывность СУММЫ ряда 565
§ 390. Интегрирование рядов , 566
§ 391. Дифференцирование рядов 570
§ 392. Степенной ряд 571
§ 393. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда 572
§ 394. Разыскание радиуса сходимости 573
§ 395. Область сходимости ряда, расположенного по степеням х—х0 575
§ 396. Теорема Абеля 576
§ 397. Действия со степенными рядами 576
§ 398. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда 579
§ 399. Ряд Тейлора 581
§ 400. Разложение функции в степенной ряд 582
§ 401. Разложение элементарных функций в степенные ряды . .. 585
§ 402. Применение рядов к вычислению интегралов 589
§ 403. Гиперболические функции 591
§ 404. Обратны» гиперболические функции 594
§ 405. Происхождение наименований гиперболических функций 596
§ 406. О комплег слых числах 597
§ 407, Комплексная функция действительного аргумента 598
§ 408. Производи гя комплексной функции 600
§ 409. Возведение положительного числа в комплексную степень 601
§ 410. Формула Эйлера 602
§ 411. Тригонометрический ряд 603
§ 412. Исторические сведения о тригонометрических рядах .... 604
§ 413. Ортогональность системы функций сов лх, 31П лх 605
§ 414. Формулы Эйлера—Фурье 607
§ 415. Ряд Фурье 609
§ 416. Ряд Фурье для непрерывной функции 610
§ 417. Ряд Фурье для четной и нечетной функции 614
§ 418. Ряд Фурье для разрывной функции 618
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ
§ 419. ФУНКЦИЯ двух аргументов 622
§ 420. Функция трех и большего числа аргументов 623
§ 421 Способы эллания функций нескольких аргументов 624
§ 422. Предел функции нескольких аргументов 627
§ 423. О порядке малости функции нескольких аргументов 628
§ 424. Непрерывность функции нескольких аргументов 630
§ 425. Частные производные 631
§ 426. Геометрическое истолкование частных производных для случая ДВУХ аргументов 632
§ 427. Полное и частное приращение 632
§ 428. Частный дифференциал 633
§ 429. О выражении частной производной через дифференциал 634
§ 430. Полный дифференциал 635
§ 431. Геометрическое истолкование полного дифференциала (случай двух аргументов) 636
§ 432. Инвариантность выражения /^йх+^йу+^йг полного дифференциала 637
§ 433. Техника дифференцирования 638
§ 434. Дифференцируемые функции 639
§ 435. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 640
§ 436. Уравнение касательной плоскости % 641
§ 437. Уравнения нормали 642
§ 438. Дифференцирование сложной функции 643
§ 439. Замена прямоугольных координат полярными 644
§ 440. Формулы для производных сложной функции 644
§ 441. Полная производная 645
§ 442. Дифференцирование неявной функции нескольких переменных .- 646
§ 443. Частные производные высших порядков 649
§ 444. Полные дифференциалы высших порядков 651
§ 445. Техника повторного дифференцирования 653
§ 446. Условное обозначение дифференциалов 653
§ 447. Формула Тейлора для функции нескольких аргументов 654
§ 448. Экстремум (максимум и минимум) функции нескольких аргументов 656
§ 449. Правило разыскания экстремума 657
§ 450. Достаточные условия экстремума (случай двух аргументов) 059
§ 451. Двойной интеграл 660
§ 452. Геометрическое истолкование двойного интеграла 661
§ 453. Свойства двойного интеграла 662
§ 454. Оценка двойного интеграла 663
§ 455. Вычисление двойного интеграла (простейший случай). .. . 663
8 456. Вычисление двойного интеграла (обший случай) 667
§ 457. Функция точки 670
§ 458. Выражение двойного интеграла через полярные координаты 671
§ 459. Площадь куска поверхности 675
§ 460. Тройной интеграл 677
§ 481. Вычисление тройного интеграла (простейший случай) ... 678
§ 462. Вычисление тройного интеграла (общий случай) 679
§ 463. Цилиндрические координаты 681
§ 464. Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты 681
§ 465. Сферические координаты 682
§ 466. Выражение тройного интеграла через сферические координаты 682
§ 467. Схема применения двойного и тройного интеграла 684
§ 468. Момент инерции 685
§ 469. Выражение некоторых физических и геометрических величин через двойные интегралы .о 687
§ 470. Выражение некоторых физических и геометрических величин через тройные интегралы 689
§ 471. Криволинейный интеграл 691
§ 472. Механический смысл криволинейного интеграла 693
§ 473. Вычисление криволинейного интеграла 693
§ 474. Формула Грина 695
§ 475. Условие, при котором криволинейный интеграл не зависит от пути 696
§ 476. Другая форма условия предыдущего параграфа 098
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 477. Основные понятия 701
§ 478. Уравнение первого порядка , 703
§ 479. Геометрическое истолкование уравнения первого порядка 703
§ 480. Изоклины . . 706
§ 481. Частное и общее решение уравнения первого порядка
§ 482. Уравнения с разделенными переменными 708
§ 483. Разделение переменных. Особое решение 710
§ 484. Уравнение в полных дифференциалах 711
§ 484а. Интегрирующий мцожитель 712
§ 485. Однородное уравнение 713
§ 486. Линейное уравнение первого порядка 715
§ 487. Уравнение Клеро 718
§ 488. Огибающая 710
8 489. Об интегрируемости дифференциальных уравнений 721
§ 490. Приближенное интегрирование уравнений первого порядка пег методу Эйлера 721
§ 491. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов 723
§ 492. О составлении дифференциальных уравнений 725
§ 493. Уравнение второго порядка 729
§ 494. Уравнение п-го порядка 731
§ 495. Случаи понижения порядка 732
§ 496. Линейное уравнение второго порядка 733
§ 497. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами 735
§ 498. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части 736
§ 498а. Связь между случаями 1 и 3 § 498 739
§ 499. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью 740
§ 500. Линейные уравнения любого порядка 746
§ 501. Метод вариации постоянных 748
§ 502. Системы дифференциальных уравнений. Линейные системы 749
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
§ 503. Строфоида 751
§ 504. Циссоида Диокла 753
§ 505. Декартов лист 755
§ 506. Верэьера Аньези 758
§ 507. Конхоида Никомеда 760
§ 508. Улитка Паскаля; кардиоида 765
§ 509. Линия Кассини 770
§ 510. Лемниската Бернулли 775
§ 511. Архимедова спираль 777
§ 512. Эвольвента (развертка) круга 781
§ 513. Логарифмическая спираль 784
§ 514. Циклоиды .. 791
§ 515. Эпициклоиды и гипоциклоиды 805
§ 516. Трактриса 822
§ 517. Цепная линия 829
ТАБЛИЦЫ
1. Натуральные логарифмы 834
II. Таблица для перехода от натуральных логарифмов к десятичным 838
III. Таблица для перехода от десятичных логарифмов к натуральным , 838
IV. Показательная функция ех 839
V. Таблица неопределенных интегралов Г 841
Алфавитный указатель 852
